Transformación funk - Funk transform

En el campo matemático de la geometría integral , la transformada Funk (también conocida como transformada Minkowski-Funk , transformada Funk-Radon o transformada esférica Radon ) es una transformada integral definida al integrar una función en los grandes círculos de la esfera . Fue introducido por Paul Funk en 1911, basado en el trabajo de Minkowski (1904) . Está estrechamente relacionado con la transformada de radón . La motivación original para estudiar la transformación Funk fue describir las métricas de Zoll en la esfera.

Definición

La transformación Funk se define de la siguiente manera. Sea f una función continua en las 2 esferas S ² en R ³ . Entonces, para un vector unitario x , sea

{\ Displaystyle Ff (\ mathbf {x}) = \ int _ {\ mathbf {u} \ in C (\ mathbf {x})} f (\ mathbf {u}) \, ds (\ mathbf {u}) }

donde la integral se lleva a cabo con respecto a la longitud de arco ds del gran círculo C ( x ) que consta de todos los vectores unitarios perpendiculares ax :

{\ Displaystyle C (\ mathbf {x}) = \ {\ mathbf {u} \ in S ^ {2} \ mid \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {x} = 0 \}.}

Inversión

La transformada Funk aniquila todas las funciones impares , por lo que es natural limitar la atención al caso cuando f es par. En ese caso, la transformación de Funk lleva funciones pares (continuas) a funciones continuas pares y, además, es invertible.

Armónicos esféricos

Cada función de integración cuadrada en la esfera se puede descomponer en armónicos esféricos ${\ Displaystyle f \ en L ^ {2} (S ^ {2})}$ ${\ Displaystyle Y_ {n} ^ {k}}$

{\ Displaystyle f = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {k = -n} ^ {n} {\ hat {f}} (n, k) Y_ {n} ^ {k }.}

Luego, la transformación Funk de f lee

{\ Displaystyle Ff = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {k = -n} ^ {n} P_ {n} (0) {\ hat {f}} (n, k) Y_ {n} ^ {k}}

donde para valores impares y ${\ Displaystyle P_ {2n + 1} (0) = 0}$

{\ Displaystyle P_ {2n} (0) = (- 1) ^ {n} \, {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdots 2n-1} {2 \ cdot 4 \ cdot 6 \ cdots 2n} } = (- 1) ^ {n} \, {\ frac {(2n-1) !!} {(2n) !!}}}

para valores pares. Funk (1913) mostró este resultado .

Fórmula de inversión de Helgason

Otra fórmula de inversión se debe a Helgason (1999) . Al igual que con la transformada de radón, la fórmula de inversión se basa en la transformada dual F * definida por

{\ Displaystyle (F ^ {*} f) (p, \ mathbf {x}) = {\ frac {1} {2 \ pi \ cos p}} \ int _ {\ | \ mathbf {u} \ | = 1, \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {u} = \ sin p} f (\ mathbf {u}) \, | d \ mathbf {u} |.}

Este es el valor promedio de la función circular ƒ sobre círculos de distancia de arco p desde el punto x . La transformada inversa está dada por

{\ Displaystyle f (\ mathbf {x}) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ left \ {{\ frac {d} {du}} \ int _ {0} ^ {u} F ^ {*} (Ff) (\ cos ^ {- 1} v, \ mathbf {x}) v (u ^ {2} -v ^ {2}) ^ {- 1/2} \, dv \ right \} _ {u = 1}.}

Generalización

La formulación clásica es invariante bajo el grupo de rotación SO (3) . También es posible formular la transformada de Funk de una manera que la haga invariante bajo el grupo lineal especial SL (3, R ), debido a ( Bailey et al. 2003 ). Suponga que f es una función homogénea de grado −2 en R ³ . Entonces, para linealmente independientes vectores x y y , definir una función φ por la integral de línea

{\ Displaystyle \ varphi (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ oint f (u \ mathbf {x} + v \ mathbf {y}) ( u \, dv-v \, du)}

tomado sobre una simple curva cerrada que rodea el origen una vez. La forma diferencial

{\ Displaystyle f (u \ mathbf {x} + v \ mathbf {y}) (u \, dv-v \, du)}

está cerrado , lo que sigue por la homogeneidad de f . Por un cambio de variables , φ satisface

{\ Displaystyle \ phi (a \ mathbf {x} + b \ mathbf {y}, c \ mathbf {x} + d \ mathbf {y}) = {\ frac {1} {| ad-bc |}} \ phi (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}),}

y así da una función homogénea de grado -1 en el cuadrado exterior de R ³ ,

{\ Displaystyle Ff (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) = \ phi (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}).}

La función Fƒ : Λ ² R ³ → R concuerda con la transformada de Funk cuando ƒ es la extensión homogénea de grado −2 de una función en la esfera y el espacio proyectivo asociado a Λ ² R ³ se identifica con el espacio de todos los círculos en la esfera. Alternativamente, Λ ² R ³ se puede identificar con R ³ de una manera SL (3, R ) -invariante, por lo que la transformada de Funk F mapea funciones uniformes incluso homogéneas de grado -2 en R ³ \ {0} para suavizar incluso homogéneas funciones de grado −1 en R ³ \ {0}.

Aplicaciones

La transformada Funk-Radon se utiliza en el método Q-Ball para Difusión MRI introducido en ( Tuch 2004 ). También está relacionado con cuerpos de intersección en geometría convexa. Sea un cuerpo de estrella con función radial . Entonces el cuerpo de intersección IK de K tiene la función radial , ver ( Gardner 2006 , p. 305). ${\ Displaystyle K \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${\ Displaystyle \ rho _ {K} ({\ boldsymbol {x}}) = \ max \ {t: t {\ boldsymbol {x}} \ in K \},}$ ${\ Displaystyle x \ in S ^ {d-1}}$ ${\ Displaystyle \ rho _ {IK} = F \ rho _ {K}}$