Vector unitario - Unit vector

En matemáticas , un vector unitario en un espacio vectorial normado es un vector (a menudo un vector espacial ) de longitud 1. Un vector unitario a menudo se denota por una letra minúscula con un circunflejo , o " sombrero ", como en (pronunciado "v- sombrero"). ${\ Displaystyle {\ hat {\ mathbf {v}}}}$

El término vector de dirección se usa para describir un vector unitario que se usa para representar la dirección espacial , y tales cantidades se denotan comúnmente como d . Las direcciones espaciales 2D son numéricamente equivalentes a puntos en el círculo unitario y las direcciones espaciales en 3D son equivalentes a un punto en la esfera unitaria .

El vector normalizado û de un vector u distinto de cero es el vector unitario en la dirección de u , es decir,

${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {u}} = {\ frac {\ mathbf {u}} {| \ mathbf {u} |}}}$

donde | u | es la norma (o longitud) de u . El término vector normalizado se utiliza a veces como sinónimo de vector unitario .

Los vectores unitarios a menudo se eligen para formar la base de un espacio vectorial, y cada vector en el espacio puede escribirse como una combinación lineal de vectores unitarios.

Coordenadas ortogonales

Coordenadas cartesianas

Los vectores unitarios pueden usarse para representar los ejes de un sistema de coordenadas cartesiano . Por ejemplo, los vectores unitarios estándar en la dirección de los ejes x , y y z de un sistema de coordenadas cartesiano tridimensional son

${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {i}} = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix}}, \, \, \ mathbf {\ hat {j}} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \ end {bmatrix}}, \, \, \ mathbf {\ hat {k}} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {bmatrix}} }$

Forman un conjunto de vectores unitarios mutuamente ortogonales , a los que normalmente se hace referencia como base estándar en álgebra lineal .

A menudo se denotan usando la notación de vector común (por ejemplo, i o ) en lugar de la notación unidad vector estándar (por ejemplo, ). En la mayoría de los contextos, se puede suponer que i , j y k (o y ) son versadores de un sistema de coordenadas cartesiano 3-D. Las notaciones , , , o , con o sin sombrero , también se utilizan, en particular en contextos en los que i , j , k podría dar lugar a confusión con otra cantidad (por ejemplo, con índice de símbolos tales como i , j , k , que se utilizan para identificar un elemento de un conjunto o matriz o secuencia de variables). ${\ Displaystyle {\ vec {\ imath}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {\ imath}}}$${\ Displaystyle {\ vec {\ imath}},}$ ${\ Displaystyle {\ vec {\ jmath}},}$${\ Displaystyle {\ vec {k}}}$${\ Displaystyle (\ mathbf {\ hat {x}}, \ mathbf {\ hat {y}}, \ mathbf {\ hat {z}})}$${\ Displaystyle (\ mathbf {\ hat {x}} _ {1}, \ mathbf {\ hat {x}} _ {2}, \ mathbf {\ hat {x}} _ {3})}$${\ Displaystyle (\ mathbf {\ hat {e}} _ {x}, \ mathbf {\ hat {e}} _ {y}, \ mathbf {\ hat {e}} _ {z})}$${\ Displaystyle (\ mathbf {\ hat {e}} _ {1}, \ mathbf {\ hat {e}} _ {2}, \ mathbf {\ hat {e}} _ {3})}$

Cuando un vector unitario en el espacio se expresa en notación cartesiana como una combinación lineal de i , j , k , sus tres componentes escalares pueden denominarse cosenos de dirección . El valor de cada componente es igual al coseno del ángulo formado por el vector unitario con el vector base respectivo. Este es uno de los métodos utilizados para describir la orientación (posición angular) de una línea recta, segmento de línea recta, eje orientado o segmento de eje orientado ( vector ).

Coordenadas cilíndricas

Los tres vectores unitarios ortogonales apropiados para la simetría cilíndrica son:

• ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ hat {\ rho}}}}$(también designado o ), que representa la dirección a lo largo de la cual se mide la distancia entre el punto y el eje de simetría;${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {e}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ hat {s}}}}$
• ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}}}$, que representa la dirección del movimiento que se observaría si el punto girara en sentido antihorario sobre el eje de simetría ;
• ${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {z}}}$, que representa la dirección del eje de simetría;

Se relacionan con la base cartesiana , , por: ${\ Displaystyle {\ hat {x}}}$${\ Displaystyle {\ hat {y}}}$${\ Displaystyle {\ hat {z}}}$

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ hat {\ rho}}} = \ cos (\ varphi) \ mathbf {\ hat {x}} + \ sin (\ varphi) \ mathbf {\ hat {y}}}$

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}} = - \ sin (\ varphi) \ mathbf {\ hat {x}} + \ cos (\ varphi) \ mathbf {\ hat {y}}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {z}} = \ mathbf {\ hat {z}}.}$

Los vectores y son funciones de y no son constantes en dirección. Al diferenciar o integrar en coordenadas cilíndricas, estos vectores unitarios también deben ser operados. Las derivadas con respecto a son: ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ hat {\ rho}}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}}}$${\ Displaystyle \ varphi,}$${\ Displaystyle \ varphi}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial {\ boldsymbol {\ hat {\ rho}}}} {\ parcial \ varphi}} = - \ sin \ varphi \ mathbf {\ hat {x}} + \ cos \ varphi \ mathbf {\ hat {y}} = {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}}}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}}} {\ parcial \ varphi}} = - \ cos \ varphi \ mathbf {\ hat {x}} - \ sin \ varphi \ mathbf {\ hat {y}} = - {\ boldsymbol {\ hat {\ rho}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ parcial \ mathbf {\ hat {z}}} {\ parcial \ varphi}} = \ mathbf {0}.}$

Coordenadas esféricas

Los vectores unitarios apropiados para la simetría esférica son:, la dirección en la que aumenta la distancia radial desde el origen; , la dirección en la que el ángulo en el plano x - y en sentido antihorario desde el eje x positivo está aumentando; y la dirección en la que aumenta el ángulo desde el eje z positivo . Para minimizar la redundancia de representaciones, generalmente se considera que el ángulo polar se encuentra entre cero y 180 grados. Es especialmente importante tener en cuenta el contexto de cualquier triplete ordenado escrito en coordenadas esféricas , ya que los roles de y a menudo se invierten. Aquí se utiliza la convención estadounidense de "física". Esto deja el ángulo azimutal definido igual que en coordenadas cilíndricas. Las relaciones cartesianas son: ${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {r}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ hat {\ theta}}}}$${\ Displaystyle \ theta}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ hat {\ theta}}}}$ ${\ Displaystyle \ varphi}$

${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {r}} = \ sin \ theta \ cos \ varphi \ mathbf {\ hat {x}} + \ sin \ theta \ sin \ varphi \ mathbf {\ hat {y}} + \ cos \ theta \ mathbf {\ hat {z}}}$

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ hat {\ theta}}} = \ cos \ theta \ cos \ varphi \ mathbf {\ hat {x}} + \ cos \ theta \ sin \ varphi \ mathbf {\ hat {y} } - \ sin \ theta \ mathbf {\ hat {z}}}$

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}} = - \ sin \ varphi \ mathbf {\ hat {x}} + \ cos \ varphi \ mathbf {\ hat {y}}}$

Los vectores unitarios esféricos dependen de ambos y , por lo que hay 5 posibles derivadas distintas de cero. Para obtener una descripción más completa, consulte Matriz jacobiana y determinante . Las derivadas distintas de cero son: ${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle \ theta}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial \ mathbf {\ hat {r}}} {\ parcial \ varphi}} = - \ sin \ theta \ sin \ varphi \ mathbf {\ hat {x}} + \ sin \ theta \ cos \ varphi \ mathbf {\ hat {y}} = \ sin \ theta {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}}}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial \ mathbf {\ hat {r}}} {\ parcial \ theta}} = \ cos \ theta \ cos \ varphi \ mathbf {\ hat {x}} + \ cos \ theta \ sin \ varphi \ mathbf {\ hat {y}} - \ sin \ theta \ mathbf {\ hat {z}} = {\ boldsymbol {\ hat {\ theta}}}}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial {\ boldsymbol {\ hat {\ theta}}}} {\ parcial \ varphi}} = - \ cos \ theta \ sin \ varphi \ mathbf {\ hat {x}} + \ cos \ theta \ cos \ varphi \ mathbf {\ hat {y}} = \ cos \ theta {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}}}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial {\ boldsymbol {\ hat {\ theta}}}} {\ parcial \ theta}} = - \ sin \ theta \ cos \ varphi \ mathbf {\ hat {x}} - \ sin \ theta \ sin \ varphi \ mathbf {\ hat {y}} - \ cos \ theta \ mathbf {\ hat {z}} = - \ mathbf {\ hat {r}}}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}}} {\ parcial \ varphi}} = - \ cos \ varphi \ mathbf {\ hat {x}} - \ sin \ varphi \ mathbf {\ hat {y}} = - \ sin \ theta \ mathbf {\ hat {r}} - \ cos \ theta {\ boldsymbol {\ hat {\ theta}}}}$

Vectores de unidad general

Los temas comunes de los vectores unitarios ocurren a lo largo de la física y la geometría :

Vector unitario	Nomenclatura	Diagrama
Vector tangente a una curva / línea de flujo	${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {t}}}$	Es necesario un vector normal al plano que contiene y define el vector de posición radial y la dirección de rotación tangencial angular para que se mantengan las ecuaciones vectoriales de movimiento angular. ${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {n}}}$${\ Displaystyle r \ mathbf {\ hat {r}}}$${\ Displaystyle \ theta {\ boldsymbol {\ hat {\ theta}}}}$
Normal a un plano / plano tangente de superficie que contiene un componente de posición radial y un componente tangencial angular	${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {n}}}$ En términos de coordenadas polares ; ${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {n}} = \ mathbf {\ hat {r}} \ times {\ boldsymbol {\ hat {\ theta}}}}$
Vector binormal a tangente y normal	${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {b}} = \ mathbf {\ hat {t}} \ times \ mathbf {\ hat {n}}}$
Paralelo a algún eje / línea	${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {e}} _ {\ paralelo}}$	Un vector unitario alineado en paralelo a una dirección principal (línea roja), y un vector unitario perpendicular está en cualquier dirección radial con respecto a la línea principal. ${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {e}} _ {\ paralelo}}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {e}} _ {\ bot}}$
Perpendicular a algún eje / línea en alguna dirección radial	${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {e}} _ {\ bot}}$
Posible desviación angular relativa a algún eje / línea	${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {e}} _ {\ angle}}$	Vector unitario en el ángulo de desviación aguda φ (incluido 0 o π / 2 rad) con respecto a una dirección principal.

Coordenadas curvilíneas

En general, un sistema de coordenadas se puede especificar de forma única utilizando un número de vectores unitarios linealmente independientes (el número real es igual a los grados de libertad del espacio). Para el espacio tridimensional ordinario, estos vectores se pueden denotar . Casi siempre es conveniente definir el sistema como ortonormal y diestro : ${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {e}} _ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {e}} _ {1}, \ mathbf {\ hat {e}} _ {2}, \ mathbf {\ hat {e}} _ {3}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} \ cdot \ mathbf {\ hat {e}} _ {j} = \ delta _ {ij}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} \ cdot (\ mathbf {\ hat {e}} _ {j} \ times \ mathbf {\ hat {e}} _ {k}) = \ varepsilon _ {ijk}}$

donde es el delta de Kronecker (que es 1 para i = j , y 0 en caso contrario) y es el símbolo de Levi-Civita (que es 1 para permutaciones ordenadas como ijk y -1 para permutaciones ordenadas como kji ). ${\ Displaystyle \ delta _ {ij}}$${\ Displaystyle \ varepsilon _ {ijk}}$

Versor derecho

Un vector unitario en fue llamado versor derecho por WR Hamilton , mientras desarrollaba sus cuaterniones . De hecho, fue el creador del término vector , ya que cada cuaternión tiene una parte escalar sy una parte vectorial v . Si v es un vector unitario en , entonces el cuadrado de v en cuaterniones es –1. Por lo tanto, según la fórmula de Euler , es un versor en la 3-esfera . Cuando θ es un ángulo recto , el versor es un versor recto: su parte escalar es cero y su parte vectorial v es un vector unitario en . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {H} \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {4}}$${\ Displaystyle q = s + v}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle \ exp (\ theta v) = \ cos \ theta + v \ sin \ theta}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Ver también

• sistema de coordenadas Cartesianas
• Sistema coordinado
• Coordenadas curvilíneas
• Cuatro velocidades
• Matriz jacobiana y determinante
• Vector normal
• Sistema de coordenadas polares
• Base estándar
• Intervalo unitario
• Unidad de cuadrado , cubo , círculo , esfera e hipérbola
• Notación vectorial
• Vector de unos

Notas

Referencias

• GB Arfken y HJ Weber (2000). Métodos matemáticos para físicos (5ª ed.). Prensa académica. ISBN 0-12-059825-6.
• Spiegel, Murray R. (1998). Esquemas de Schaum: Manual matemático de fórmulas y tablas (2ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-038203-4.
• Griffiths, David J. (1998). Introducción a la electrodinámica (3ª ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.