Raíz cuadrada funcional - Functional square root

En matemáticas , una raíz cuadrada funcional (a veces llamada media iteración ) es una raíz cuadrada de una función con respecto a la operación de composición de funciones . En otras palabras, una raíz cuadrada funcional de una función $g$ es una función $f que$ satisface $f$ $($ $f$ $($ $x$ $)) =$ $g$ $($ $x$ $)$ para todo $x$ .

Notación

Las notaciones que expresan que $f$ es una raíz cuadrada funcional de $g$ son $f = g [1/2]$ y $f = g 1/2$ .

Historia

La raíz cuadrada funcional de la función exponencial (ahora conocida como función semiexponencial ) fue estudiada por Hellmuth Kneser en 1950.
Las soluciones de $f (f (x)) = x$ over (las involuciones de los números reales ) fueron estudiadas por primera vez por Charles Babbage en 1815, y esta ecuación se llama ecuación funcional de Babbage . Una solución particular es $f$ $($ $x$ $) = ($ $b$ $-$ $x$ $) / (1 +$ $cx$ $)$ para $bc$ $\neq -1$ . Babbage notó que para cualquier solución $f$ dada , su conjugado funcional $Ψ$ $-1$ $\circ$ $f$ $\circ$ $Ψ$ por una función invertible arbitraria $Ψ$ también es una solución. En otras palabras, el grupo de todas las funciones invertibles en la línea real actúa sobre el subconjunto que consiste en soluciones de la ecuación funcional de Babbage por conjugación . ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Soluciones

Un procedimiento sistemático para producir arbitrarias funcionales $n$ -roots (incluyendo bienes arbitraria, negativo, y infinitesimal $n$ ) de funciones g : ℂ → ℂ se basa en las soluciones de la ecuación de Schröder . Existen infinitas soluciones triviales cuando se permite que el dominio de una función raíz f sea suficientemente mayor que el de g .

Ejemplos de

$f (x) = 2 x 2$ es una raíz cuadrada funcional de $g (x) = 8 x 4$ .
Una raíz cuadrada funcional del $n-$ ésimo polinomio de Chebyshev , $g (x) = T n (x)$ , es $f (x) = cos (\sqrt n arccos (x))$ , que en general no es un polinomio .
$f (x) = x / (\sqrt 2 + x (1 - \sqrt 2))$ es una raíz cuadrada funcional de $g (x) = x / (2 - x)$ .

Itera de la función seno ( azul ), en la primera mitad del período. Half-iterate ( naranja ), es decir, la raíz cuadrada funcional del seno; la raíz cuadrada funcional de eso, el cuarto de iteración (negro) encima de él, y las iteraciones fraccionarias adicionales hasta el 1/64 de iteración. Las funciones debajo del seno son seis iteraciones integrales debajo de él, comenzando con la segunda iteración ( rojo ) y terminando con la 64a iteración. El triángulo de la envolvente verde representa la iteración nula limitante, la función de diente de sierra sirve como punto de partida que conduce a la función sinusoidal. La línea punteada es la primera iteración negativa, es decir, la inversa del seno ( arcoseno ).

sin [2] (x) = sin (sin (x))

[ curva roja ]

sin [1] (x) = sin (x) = rin (rin (x))

[ curva azul ]

sin [½] (x) = rin (x) = qin (qin (x))

[ curva naranja ]

sin [¼] (x) = qin (x)

[curva negra sobre la curva naranja]

sin [-1] (x) = arcsin (x)

[curva discontinua]

(Consulte. Para la notación, consulte [1] ).

Ver también

Referencias

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