Función de paso - Step function

En matemáticas, una función sobre los números reales se denomina función escalonada (o función de escalera ) si se puede escribir como una combinación lineal finita de funciones indicadoras de intervalos . Hablando informalmente, una función escalonada es una función constante por partes que tiene solo un número finito de piezas.

Ejemplo de una función escalonada (el gráfico rojo). Esta función de paso en particular es continua a la derecha .

Definición y primeras consecuencias

Una función se denomina función escalonada si se puede escribir como ${\ Displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ flecha derecha \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle f (x) = \ sum \ limits _ {i = 0} ^ {n} \ alpha _ {i} \ chi _ {A_ {i}} (x)}$, para todos los números reales ${\ Displaystyle x}$

donde , son números reales, son intervalos y es la función indicadora de : ${\ Displaystyle n \ geq 0}$${\ Displaystyle \ alpha _ {i}}$${\ Displaystyle A_ {i}}$${\ Displaystyle \ chi _ {A}}$${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ chi _ {A} (x) = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} x \ in A \\ 0 & {\ text {if}} x \ notin A \\\ end { casos}}}$

En esta definición, se puede suponer que los intervalos tienen las siguientes dos propiedades: ${\ Displaystyle A_ {i}}$

1. Los intervalos son disjuntos por pares : para${\ Displaystyle A_ {i} \ cap A_ {j} = \ emptyset}$${\ Displaystyle i \ neq j}$
2. La unión de los intervalos es toda la línea real:${\ Displaystyle \ bigcup _ {i = 0} ^ {n} A_ {i} = \ mathbb {R}.}$

De hecho, si ese no es el caso para empezar, se puede elegir un conjunto diferente de intervalos para los que se cumplan estos supuestos. Por ejemplo, la función paso

${\ Displaystyle f = 4 \ chi _ {[- 5,1)} + 3 \ chi _ {(0,6)}}$

Se puede escribir como

${\ Displaystyle f = 0 \ chi _ {(- \ infty, -5)} + 4 \ chi _ {[- 5,0]} + 7 \ chi _ {(0,1)} + 3 \ chi _ { [1,6)} + 0 \ chi _ {[6, \ infty)}.}$

Variaciones en la definición

A veces, se requiere que los intervalos estén abiertos por la derecha o que sean singleton. La condición de que la colección de intervalos debe ser finita a menudo se descarta, especialmente en matemáticas escolares, aunque todavía debe ser localmente finita, lo que da como resultado la definición de funciones constantes por partes.

Ejemplos de

La función de paso de Heaviside es una función de paso de uso frecuente.

• Una función constante es un ejemplo trivial de una función escalonada. Entonces solo hay un intervalo,${\ Displaystyle A_ {0} = \ mathbb {R}.}$
• La función de signo sgn ( x ) , que es −1 para números negativos y +1 para números positivos, y es la función de paso no constante más simple.
• La función de Heaviside H ( x ) , que es 0 para números negativos y 1 para números positivos, es equivalente a la función de signo, hasta un desplazamiento y escala de rango ( ). Es el concepto matemático detrás de algunas señales de prueba , como las que se utilizan para determinar la respuesta al escalón de un sistema dinámico .${\ Displaystyle H = (\ operatorname {sgn} +1) / 2}$

La función rectangular , la siguiente función de paso más simple.

• La función rectangular , la función de vagón normalizada , se utiliza para modelar un pulso unitario.

No ejemplos

• La función de parte entera no es una función escalonada según la definición de este artículo, ya que tiene un número infinito de intervalos. Sin embargo, algunos autores también definen funciones escalonadas con un número infinito de intervalos.

Propiedades

• La suma y el producto de las funciones de dos pasos es nuevamente una función de paso. El producto de una función escalonada con un número también es una función escalonada. Como tal, las funciones escalonadas forman un álgebra sobre los números reales.
• Una función escalonada solo toma un número finito de valores. Si los intervalos para en la definición anterior de la función escalonada son disjuntos y su unión es la línea real, entonces para todos${\ Displaystyle A_ {i},}$${\ Displaystyle i = 0,1, \ puntos, n}$${\ Displaystyle f (x) = \ alpha _ {i}}$${\ Displaystyle x \ in A_ {i}.}$
• La integral definida de una función escalonada es una función lineal por partes .
• La integral de Lebesgue de una función escalonada es donde es la longitud del intervalo , y se supone aquí que todos los intervalos tienen una longitud finita. De hecho, esta igualdad (vista como una definición) puede ser el primer paso en la construcción de la integral de Lebesgue.${\ Displaystyle \ textstyle f = \ sum _ {i = 0} ^ {n} \ alpha _ {i} \ chi _ {A_ {i}}}$${\ Displaystyle \ textstyle \ int f \, dx = \ sum _ {i = 0} ^ {n} \ alpha _ {i} \ ell (A_ {i}),}$${\ Displaystyle \ ell (A)}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A_ {i}}$
• Una variable aleatoria discreta a veces se define como una variable aleatoria cuya función de distribución acumulativa es constante por partes. En este caso, es localmente una función de pasos (globalmente, puede tener un número infinito de pasos). Sin embargo, por lo general, cualquier variable aleatoria con solo un número numerable de valores posibles se denomina variable aleatoria discreta; en este caso, su función de distribución acumulativa no es necesariamente localmente una función escalonada, ya que se pueden acumular infinitos intervalos en una región finita.

Ver también

• Función de crenel
• Función definida por partes
• Función sigmoidea
• Función simple
• Detección de pasos
• Función de paso unitario

Referencias