Medida con valor de proyección - Projection-valued measure

En matemáticas , particularmente en el análisis funcional , una medida con valor de proyección (PVM) es una función definida en ciertos subconjuntos de un conjunto fijo y cuyos valores son proyecciones autoadjuntas en un espacio fijo de Hilbert . Las medidas con valores de proyección son formalmente similares a las medidas con valores reales , excepto que sus valores son proyecciones autoadjuntas en lugar de números reales. Como en el caso de las medidas ordinarias, es posible integrar funciones de valor complejo con respecto a un PVM; el resultado de tal integración es un operador lineal en el espacio de Hilbert dado.

Las medidas con valores de proyección se utilizan para expresar resultados en la teoría espectral , como el importante teorema espectral para operadores autoadjuntos . El cálculo funcional de Borel para operadores autoadjuntos se construye utilizando integrales con respecto a PVM. En mecánica cuántica , los PVM son la descripción matemática de las medidas proyectivas . Se generalizan mediante medidas positivas valoradas por el operador (POVM) en el mismo sentido en que un estado mixto o una matriz de densidad generaliza la noción de un estado puro .

Definicion formal

Una medida con valor de proyección en un espacio medible , donde es un σ-álgebra de subconjuntos de , es un mapeo del conjunto de proyecciones autoadjuntas en un espacio de Hilbert (es decir, las proyecciones ortogonales) tal que ${\ Displaystyle \ pi}$ ${\ Displaystyle (X, M)}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle H}$

${\ Displaystyle \ pi (X) = \ operatorname {id} _ {H} \ quad}$

(donde es el operador de identidad de ) y para cada , la siguiente función ${\ Displaystyle \ operatorname {id} _ {H}}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle \ xi, \ eta \ in H}$${\ Displaystyle M \ a \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle E \ mapsto \ langle \ pi (E) \ xi \ mid \ eta \ rangle}$

es una medida compleja en (es decir, una función aditiva contable de valor complejo ). ${\ Displaystyle M}$

Denotamos esta medida por . ${\ Displaystyle \ operatorname {S} _ {\ pi} (\ xi, \ eta)}$

Tenga en cuenta que es una medida de valor real y una medida de probabilidad cuando tiene una longitud uno. ${\ Displaystyle \ operatorname {S} _ {\ pi} (\ xi, \ xi)}$${\ Displaystyle \ xi}$

Si es una medida valorada en proyección y ${\ Displaystyle \ pi}$

${\ Displaystyle E \ cap F = \ emptyset,}$

a continuación, las imágenes , son ortogonales entre sí. De esto se sigue que, en general, ${\ Displaystyle \ pi (E)}$${\ Displaystyle \ pi (F)}$

${\ Displaystyle \ pi (E) \ pi (F) = \ pi (E \ cap F) = \ pi (F) \ pi (E),}$

y se desplazan.

Ejemplo . Supongamos que es un espacio de medida. Sea, para cada subconjunto medible en , ${\ Displaystyle (X, M, \ mu)}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle M}$

${\ Displaystyle \ pi (E): L ^ {2} (\ mu) \ to L ^ {2} (\ mu): \ psi \ mapsto \ chi _ {E} \ psi}$

ser el operador de la multiplicación por la función indicadora en L ² ( X ) . Entonces es una medida con valor de proyección. ${\ Displaystyle 1_ {E}}$${\ Displaystyle \ pi}$

Extensiones de medidas valoradas en proyección, integrales y el teorema espectral

Si π es una medida con valor de proyección en un espacio medible ( X , M ), entonces el mapa

${\ Displaystyle \ chi _ {E} \ mapsto \ pi (E)}$

se extiende a un mapa lineal en el espacio vectorial de las funciones escalonadas en X . De hecho, es fácil comprobar que este mapa es un homomorfismo de anillo . Este mapa se extiende de manera canónica a todas las funciones medibles de valores complejos acotadas en X , y tenemos lo siguiente.

Teorema . Para cualquier M acotada - función medible f en X, existe un operador lineal acotado único

${\ Displaystyle \ mathrm {T} _ {\ pi} (f): H \ a H}$

tal que

${\ Displaystyle \ langle \ operatorname {T} _ {\ pi} (f) \ xi \ mid \ eta \ rangle = \ int _ {X} f \ d \ operatorname {S} _ {\ pi} (\ xi, \ eta)}$

para todos donde denota la medida compleja${\ Displaystyle \ xi, \ eta \ in H,}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {S} _ {\ pi} (\ xi, \ eta)}$

${\ Displaystyle E \ mapsto \ langle \ pi (E) \ xi \ mid \ eta \ rangle}$

de la definición de . ${\ Displaystyle \ pi}$

El mapa

${\ Displaystyle {\ mathcal {BM}} (X, M) \ to {\ mathcal {L}} (H): f \ mapsto \ operatorname {T} _ {\ pi} (f)}$

es un homomorfismo de anillos .

Una notación integral se usa a menudo para , como en ${\ Displaystyle \ operatorname {T} _ {\ pi} (f)}$

${\ Displaystyle \ operatorname {T} _ {\ pi} (f) = \ int _ {X} f (x) \, d \ pi (x) = \ int _ {X} f \, d \ pi.}$

El teorema también es correcto para ilimitada funciones medibles f , pero entonces será un operador lineal sin límites en el espacio de Hilbert H . ${\ Displaystyle \ operatorname {T} _ {\ pi} (f)}$

El teorema espectral dice que cada operador autoadjunto tiene una medida asociada con valores de proyección definida en el eje real, de manera que ${\ Displaystyle A: H \ to H}$${\ Displaystyle \ pi _ {A}}$

${\ Displaystyle A = \ int _ {\ mathbb {R}} x \, d \ pi _ {A} (x).}$

Esto permite definir el cálculo funcional de Borel para dichos operadores: si es una función medible, establecemos ${\ Displaystyle g: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle g (A): = \ int _ {\ mathbb {R}} g (x) \, d \ pi _ {A} (x).}$

Estructura de medidas con valor de proyección

Primero proporcionamos un ejemplo general de medida con valor de proyección basada en integrales directas . Suponga que ( X , M , μ) es un espacio de medida y sea { H _x } _{x ∈ X} una familia medible en μ de espacios de Hilbert separables. Para cada E ∈ M , sea π ( E ) el operador de multiplicación por 1 _E en el espacio de Hilbert

${\ Displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \ d \ mu (x).}$

Entonces π es una medida con valor de proyección en ( X , M ).

Supongamos π , ρ son medidas de proyección de valor en ( X , M ) con valores en las proyecciones de H , K . π , ρ son unitariamente equivalentes si y solo si hay un operador unitario U : H → K tal que

${\ Displaystyle \ pi (E) = U ^ {*} \ rho (E) U \ quad}$

para cada E ∈ M .

Teorema . Si ( X , M ) es un espacio estándar de Borel , entonces para cada medida con valores de proyección π en ( X , M ) tomando valores en las proyecciones de un espacio de Hilbert separable , hay una medida de Borel μ y una familia de μ medibles Espacios de Hilbert { H _x } _{x ∈ X} , tal que π es unitariamente equivalente a la multiplicación por 1 _E en el espacio de Hilbert

${\ Displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} H_ {x} \ d \ mu (x).}$

La clase de medida de μ y la clase de equivalencia de medida de la función de multiplicidad x → dim H _x caracterizan completamente la medida valorada en proyección hasta la equivalencia unitaria.

Una medida con valores de proyección π es homogénea de multiplicidad n si y solo si la función de multiplicidad tiene un valor constante n . Claramente,

Teorema . Cualquier medida con valores de proyección π que tome valores en las proyecciones de un espacio de Hilbert separable es una suma directa ortogonal de medidas con valores de proyección homogéneos:

${\ Displaystyle \ pi = \ bigoplus _ {1 \ leq n \ leq \ omega} (\ pi \ mid H_ {n})}$

dónde

${\ Displaystyle H_ {n} = \ int _ {X_ {n}} ^ {\ oplus} H_ {x} \ d (\ mu \ mid X_ {n}) (x)}$

y

${\ Displaystyle X_ {n} = \ {x \ in X: \ dim H_ {x} = n \}.}$

Aplicación en mecánica cuántica

En mecánica cuántica, dada una medida de proyección valorada de un espacio medible X al espacio de endomorfismos continuos en un espacio de Hilbert H ,

• la esfera unitaria del espacio de Hilbert H se interpreta como el conjunto de estados posibles Φ de un sistema cuántico,

• el espacio medible X es el espacio de valores para alguna propiedad cuántica del sistema (un "observable"),

• la medida con valores de proyección π expresa la probabilidad de que el observable adopte varios valores.

Una opción común para X es la línea real, pero también puede ser

• R ³ (para posición o momento en tres dimensiones),

• un conjunto discreto (para momento angular, energía de un estado ligado, etc.),

• el conjunto de 2 puntos "verdadero" y "falso" para el valor de verdad de una proposición arbitraria sobre Φ.

Sea E un subconjunto medible del espacio medible X y Φ un vector-estado normalizado en H , de modo que su norma de Hilbert es unitaria, || Φ || = 1. La probabilidad de que el observable tome su valor en el subconjunto E, dado el sistema en el estado Φ, es

${\ Displaystyle P _ {\ pi} (\ varphi) (E) = \ langle \ varphi \ mid \ pi (E) (\ varphi) \ rangle = \ langle \ varphi | \ pi (E) | \ varphi \ rangle, }$

donde se prefiere la última notación en física.

Podemos analizar esto de dos formas.

Primero, para cada E fijo , la proyección π ( E ) es un operador autoadjunto en H cuyo 1-espacio propio son los estados Φ para los cuales el valor del observable siempre se encuentra en E , y cuyo 0-espacio propio son los estados Φ para los que el valor del observable nunca miente en E .

En segundo lugar, para cada estado vectorial normalizado fijo , la asociación ${\ Displaystyle \ psi}$

${\ Displaystyle P _ {\ pi} (\ psi): E \ mapsto \ langle \ psi \ mid \ pi (E) \ psi \ rangle}$

es una medida de probabilidad en X que convierte los valores de lo observable en una variable aleatoria.

Una medida que se puede realizar mediante una medida con valor de proyección π se denomina medida proyectiva .

Si X es la recta numérica real, existe, asociado a π , un operador hermitiano A definido en H por

${\ Displaystyle A (\ varphi) = \ int _ {\ mathbf {R}} \ lambda \, d \ pi (\ lambda) (\ varphi),}$

que toma la forma más legible

${\ Displaystyle A (\ varphi) = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} \ pi ({\ lambda _ {i}}) (\ varphi)}$

Si el soporte de π es un subconjunto discreto de R .

El operador A anterior se denomina observable asociado con la medida espectral.

Cualquier operador así obtenido se llama observable , en mecánica cuántica.

Generalizaciones

La idea de una medida con valor de proyección se generaliza mediante la medida con valor de operador positivo (POVM), donde la necesidad de la ortogonalidad implícita en los operadores de proyección se reemplaza por la idea de un conjunto de operadores que son una partición de unidad no ortogonal. . Esta generalización está motivada por aplicaciones a la teoría de la información cuántica .

Ver también

• Teorema espectral
• Teoría espectral de operadores compactos
• Teoría espectral de las C * -álgebras normales

Referencias

• Moretti, V. (2018), Teoría espectral y mecánica cuántica Fundamentos matemáticos de las teorías cuánticas, simetrías e introducción a la formulación algebraica , 110 , Springer, ISBN   978-3-319-70705-1
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