Armónicos esféricos - Spherical harmonics
En matemáticas y ciencias físicas , los armónicos esféricos son funciones especiales definidas en la superficie de una esfera . A menudo se emplean para resolver ecuaciones diferenciales parciales en muchos campos científicos.
Dado que los armónicos esféricos forman un conjunto completo de funciones ortogonales y, por lo tanto, una base ortonormal , cada función definida en la superficie de una esfera se puede escribir como una suma de estos armónicos esféricos. Esto es similar a las funciones periódicas definidas en un círculo que se pueden expresar como una suma de funciones circulares (senos y cosenos) a través de series de Fourier . Como los senos y cosenos en las series de Fourier, los armónicos esféricos pueden organizarse por frecuencia angular (espacial) , como se ve en las filas de funciones en la ilustración de la derecha. Además, los armónicos esféricos son funciones de base para representaciones irreductibles de SO (3) , el grupo de rotaciones en tres dimensiones, y por lo tanto juegan un papel central en la discusión teórica de grupo de SO (3).
Los armónicos esféricos se originan al resolver la ecuación de Laplace en los dominios esféricos. Las funciones que son soluciones a la ecuación de Laplace se llaman armónicos. A pesar de su nombre, armónicos esféricos toman su forma más simple en coordenadas cartesianas , en donde pueden ser definidas como polinomios homogéneos de grado en que la ecuación obey de Laplace. La conexión con coordenadas esféricas surge inmediatamente si se usa la homogeneidad para extraer un factor de dependencia radial del polinomio de grado mencionado anteriormente ; el factor restante se puede considerar como una función de las coordenadas angulares esféricas y solo, o de manera equivalente, del vector unitario de orientación especificado por estos ángulos. En este contexto, pueden verse como la parte angular de un conjunto de soluciones a la ecuación de Laplace en tres dimensiones, y este punto de vista se toma a menudo como una definición alternativa.
Un conjunto específico de armónicos esféricos, denotados o , se conocen como armónicos esféricos de Laplace, ya que fueron introducidos por primera vez por Pierre Simon de Laplace en 1782. Estas funciones forman un sistema ortogonal y, por lo tanto, son básicas para la expansión de una función general en el esfera como se mencionó anteriormente.
Los armónicos esféricos son importantes en muchas aplicaciones teóricas y prácticas, incluida la representación de campos electromagnéticos y electrostáticos multipolares , configuraciones electrónicas , campos gravitacionales , geoides , campos magnéticos de cuerpos planetarios y estrellas, y la radiación cósmica de fondo de microondas . En los gráficos por computadora en 3D , los armónicos esféricos juegan un papel en una amplia variedad de temas, incluida la iluminación indirecta ( oclusión ambiental , iluminación global , transferencia de radiación precalculada , etc.) y el modelado de formas 3D.
Historia
Los armónicos esféricos se investigaron por primera vez en relación con el potencial newtoniano de la ley de gravitación universal de Newton en tres dimensiones. En 1782, Pierre-Simon de Laplace había determinado, en su Mécanique Céleste , que el potencial gravitacional en un punto x asociado con un conjunto de masas puntuales m i ubicadas en los puntos x i estaba dado por
Cada término en la suma anterior es un potencial newtoniano individual para una masa puntual. Justo antes de ese momento, Adrien-Marie Legendre había investigado la expansión del potencial newtoniano en potencias de r = | x | y r 1 = | x 1 | . Descubrió que si r ≤ r 1 entonces
donde γ es el ángulo entre los vectores x y x 1 . Las funciones son los polinomios de Legendre y pueden derivarse como un caso especial de armónicos esféricos. Posteriormente, en sus memorias de 1782, Laplace investigó estos coeficientes utilizando coordenadas esféricas para representar el ángulo γ entre x 1 y x . (Consulte Aplicaciones de los polinomios de Legendre en física para obtener un análisis más detallado).
En 1867, William Thomson (Lord Kelvin) y Peter Guthrie Tait introdujeron los armónicos esféricos sólidos en su Tratado de filosofía natural , y también introdujeron por primera vez el nombre de "armónicos esféricos" para estas funciones. Los armónicos sólidos eran soluciones polinomiales homogéneas de la ecuación de Laplace
Al examinar la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas, Thomson y Tait recuperaron los armónicos esféricos de Laplace. (Véase la sección siguiente, "Representación polinomial armónica".) El término "coeficientes de Laplace" fue empleado por William Whewell para describir el sistema particular de soluciones introducido a lo largo de estas líneas, mientras que otros reservaron esta designación para los armónicos esféricos zonales que habían sido apropiadamente presentado por Laplace y Legendre.
El desarrollo de la serie de Fourier en el siglo XIX hizo posible la solución de una amplia variedad de problemas físicos en dominios rectangulares, como la solución de la ecuación de calor y la ecuación de onda . Esto podría lograrse mediante la expansión de funciones en una serie de funciones trigonométricas . Mientras que las funciones trigonométricas en una serie de Fourier representan los modos fundamentales de vibración en una cuerda , los armónicos esféricos representan los modos fundamentales de vibración de una esfera de la misma manera. Muchos aspectos de la teoría de las series de Fourier podrían generalizarse tomando expansiones en armónicos esféricos en lugar de funciones trigonométricas. Además, de manera análoga a cómo las funciones trigonométricas se pueden escribir de manera equivalente como exponenciales complejas , los armónicos esféricos también poseían una forma equivalente a las funciones con valores complejos. Esto fue una bendición para los problemas que poseen simetría esférica , como los de la mecánica celeste originalmente estudiados por Laplace y Legendre.
La prevalencia de los armónicos esféricos ya en la física sentó las bases para su importancia posterior en el nacimiento de la mecánica cuántica en el siglo XX . Los armónicos esféricos (de valor complejo) son funciones propias del cuadrado del operador de momento angular orbital
y por lo tanto representan las diferentes configuraciones cuantificadas de orbitales atómicos .
Armónicos esféricos de Laplace
La ecuación de Laplace impone que el Laplaciano de un campo escalar f es cero. (Aquí se entiende que el campo escalar es complejo, es decir, que corresponde a una función (suave)) . En coordenadas esféricas esto es:
Considere el problema de encontrar soluciones de la forma f ( r , θ , φ ) = R ( r ) Y ( θ , φ ) . Por separación de variables , resultan dos ecuaciones diferenciales imponiendo la ecuación de Laplace:
La segunda ecuación se puede simplificar asumiendo que Y tiene la forma Y ( θ , φ ) = Θ ( θ ) Φ ( φ ) . La aplicación de la separación de variables nuevamente a la segunda ecuación da paso al par de ecuaciones diferenciales
para algún número m . A priori, m es una constante compleja, pero debido a que Φ debe ser una función periódica cuyo período divide uniformemente a 2 π , m es necesariamente un número entero y Φ es una combinación lineal de las exponenciales complejas e ± imφ . La función solución Y ( θ , φ ) es regular en los polos de la esfera, donde θ = 0, π . La imposición de esta regularidad en la solución Θ de la segunda ecuación en los puntos de frontera del dominio es un problema de Sturm-Liouville que obliga al parámetro λ a tener la forma λ = ℓ ( ℓ + 1) para algún entero no negativo con ℓ ≥ | m | ; esto también se explica a continuación en términos del momento angular orbital . Además, un cambio de variables t = cos θ transforma esta ecuación en la ecuación de Legendre , cuya solución es un múltiplo del polinomio de Legendre asociado Pm
ℓ(cos θ ) . Finalmente, la ecuación para R tiene soluciones de la forma R ( r ) = A r ℓ + B r - ℓ - 1 ; requiriendo que la solución sea regular en todas las fuerzas de R 3 B = 0 .
Aquí se asumió que la solución tenía la forma especial Y ( θ , φ ) = Θ ( θ ) Φ ( φ ) . Para un valor dado de ℓ , hay 2 ℓ + 1 soluciones independientes de esta forma, una para cada entero m con - ℓ ≤ m ≤ ℓ . Estas soluciones angulares son un producto de funciones trigonométricas , aquí representadas como una exponencial compleja , y polinomios de Legendre asociados:
que cumplen
Aquí se denomina función armónica esférica de grado ℓ y orden m , es un polinomio de Legendre asociado , N es una constante de normalización y θ y φ representan colatitud y longitud, respectivamente. En particular, la colatitud θ , o ángulo polar, varía de 0 en el Polo Norte, a π / 2 en el Ecuador, a π en el Polo Sur, y la longitud φ , o acimut , puede asumir todos los valores con 0 ≤ φ <2 π . Para un entero fijo ℓ , cada solución Y ( θ , φ ) , , del problema de valores propios
es una combinación lineal de . De hecho, para cualquier solución de este tipo, r ℓ Y ( θ , φ ) es la expresión en coordenadas esféricas de un polinomio homogéneo que es armónico (ver más abajo ), por lo que contar dimensiones muestra que hay 2 ℓ + 1 linealmente independientes tales polinomios .
La solución general a la ecuación de Laplace en una bola centrada en el origen es una combinación lineal de las funciones armónicas esféricas multiplicadas por el factor de escala apropiado r ℓ ,
donde son constantes y los factores r ℓ Y ℓ m se conocen como armónicos sólidos ( regulares ) . Tal expansión es válida en la pelota.
En su lugar , se eligen los armónicos sólidos con potencias negativas de (los armónicos sólidos irregulares ). En ese caso, es necesario expandir la solución de regiones conocidas en la serie de Laurent (aproximadamente ), en lugar de la serie de Taylor (aproximadamente ) utilizada anteriormente, para hacer coincidir los términos y encontrar los coeficientes de expansión de la serie .
Momento angular orbital
En mecánica cuántica, los armónicos esféricos de Laplace se entienden en términos del momento angular orbital.
El ħ es convencional en mecánica cuántica; conviene trabajar en unidades en las que ħ = 1 . Los armónicos esféricos son funciones propias del cuadrado del momento angular orbital.
Los armónicos esféricos de Laplace son las funciones propias conjuntas del cuadrado del momento angular orbital y el generador de rotaciones sobre el eje azimutal:
Estos operadores conmutan y son operadores autoadjuntos densamente definidos en el espacio de Hilbert ponderado de funciones f integrables al cuadrado con respecto a la distribución normal como la función de ponderación en R 3 :
Además, L 2 es un operador positivo .
Si Y es una función propia conjunta de L 2 y L z , entonces, por definición
para algunos números reales m y λ . Aquí m debe ser de hecho un número entero, ya que Y debe ser periódico en la coordenada φ con período un número que divide uniformemente 2 π . Además, dado que
y cada uno de L x , L y , L z son autoadjuntos, se deduce que λ ≥ m 2 .
Denote este espacio propio conjunto por E λ , m , y defina los operadores de subida y bajada por
Entonces L + y L - conmutan con L 2 , y el álgebra de Lie generada por L + , L - , L z es el álgebra de Lie lineal especial de orden 2 , con relaciones de conmutación
Así L + : E λ , m → E λ , m +1 (es un "operador de subida") y L - : E λ , m → E λ , m −1 (es un "operador de bajada"). En particular, Lk
+ : E λ , m → E λ , m + k debe ser cero para k suficientemente grande, porque la desigualdad λ ≥ m 2 debe mantenerse en cada uno de los espacios propios conjuntos no triviales. Sea Y ∈ E λ , m una función propia conjunta distinta de cero, y sea k el mínimo entero tal que
Entonces, desde
resulta que
Por tanto, λ = ℓ ( ℓ + 1) para el entero positivo ℓ = m + k .
Todo lo anterior se ha resuelto en la representación de coordenadas esféricas, pero puede expresarse de manera más abstracta en la base de ket esférico ortonormal completo .
Representación polinomial armónica
Los armónicos esféricos se pueden expresar como la restricción a la esfera unitaria de ciertas funciones polinómicas . Específicamente, decimos que una función polinomial (de valor complejo) es homogénea de grado si
para todos los números reales y todo . Decimos que es armónico si
donde esta el laplaciano . Luego, para cada uno , definimos
Por ejemplo, cuando , es solo el espacio tridimensional de todas las funciones lineales , ya que dicha función es automáticamente armónica. Mientras tanto, cuando tenemos un espacio de 5 dimensiones:
Para cualquiera , el espacio de armónicos esféricos de grado es solo el espacio de restricciones a la esfera de los elementos de . Como se sugiere en la introducción, esta perspectiva es presumiblemente el origen del término "armónico esférico" (es decir, la restricción a la esfera de una función armónica ).
Por ejemplo, para cualquiera la fórmula
define un polinomio homogéneo de grado con dominio y codominio , que pasa a ser independiente de . Este polinomio se ve fácilmente como armónico. Si escribimos en coordenadas esféricas y luego restringimos a , obtenemos
que se puede reescribir como
Después de usar la fórmula para el polinomio de Legendre asociado , podemos reconocer esto como la fórmula para el armónico esférico (consulte la sección siguiente sobre casos especiales de armónicos esféricos).
Convenciones
Ortogonalidad y normalización
Varias normalizaciones diferentes son de uso común para las funciones armónicas esféricas de Laplace . En toda la sección, usamos la convención estándar que para (ver polinomios de Legendre asociados )
que es la normalización natural dada por la fórmula de Rodrigues.
En acústica , los armónicos esféricos de Laplace se definen generalmente como (esta es la convención utilizada en este artículo)
mientras que en mecánica cuántica :
donde se asocian los polinomios de Legendre sin la fase Condon-Shortley (para evitar contar la fase dos veces).
En ambas definiciones, los armónicos esféricos son ortonormales.
donde δ ij es el delta de Kronecker y d Ω = sin ( θ ) dφ dθ . Esta normalización se utiliza en mecánica cuántica porque asegura que la probabilidad se normaliza, es decir
Las disciplinas de geodesia y análisis espectral utilizan
que poseen potencia unitaria
La comunidad magnética , por el contrario, utiliza armónicos semi-normalizados de Schmidt.
que tienen la normalización
En mecánica cuántica, esta normalización también se usa a veces, y se denomina normalización de Racah en honor a Giulio Racah .
Se puede demostrar que todas las funciones armónicas esféricas normalizadas anteriores satisfacen
donde el superíndice * denota conjugación compleja. Alternativamente, esta ecuación se sigue de la relación de las funciones armónicas esféricas con la matriz D de Wigner .
Fase de Condon-Shortley
Una fuente de confusión con la definición de las funciones armónicas esféricas se refiere a un factor de fase de (-1) m , comúnmente conocida como la fase Condon- Shortley en la literatura de mecánica cuántica. En la comunidad de la mecánica cuántica, es una práctica común incluir este factor de fase en la definición de los polinomios de Legendre asociados o agregarlo a la definición de las funciones armónicas esféricas. No es necesario utilizar la fase Condon-Shortley en la definición de las funciones armónicas esféricas, pero incluirla puede simplificar algunas operaciones de mecánica cuántica, especialmente la aplicación de operadores de subida y bajada . Las comunidades de geodesia y magnetismo nunca incluyen el factor de fase Condon-Shortley en sus definiciones de las funciones armónicas esféricas ni en las de los polinomios de Legendre asociados.
Forma real
Se puede definir una base real de armónicos esféricos en términos de sus análogos complejos configurando
Los armónicos esféricos reales a veces se conocen como armónicos esféricos teserales . Estas funciones tienen las mismas propiedades de ortonormalidad que las complejas anteriores. Se dice que los armónicos esféricos reales con m > 0 son de tipo coseno y aquellos con m <0 de tipo seno. La razón de esto se puede ver escribiendo las funciones en términos de los polinomios de Legendre como
Los mismos factores de seno y coseno también se pueden ver en la siguiente subsección que trata de la representación cartesiana.
Consulte aquí para obtener una lista de armónicos esféricos reales hasta e inclusive , que se puede ver que son consistentes con la salida de las ecuaciones anteriores.
Uso en química cuántica
Como se sabe de las soluciones analíticas para el átomo de hidrógeno, las funciones propias de la parte angular de la función de onda son armónicos esféricos. Sin embargo, las soluciones de la ecuación de Schrödinger no relativista sin términos magnéticos pueden hacerse reales. Esta es la razón por la que las formas reales se usan ampliamente en funciones básicas para la química cuántica, ya que los programas no necesitan usar álgebra compleja. Aquí, es importante tener en cuenta que las funciones reales abarcan el mismo espacio que las complejas.
Por ejemplo, como se puede ver en la tabla de armónicos esféricos , las funciones p usuales ( ) son direcciones de ejes complejas y de mezcla, pero las versiones reales son esencialmente solo x , y y z .
Armónicos esféricos en forma cartesiana
Los armónicos esféricos complejos dan lugar a los armónicos sólidos extendiéndose de a todos como una función homogénea de grado , es decir, ajuste
Resulta que es la base del espacio de polinomios armónicos y homogéneos de grado . Más específicamente, es la (única hasta la normalización) Gelfand-Tsetlin-base de esta representación del grupo rotacional y una fórmula explícita para en coordenadas cartesianas puede derivarse de ese hecho.
La función generadora de Herglotz
Si se adopta la convención de la mecánica cuántica para el , entonces
En este caso, es el vector con componentes , y
es un vector con coeficientes complejos. Basta tomar y como parámetros reales. La propiedad esencial de es que es nulo:
Al nombrar esta función generadora en honor a Herglotz , seguimos a Courant & Hilbert 1962 , §VII.7, quienes atribuyen su descubrimiento a notas inéditas de él.
Esencialmente, todas las propiedades de los armónicos esféricos pueden derivarse de esta función generadora. Un beneficio inmediato de esta definición es que si el vector se sustituye por el operador cuántico mecánico de espín vector , de manera que es el análogo operador del sólido armónica se obtiene una función, de producción para un conjunto estandarizado de operadores tensoriales esféricas , :
El paralelismo de las dos definiciones asegura que los 's se transforman bajo rotaciones (ver más abajo) de la misma manera que los ' s, lo que a su vez garantiza que son operadores tensoriales esféricos , con y , obedeciendo a todas las propiedades de dichos operadores, como el teorema de composición de Clebsch-Gordan y el teorema de Wigner-Eckart . Son, además, un conjunto estandarizado con una escala fija o normalización.
Forma cartesiana separada
La definición herglotziana produce polinomios que, si se desea, se pueden factorizar en un polinomio de y otro de y , como sigue (fase Condon-Shortley):
y para m = 0:
Aquí
y
Porque esto se reduce a
El factor es esencialmente el polinomio de Legendre asociado y los factores son esencialmente .
Ejemplos de
Usando las expresiones para , y enumeradas explícitamente arriba obtenemos:
Se puede verificar que esto concuerde con la función listada aquí y aquí .
Formas reales
Usando las ecuaciones anteriores para formar los armónicos esféricos reales, se ve que solo se incluyen los términos (cosenos) y solo se incluyen los términos (senos):
y para m = 0:
Casos y valores especiales
- Cuando , los armónicos esféricos se reducen a los polinomios ordinarios de Legendre :
- cuando ,
- En el polo norte, donde , y no está definido, todos los armónicos esféricos excepto aquellos con se desvanecen:
Propiedades de simetría
Los armónicos esféricos tienen propiedades profundas y consecuentes bajo las operaciones de inversión espacial (paridad) y rotación.
Paridad
Los armónicos esféricos tienen paridad definida. Es decir, son pares o impares con respecto a la inversión sobre el origen. La inversión está representada por el operador . Entonces, como se puede ver de muchas maneras (quizás más simplemente de la función generadora de Herglotz), siendo un vector unitario,
En términos de los ángulos esféricos, la paridad transforma un punto con coordenadas a . El enunciado de la paridad de armónicos esféricos es entonces
(Esto se puede ver de la siguiente manera: los polinomios de Legendre asociados dan (−1) ℓ + my de la función exponencial tenemos (−1) m , dando juntos para los armónicos esféricos una paridad de (−1) ℓ .)
La paridad sigue siendo válida para los armónicos esféricos reales y para los armónicos esféricos en dimensiones superiores: la aplicación de una reflexión puntual a un armónico esférico de grado ℓ cambia el signo por un factor de (−1) ℓ .
Rotaciones
Considere una rotación alrededor del origen que envía el vector unitario a . Bajo esta operación, un armónico esférico de grado y orden se transforma en una combinación lineal de armónicos esféricos del mismo grado. Es decir,
donde es una matriz de orden que depende de la rotación . Sin embargo, esta no es la forma estándar de expresar esta propiedad. En la forma estándar que uno escribe,
donde es el conjugado complejo de un elemento de la matriz D de Wigner . En particular, cuando hay una rotación del acimut obtenemos la identidad,
El comportamiento rotacional de los armónicos esféricos es quizás su característica por excelencia desde el punto de vista de la teoría de grupos. Los de grado proporcionan un conjunto básico de funciones para la representación irreductible del grupo SO (3) de dimensión . Muchos hechos sobre armónicos esféricos (como el teorema de la adición) que se prueban laboriosamente usando los métodos de análisis adquieren demostraciones más simples y un significado más profundo usando los métodos de simetría.
Expansión de armónicos esféricos
Los armónicos esféricos de Laplace forman un conjunto completo de funciones ortonormales y, por lo tanto, forman una base ortonormal del espacio de Hilbert de funciones cuadradas integrables . En la esfera unitaria , cualquier función integrable al cuadrado se puede expandir como una combinación lineal de estas:
Esta expansión se cumple en el sentido de convergencia cuadrática media, convergencia en L 2 de la esfera, lo que equivale a decir que
Los coeficientes de expansión son los análogos de los coeficientes de Fourier y se pueden obtener multiplicando la ecuación anterior por el complejo conjugado de un armónico esférico, integrando sobre el ángulo sólido Ω y utilizando las relaciones de ortogonalidad anteriores. Esto está rigurosamente justificado por la teoría básica del espacio de Hilbert. Para el caso de armónicos ortonormalizados, esto da:
Si los coeficientes decaen en ℓ con suficiente rapidez, por ejemplo, exponencialmente , la serie también converge uniformemente en f .
Una función cuadrada integrable también se puede expandir en términos de los armónicos reales anteriores como una suma
La convergencia de la serie se mantiene de nuevo en el mismo sentido, es decir, los armónicos esféricos reales forman un conjunto completo de funciones ortonormales y, por lo tanto, forman una base ortonormal del espacio de Hilbert de funciones cuadradas integrables . El beneficio de la expansión en términos de las funciones armónicas reales es que para las funciones reales se garantiza que los coeficientes de expansión son reales, mientras que sus coeficientes en su expansión en términos de (considerándolos como funciones ) no tienen esa propiedad.
Tensores armónicos
Fórmula
Como regla general, las funciones armónicas son útiles en física teórica para considerar campos en el campo lejano cuando la distancia de las cargas es mucho mayor que el tamaño de su ubicación. En este caso, el radio R es constante y las coordenadas ( θ , φ ) son convenientes de usar. La física teórica considera muchos problemas cuando se necesita una solución de la ecuación de Laplace en función de las coordenadas artesianas. Al mismo tiempo, es importante obtener una forma invariante de soluciones en relación con la rotación del espacio o, en general, en relación con las transformaciones de grupo. Las soluciones de tensor más simples (potenciales dipolo, cuadripolar y octupolar) son conceptos fundamentales de la física general:
Es fácil verificar que son las funciones armónicas. El conjunto total de tensores se define mediante la serie de Taylor de un potencial de campo de carga puntual para :
donde el tensor se denota por el símbolo y la contracción de los tensores está entre paréntesis [...]. Por lo tanto, el tensor está definido por la -ésima derivada del tensor:
James Clerk Maxwell usó consideraciones similares sin tensores de forma natural. EW Hobson también analizó el método de Maxwell. Se pueden ver en la ecuación las siguientes propiedades que repiten principalmente las de las funciones sólidas y esféricas.
- El tensor es el polinomio armónico, es decir .
- La traza sobre cada par de índices es cero, hasta .
- El tensor es un polinomio homogéneo de grado, es decir, el grado sumado de las variables x, y, z de cada elemento es igual .
- El tensor tiene forma invariante bajo rotaciones de variables x, y, z, es decir, del vector .
- El conjunto total de potenciales está completo.
- La contracción de con un tensor es proporcional a la contracción de dos potenciales armónicos:
La fórmula para un tensor armónico invariante se encontró en papel. En la monografía se ofrece una descripción detallada. Los tensores armónicos 4-D son importantes en la simetría de Fock que se encuentra en el problema cuántico de Coulomb. La fórmula contiene productos de tensores y símbolos Kronecker :
El número de símbolos Kronecker aumenta en dos en el producto de cada elemento siguiente cuando el rango de tensores se reduce en dos en consecuencia. La operación simetriza un tensor mediante la suma de todas las permutaciones independientes de índices. Particularmente, cada uno no necesita transformarse y los tensores no se convierten .
Es conveniente sustituir estos tensores en la ecuación de Laplace:
La última relación es la fórmula de Euler para polinomios homogéneos . El operador de Laplace no afecta la simetría del índice de los tensores. Las dos relaciones permiten la sustitución de un tensor en la ecuación de Laplace para verificar directamente que el tensor es una función armónica:
Momentos simplificados
La última propiedad es importante para la física teórica por la siguiente razón. El potencial de cargas fuera de su ubicación es integral para ser igual a la suma de potenciales multipolares:
donde es la densidad de carga. La convolución se aplica a los tensores en la fórmula de forma natural. Las integrales en la suma se denominan en física momentos multipolares . Tres de ellos se utilizan activamente mientras que otros se aplican con menor frecuencia ya que su estructura (o la de funciones esféricas) es más complicada. Sin embargo, la última propiedad permite simplificar los cálculos en física teórica utilizando integrales con tensor en lugar de tensor armónico . Por lo tanto, los momentos simplificados dan el mismo resultado y no hay necesidad de restringir los cálculos solo para los potenciales dipolo, cuadripolo y octupolar. Es la ventaja del punto de vista tensorial y no la única.
Operador de escalera de Efimov
Las funciones esféricas tienen algunas fórmulas recurrentes. En la mecánica cuántica, las fórmulas recurrentes juegan un papel cuando conectan funciones de estados cuánticos por medio de un operador de escalera . La propiedad se produce debido al grupo de simetría del sistema considerado. El operador de escalera vectorial para los estados armónicos invariantes que se encuentra en el papel y se detalla en.
- Para ello, se aplica la transformación de -espacio que conserva la forma de la ecuación de Laplace:
El operador que se aplica al potencial del tensor armónico en -espacio entra en el operador de escalera de Efimov que actúa sobre el tensor transformado en -espacio:
donde es operador del módulo de momento angular :
Operador multiplica tensor armónico por su grado es decir por si a la retirada de acuerdo función esférica para números cuánticos , . Para comprobar la acción del operador de escalera , se puede aplicar a los tensores dipolo y cuadrupolo:
Aplicando sucesivamente a obtenemos la forma general de tensores armónicos invariantes:
El operador análogo al operador de escalera de oscilador . Para trazar la relación con un operador cuántico, es útil multiplicarlo por para ir al espacio invertido:
Como resultado, el operador entra en el operador de impulso en el espacio:
Es útil aplicar las siguientes propiedades de .
-
El conmutador de los operadores de coordenadas es cero:
La propiedad es sumamente conveniente para los cálculos.
- El producto del operador escalar es cero en el espacio de funciones armónicas:
La propiedad da rastro cero del tensor armónico sobre cada dos índices.
El operador de escalera es análogo al del problema del oscilador cuántico . Genera estados de Glauber que se crean en la teoría cuántica de los campos de radiación electromagnética. Más tarde se demostró como resultado teórico que los estados coherentes son intrínsecos para cualquier sistema cuántico con una simetría de grupo para incluir el grupo rotacional.
Forma invariable de armónicos esféricos
Los armónicos esféricos concuerdan con el sistema de coordenadas. Sean los vectores unitarios a lo largo de los ejes X, Y, Z. Denote los siguientes vectores unitarios como y :
Usando los vectores, los armónicos sólidos son iguales a:
donde esta la constante:
El momento angular está definido por el grupo rotacional. El impulso mecánico está relacionado con el grupo de traducción. El operador de escalera es el mapeo del momento tras la inversión 1 / r del espacio tridimensional. Está subiendo al operador . El operador descendente aquí es el gradiente naturalmente junto con la contracción parcial sobre los índices de pares para dejar otros:
Análisis de espectro
Espectro de potencia en el procesamiento de señales
La potencia total de una función f se define en la literatura sobre procesamiento de señales como la integral de la función al cuadrado, dividida por el área de su dominio. Usando las propiedades de ortonormalidad de las funciones armónicas esféricas de potencia unitaria real, es sencillo verificar que la potencia total de una función definida en la esfera unitaria está relacionada con sus coeficientes espectrales mediante una generalización del teorema de Parseval (aquí, el teorema se establece para armónicos semi-normalizados de Schmidt, la relación es ligeramente diferente para armónicos ortonormales):
dónde
se define como el espectro de potencia angular (para armónicos semi-normalizados de Schmidt). De manera similar, se puede definir el poder cruzado de dos funciones como
dónde
se define como el espectro de potencia cruzada. Si las funciones f y g tienen una media cero (es decir, los coeficientes espectrales f 00 y g 00 son cero), entonces S ff ( ℓ ) y S fg ( ℓ ) representan las contribuciones a la varianza y covarianza de la función para el grado ℓ , respectivamente. Es común que el espectro de potencia (cruzado) esté bien aproximado por una ley de potencia de la forma
Cuando β = 0, el espectro es "blanco" ya que cada grado posee el mismo poder. Cuando β <0, el espectro se denomina "rojo", ya que hay más potencia en los grados bajos con longitudes de onda largas que en los grados más altos. Finalmente, cuando β > 0, el espectro se denomina "azul". La condición en el orden de crecimiento de S ff ( ℓ ) está relacionada con el orden de diferenciabilidad de f en la siguiente sección.
Propiedades de diferenciabilidad
También se pueden entender las propiedades de diferenciabilidad de la función original f en términos de las asintóticas de S ff ( ℓ ). En particular, si S ff ( ℓ ) decae más rápido que cualquier función racional de ℓ cuando ℓ → ∞, entonces f es infinitamente diferenciable . Si, además, S ff ( ℓ ) decae exponencialmente, entonces f es realmente analítica real en la esfera.
La técnica general consiste en utilizar la teoría de los espacios de Sobolev . Las afirmaciones que relacionan el crecimiento de S ff ( ℓ ) con la diferenciabilidad son entonces similares a los resultados análogos sobre el crecimiento de los coeficientes de las series de Fourier . Específicamente, si
entonces f está en el espacio de Sobolev H s ( S 2 ). En particular, el teorema de inclusión de Sobolev implica que f es infinitamente diferenciable siempre que
para todos los s .
Propiedades algebraicas
Teorema de la suma
Un resultado matemático de considerable interés y uso se denomina teorema de la adición para armónicos esféricos. Dados dos vectores r y r' , con coordenadas esféricas y , respectivamente, el ángulo entre ellos se da por la relación
en el que el papel de las funciones trigonométricas que aparecen en el lado derecho lo juegan los armónicos esféricos y el del lado izquierdo lo juegan los polinomios de Legendre .
El teorema de la suma establece
-
( 1 )
donde P ℓ es el polinomio de Legendre de grado ℓ . Esta expresión es válida tanto para armónicos reales como complejos. El resultado se puede probar analíticamente, usando las propiedades del núcleo de Poisson en la bola unitaria, o geométricamente aplicando una rotación al vector y para que apunte a lo largo del eje z , y luego calculando directamente el lado derecho.
En particular, cuando x = y , esto da el teorema de Unsöld
que generaliza la identidad cos 2 θ + sen 2 θ = 1 a dos dimensiones.
En la expansión ( 1 ), el lado izquierdo P ℓ ( x ⋅ y ) es un múltiplo constante del grado ℓ armónico esférico zonal . Desde esta perspectiva, se tiene la siguiente generalización a dimensiones superiores. Sea Y j una base ortonormal arbitraria del espacio H ℓ de armónicos esféricos de grado ℓ en la n -esfera. Entonces , el grado ℓ armónico zonal correspondiente al vector unitario x , se descompone como
-
( 2 )
Además, el armónico zonal se da como un múltiplo constante del polinomio de Gegenbauer apropiado :
-
( 3 )
La combinación de ( 2 ) y ( 3 ) da ( 1 ) en la dimensión n = 2 cuando x y y están representados en coordenadas esféricas. Finalmente, evaluar en x = y da la identidad funcional
donde ω n −1 es el volumen de la ( n −1) -esfera.
Regla de contracción
Otra identidad útil expresa el producto de dos armónicos esféricos como una suma sobre los armónicos esféricos.
donde los valores de y están determinados por las reglas de selección para los símbolos 3j .
Coeficientes de Clebsch-Gordan
Los coeficientes de Clebsch-Gordan son los coeficientes que aparecen en la expansión del producto de dos armónicos esféricos en términos de los propios armónicos esféricos. Hay una variedad de técnicas disponibles para realizar esencialmente el mismo cálculo, incluido el símbolo de Wigner 3-jm , los coeficientes de Racah y las integrales de Slater . De manera abstracta, los coeficientes de Clebsch-Gordan expresan el producto tensorial de dos representaciones irreductibles del grupo de rotación como una suma de representaciones irreductibles: adecuadamente normalizados, los coeficientes son entonces las multiplicidades.
Visualización de los armónicos esféricos
Los armónicos esféricos de Laplace se pueden visualizar considerando sus " líneas nodales ", es decir, el conjunto de puntos en la esfera dónde , o alternativamente dónde . Las líneas nodales de están compuestas por círculos ℓ : hay | m | círculos a lo largo de longitudes y ℓ - | m | círculos a lo largo de latitudes. Se puede determinar el número de líneas nodales de cada tipo contando el número de ceros en las direcciones y respectivamente. Considerando en función de , los componentes real e imaginario de los polinomios de Legendre asociados poseen cada uno ℓ - | m | ceros, cada uno de los cuales da lugar a una "línea de latitud" nodal. Por otro lado, considerando en función de , las funciones trigonométricas sen y cos poseen 2 | m | ceros, cada uno de los cuales da lugar a una "línea de longitud" nodal.
Cuando el orden armónico esférico m es cero (arriba a la izquierda en la figura), las funciones armónicas esféricas no dependen de la longitud y se denominan zonales . Tales armónicos esféricos son un caso especial de funciones esféricas zonales . Cuando ℓ = | m | (parte inferior derecha de la figura), no hay cruces por cero en latitud y las funciones se denominan sectoriales . Para los demás casos, las funciones verifican la esfera y se denominan teserales .
Los armónicos esféricos más generales de grado ℓ no son necesariamente los de la base de Laplace , y sus conjuntos nodales pueden ser de un tipo bastante general.
Lista de armónicos esféricos
Expresiones analíticas para los primeros armónicos esféricos de Laplace ortonormalizados que utilizan la convención de fase de Condon-Shortley:
Mayores dimensiones
Los armónicos esféricos clásicos se definen como funciones de valores complejos en la esfera unitaria dentro del espacio euclidiano tridimensional . Los armónicos esféricos se pueden generalizar al espacio euclidiano de dimensiones superiores de la siguiente manera, lo que lleva a funciones . Sea P ℓ el espacio de polinomios homogéneos de valor complejo de grado ℓ en n variables reales, aquí consideradas como funciones . Es decir, un polinomio p está en P ℓ siempre que para cualquier real , uno tenga
Sea A ℓ el subespacio de P ℓ que consta de todos los polinomios armónicos :
Estos son los armónicos esféricos sólidos (regulares) . Sea H ℓ el espacio de funciones en la esfera unitaria
obtenido por restricción de A ℓ
Se mantienen las siguientes propiedades:
- La suma de los espacios H ℓ es densa en el conjunto de funciones continuas con respecto a la topología uniforme , por el teorema de Stone-Weierstrass . Como resultado, la suma de estos espacios también es densa en el espacio L 2 ( S n −1 ) de funciones cuadradas integrables en la esfera. Así, cada función cuadrática integrable en la esfera se descompone de manera única en una serie de armónicos esféricos, donde la serie converge en el sentido L 2 .
- Para todo f ∈ H ℓ , uno tiene
- Del teorema de Stokes y de la propiedad anterior se deduce que los espacios H ℓ son ortogonales con respecto al producto interno de L 2 ( S n −1 ). Es decir,
- Por el contrario, los espacios H ℓ son precisamente los autoespacios de Δ S n −1 . En particular, una aplicación del teorema espectral al potencial de Riesz da otra prueba de que los espacios H ℓ son pares ortogonales y completos en L 2 ( S n −1 ).
- Cada polinomio homogéneo p ∈ P ℓ se puede escribir de forma única en la forma
Una base ortogonal de armónicos esféricos en dimensiones superiores se puede construir inductivamente mediante el método de separación de variables , resolviendo el problema de Sturm-Liouville para el Laplaciano esférico.
donde φ es la coordenada axial en un sistema de coordenadas esféricas en S n −1 . El resultado final de tal procedimiento es
donde los índices satisfacen | ℓ 1 | ≤ ℓ 2 ≤ ⋯ ≤ ℓ n −1 y el valor propio es - ℓ n −1 ( ℓ n −1 + n −2). Las funciones en el producto se definen en términos de la función de Legendre
Conexión con la teoría de la representación
El espacio H ℓ de armónicos esféricos de grado ℓ es una representación del grupo de simetría de rotaciones alrededor de un punto ( SO (3) ) y su doble cobertura SU (2) . De hecho, las rotaciones actúan sobre la esfera bidimensional y, por tanto, también sobre H ℓ mediante la composición de funciones
para ψ un armónico esférico y ρ una rotación. La representación H ℓ es una representación irreducible de SO (3).
Los elementos de H ℓ surgen como las restricciones a la esfera de elementos de A ℓ : polinomios armónicos homogéneos de grado ℓ en el espacio euclidiano tridimensional R 3 . Por polarización de ψ ∈ A ℓ , hay coeficientes simétricos en los índices, determinados únicamente por el requisito
La condición de que ψ sea armónica es equivalente a la afirmación de que el tensor debe estar libre de trazas en cada par de índices. Así, como representación irreductible de SO (3), H ℓ es isomorfo al espacio de tensores simétricos sin trazas de grado ℓ .
De manera más general, los enunciados análogos se mantienen en dimensiones superiores: el espacio H ℓ de armónicos esféricos en la n- esfera es la representación irreductible de SO ( n +1) correspondiente a los ℓ- tensores simétricos sin trazas. Sin embargo, mientras que toda representación tensorial irreductible de SO (2) y SO (3) es de este tipo, los grupos ortogonales especiales en dimensiones superiores tienen representaciones irreductibles adicionales que no surgen de esta manera.
Los grupos ortogonales especiales tienen representaciones de espín adicionales que no son representaciones de tensores y, por lo general, no son armónicos esféricos. Una excepción es la representación de espín de SO (3): estrictamente hablando, se trata de representaciones de la doble cobertura SU (2) de SO (3). A su vez, SU (2) se identifica con el grupo de cuaterniones unitarios , por lo que coincide con la 3-esfera . Los espacios de armónicos esféricos en la 3-esfera son ciertas representaciones de espín de SO (3), con respecto a la acción por multiplicación cuaterniónica.
Conexión con armónicos hemisféricos
Los armónicos esféricos se pueden dividir en dos conjuntos de funciones. Una son las funciones hemisféricas (HSH), ortogonales y completas en el hemisferio. Otro son los armónicos hemisféricos complementarios (CHSH).
Generalizaciones
Las simetrías que preservan el ángulo de las dos esferas se describen mediante el grupo de transformaciones de Möbius PSL (2, C ). Con respecto a este grupo, la esfera es equivalente a la esfera de Riemann habitual . El grupo PSL (2, C ) es isomorfo al (propio) grupo de Lorentz , y su acción sobre las dos esferas concuerda con la acción del grupo de Lorentz sobre la esfera celeste en el espacio de Minkowski . El análogo de los armónicos esféricos para el grupo de Lorentz viene dado por la serie hipergeométrica ; además, los armónicos esféricos se pueden volver a expresar en términos de la serie hipergeométrica, ya que SO (3) = PSU (2) es un subgrupo de PSL (2, C ).
De manera más general, las series hipergeométricas se pueden generalizar para describir las simetrías de cualquier espacio simétrico ; en particular, se pueden desarrollar series hipergeométricas para cualquier grupo de Lie .
Ver también
- Armónico cúbico (se usa a menudo en lugar de armónicos esféricos en los cálculos)
- Armónicos cilíndricos
- Base esférica
- Armónicos esféricos spinor
- Armónicos esféricos ponderados por giro
- Teoría de Sturm-Liouville
- Tabla de armónicos esféricos
- Armónicos esféricos vectoriales
- Orbital atómico
Notas
- ↑ En el Capítulo IV de MacRobert 1967 se puede encontrar un relato histórico de varios enfoques de los armónicos esféricos en tres dimensiones. El término "armónicos esféricos de Laplace" es de uso común; ver Courant & Hilbert 1962 y Meijer & Bauer 2004 .
- ^ El enfoque de los armónicos esféricos adoptado aquí se encuentra en ( Courant & Hilbert 1962 , §V.8, §VII.5).
- ^ Las aplicaciones físicas a menudo toman la solución que se desvanece en el infinito, lo que hace que A = 0 . Esto no afecta la porción angular de los armónicos esféricos.
- ↑ Edmonds , 1957 , §2.5
- ↑ Hall 2013 Sección 17.6
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