Constante de acoplamiento - Coupling constant

En física , una constante de acoplamiento o un parámetro de acoplamiento de calibre (o, más simplemente, un acoplamiento ), es un número que determina la fuerza de la fuerza ejercida en una interacción . Originalmente, la constante de acoplamiento relacionaba la fuerza que actuaba entre dos cuerpos estáticos con las " cargas " de los cuerpos (es decir, la carga eléctrica para la electrostática y la masa para la gravedad de Newton ) dividida por la distancia al cuadrado,, entre los cuerpos; así: G en para la gravedad de Newton y en para electrostática . Esta descripción sigue siendo válida en la física moderna para las teorías lineales con cuerpos estáticos y portadores de fuerza sin masa . ${\ Displaystyle r ^ {2}}$ ${\ Displaystyle F = GMm / r ^ {2}}$ ${\ Displaystyle k _ {\ text {e}}}$ ${\ Displaystyle F = k _ {\ text {e}} q_ {1} q_ {2} / r ^ {2}}$

Una definición moderna y más general usa el lagrangiano (o equivalentemente el hamiltoniano ) de un sistema. Por lo general, (o ) de un sistema que describe una interacción se puede separar en una parte cinética y una parte de interacción : (o ). En la teoría de campos, siempre contiene 3 términos de campos o más, expresando por ejemplo que un electrón inicial (campo 1) interactuó con un fotón (campo 2) produciendo el estado final del electrón (campo 3). Por el contrario, la parte cinética siempre contiene solo dos campos, que expresan la propagación libre de una partícula inicial (campo 1) a un estado posterior (campo 2). La constante de acoplamiento determina la magnitud de la pieza con respecto a la pieza (o entre dos sectores de la pieza de interacción si están presentes varios campos que se acoplan de manera diferente). Por ejemplo, la carga eléctrica de una partícula es una constante de acoplamiento que caracteriza una interacción con dos campos portadores de carga y un campo de fotones (de ahí el diagrama de Feynman común con dos flechas y una línea ondulada). Dado que los fotones median la fuerza electromagnética , este acoplamiento determina la fuerza con la que los electrones sienten tal fuerza, y su valor se fija mediante experimentos. Al observar el QED Lagrangiano , se ve que, de hecho, el acoplamiento establece la proporcionalidad entre el término cinético y el término de interacción . ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ Displaystyle T}$ ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = TV}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} = T + V}$ ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle T}$ ${\ Displaystyle T}$ ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle T = {\ bar {\ psi}} (i \ hbar c \ gamma ^ {\ sigma} \ parcial _ {\ sigma} -mc ^ {2}) \ psi - {1 \ over 4 \ mu _ {0}} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu}}$ ${\ Displaystyle V = -e {\ bar {\ psi}} (\ hbar c \ gamma ^ {\ sigma} A _ {\ sigma}) \ psi}$

Un acoplamiento juega un papel importante en la dinámica. Por ejemplo, a menudo se establecen jerarquías de aproximación basadas en la importancia de varias constantes de acoplamiento. En el movimiento de un gran trozo de hierro magnetizado, las fuerzas magnéticas pueden ser más importantes que las fuerzas gravitacionales debido a las magnitudes relativas de las constantes de acoplamiento. Sin embargo, en la mecánica clásica , normalmente se toman estas decisiones directamente comparando fuerzas. Otro ejemplo importante del papel central que desempeñan las constantes de acoplamiento es que son los parámetros de expansión para los cálculos de primer principio basados en la teoría de perturbaciones , que es el principal método de cálculo en muchas ramas de la física.

Constante de estructura fina

Los acoplamientos surgen naturalmente en una teoría cuántica de campos . Los acoplamientos adimensionales juegan un papel especial en las teorías cuánticas relativistas ; es decir, son números puros. Un ejemplo de una constante adimensional es la constante de estructura fina ,

{\ Displaystyle \ alpha = {\ frac {e ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} \ hbar c}},}

donde $e$ es la carga de un electrón , es la permitividad del espacio libre , ℏ es la constante de Planck reducida y $c$ es la velocidad de la luz . Esta constante es proporcional al cuadrado de la fuerza de acoplamiento de la carga de un electrón al campo electromagnético . ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {0}}$

Acoplamiento de manómetro

En un no abeliano teoría del calibrador , el calibrador de parámetro de acoplamiento , , aparece en el lagrangiano como ${\ Displaystyle g}$

{\ Displaystyle {\ frac {1} {4g ^ {2}}} {\ rm {Tr}} \, G _ {\ mu \ nu} G ^ {\ mu \ nu},}

(donde G es el tensor de campo de calibre ) en algunas convenciones. En otra convención ampliamente utilizada, se cambia la escala de G para que el coeficiente del término cinético sea 1/4 y aparezca en la derivada covariante . Esto debe entenderse como similar a una versión adimensional de la carga elemental definida como ${\ Displaystyle g}$

{\ displaystyle {\ frac {e} {\ sqrt {\ varepsilon _ {0} \ hbar c}}} = {\ sqrt {4 \ pi \ alpha}} \ aproximadamente 0,30282212 \ ~~.}

Acoplamiento débil y fuerte

En una teoría cuántica de campos con un acoplamiento g , si g es mucho menor que 1, se dice que la teoría está débilmente acoplada . En este caso, está bien descrito por una expansión en las potencias de g , llamada teoría de la perturbación . Si la constante de acoplamiento es de orden uno o mayor, se dice que la teoría está fuertemente acoplada . Un ejemplo de esto último es la teoría hadrónica de interacciones fuertes (razón por la cual se la llama fuerte en primer lugar). En tal caso, es necesario utilizar métodos no perturbadores para investigar la teoría.

En la teoría cuántica de campos , la dimensión del acoplamiento juega un papel importante en la propiedad de renormalizabilidad de la teoría y, por lo tanto, en la aplicabilidad de la teoría de perturbaciones. Si el acoplamiento es adimensional en el sistema de unidades naturales (es decir , ), como en QED, QCD y la Fuerza Débil , la teoría es renormalizable y todos los términos de la serie de expansión son finitos (después de la renormalización). Si el acoplamiento es dimensional, como por ejemplo en la gravedad ( ), la teoría de Fermi ( ) o la teoría de la perturbación quiral de la fuerza fuerte ( ), entonces la teoría generalmente no es renormalizable. Las expansiones de perturbación en el acoplamiento aún podrían ser factibles, aunque dentro de las limitaciones, ya que la mayoría de los términos de orden superior de la serie serán infinitos. ${\ Displaystyle c = 1}$ ${\ Displaystyle \ hbar = 1}$ ${\ displaystyle [G_ {N}] = energía ^ {- 2}}$ ${\ Displaystyle [G_ {F}] = energía ^ {- 2}}$ ${\ displaystyle [F] = energía}$

Ejecución de acoplamiento

Fig.1 Las partículas virtuales renormalizan el acoplamiento

Se puede probar una teoría cuántica de campos en tiempos o distancias breves cambiando la longitud de onda o el momento, k , de la sonda utilizada. Con una sonda de alta frecuencia (es decir, de corta duración), se ven partículas virtuales que participan en cada proceso. Esta aparente violación de la conservación de la energía puede entenderse heurísticamente al examinar la relación de incertidumbre

{\ Displaystyle \ Delta E \ Delta t \ geq {\ frac {\ hbar} {2}},}

lo que permite virtualmente tales violaciones en breves períodos de tiempo. La observación anterior solo se aplica a algunas formulaciones de la teoría cuántica de campos, en particular, la cuantificación canónica en la imagen de interacción .

En otras formulaciones, el mismo evento se describe mediante partículas "virtuales" que salen de la capa de masa . Dichos procesos renormalizan el acoplamiento y lo hacen dependiente de la escala de energía, μ , en la que se sondea el acoplamiento. La dependencia de un acoplamiento g (μ) de la escala de energía se conoce como "funcionamiento del acoplamiento". La teoría del funcionamiento de los acoplamientos está dada por el grupo de renormalización , aunque debe tenerse en cuenta que el grupo de renormalización es un concepto más general que describe cualquier tipo de variación de escala en un sistema físico (ver el artículo completo para más detalles).

Fenomenología del funcionamiento de un acoplamiento

El grupo de renormalización proporciona una forma formal de derivar el funcionamiento de un acoplamiento, pero la fenomenología subyacente a ese funcionamiento puede entenderse intuitivamente. Como se explicó en la introducción, la constante de acoplamiento establece la magnitud de una fuerza que se comporta con la distancia como . La dependencia fue explicada por primera vez por Faraday como la disminución del flujo de fuerza : en un punto B distante del cuerpo A generando una fuerza, esta es proporcional al flujo de campo que atraviesa una superficie elemental S perpendicular a la línea AB . A medida que los diferenciales de flujo uniforme a través del espacio, disminuye de acuerdo con el ángulo sólido sostener la superficie S . En la visión moderna de la teoría cuántica de campos, proviene de la expresión en el espacio de posición del propagador de los portadores de fuerza . Para los cuerpos que interactúan relativamente débilmente, como es generalmente el caso del electromagnetismo o la gravedad o las interacciones nucleares a distancias cortas, el intercambio de un único portador de fuerza es una buena primera aproximación de la interacción entre los cuerpos, y clásicamente la interacción obedecerá a una -ley (tenga en cuenta que si el portador de fuerza es masivo, hay una dependencia adicional ). Cuando las interacciones son más intensas (por ejemplo, las cargas o masas son más grandes o más pequeñas) o ocurren en períodos de tiempo más breves (más pequeños ), se involucran más portadores de fuerza o se crean pares de partículas , ver Fig.1, lo que resulta en la ruptura. abajo del comportamiento. El equivalente clásico es que el flujo de campo ya no se propaga libremente en el espacio sino que, por ejemplo, se somete a un cribado de las cargas de las partículas virtuales adicionales o interacciones entre estas partículas virtuales. Es conveniente separar la ley de primer orden de esta dependencia extra . Este último se tiene en cuenta al incluirse en el acoplamiento, que luego se vuelve dependiente (o equivalentemente dependiente de μ ). Dado que las partículas adicionales involucradas más allá de la aproximación del portador de fuerza único son siempre virtuales , es decir, fluctuaciones transitorias del campo cuántico, se comprende por qué el funcionamiento de un acoplamiento es un fenómeno cuántico y relativista genuino, es decir, un efecto de los diagramas de Feynman de orden superior en la fuerza. de la fuerza. ${\ Displaystyle 1 / r ^ {2}}$ ${\ Displaystyle 1 / r ^ {2}}$ ${\ Displaystyle r}$ ${\ Displaystyle 1 / r ^ {2}}$ ${\ Displaystyle 1 / r ^ {2}}$ ${\ Displaystyle r}$ ${\ Displaystyle r}$ ${\ Displaystyle r}$ ${\ Displaystyle 1 / r ^ {2}}$ ${\ Displaystyle 1 / r ^ {2}}$ ${\ Displaystyle r}$ ${\ Displaystyle 1 / r}$

Dado que un acoplamiento continuo da cuenta de manera efectiva de los efectos cuánticos microscópicos, a menudo se le llama acoplamiento efectivo , en contraste con el acoplamiento simple (constante) presente en el lagrangiano o hamiltoniano.

Funciones beta

En la teoría cuántica de campos, una función beta, β ( g ), codifica la ejecución de un parámetro de acoplamiento, g . Está definido por la relación

{\ Displaystyle \ beta (sol) = \ mu {\ frac {\ parcial sol} {\ parcial \ mu}} = {\ frac {\ parcial sol} {\ parcial \ ln \ mu}},}

donde μ es la escala de energía del proceso físico dado. Si las funciones beta de una teoría cuántica de campos desaparecen, entonces la teoría es invariante en escala .

Los parámetros de acoplamiento de una teoría cuántica de campos pueden fluir incluso si la teoría de campos clásica correspondiente es invariante en escala . En este caso, la función beta distinta de cero nos dice que la invariancia de escala clásica es anómala .

QED y el polo Landau

Si una función beta es positiva, el acoplamiento correspondiente aumenta al aumentar la energía. Un ejemplo es la electrodinámica cuántica (QED), donde se encuentra mediante el uso de la teoría de la perturbación que la función beta es positiva. En particular, a bajas energías, α ≈ 1/137 , mientras que en la escala del bosón Z , alrededor de 90 GeV , se mide α ≈ 1/127 .

Además, la función beta perturbativa nos dice que el acoplamiento continúa aumentando y QED se acopla fuertemente a alta energía. De hecho, el acoplamiento aparentemente se vuelve infinito con alguna energía finita. Este fenómeno fue observado por primera vez por Lev Landau y se llama polo Landau . Sin embargo, no se puede esperar que la función beta perturbativa dé resultados precisos con un acoplamiento fuerte, por lo que es probable que el polo de Landau sea un artefacto de aplicar la teoría de la perturbación en una situación en la que ya no es válida. Se desconoce el verdadero comportamiento de escalamiento de grandes energías. ${\ Displaystyle \ alpha}$

QCD y libertad asintótica

En las teorías de gauge no abelianas, la función beta puede ser negativa, como descubrieron por primera vez Frank Wilczek , David Politzer y David Gross . Un ejemplo de esto es la función beta para la cromodinámica cuántica (QCD) y, como resultado, el acoplamiento QCD disminuye a altas energías.

Además, el acoplamiento disminuye logarítmicamente, fenómeno conocido como libertad asintótica (cuyo descubrimiento fue galardonado con el Premio Nobel de Física en 2004). El acoplamiento disminuye aproximadamente a medida que

{\ Displaystyle \ alpha _ {\ text {s}} (k ^ {2}) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {g _ {\ text {s}} ^ { 2} (k ^ {2})} {4 \ pi}} \ approx {\ frac {1} {\ beta _ {0} \ ln \ left ({\ frac {k ^ {2}} {\ Lambda ^ {2}}} \ right)}},}

donde β ₀ es una constante calculada primero por Wilczek, Gross y Politzer.

Por el contrario, el acoplamiento aumenta al disminuir la energía. Esto significa que el acoplamiento se vuelve grande a bajas energías y ya no se puede confiar en la teoría de la perturbación .

Escala QCD

En cromodinámica cuántica (QCD), la cantidad Λ se llama escala QCD . El valor es

{\ Displaystyle \ Lambda _ {\ rm {MS}} = 332 \ pm 17 {\ text {MeV}}.}

para tres sabores de quarks "activos", a saber , cuando el impulso de energía involucrado en el proceso permite producir sólo los quarks arriba, abajo y extraños, pero no los quarks más pesados. Esto corresponde a energías por debajo de 1.275 GeV. A mayor energía, Λ es más pequeño, por ejemplo, MeV por encima de la masa del quark inferior de aproximadamente 5 GeV . El significado del esquema de sustracción mínima (MS) escala Λ _MS se da en el artículo sobre transmutación dimensional .

{\ Displaystyle \ Lambda _ {\ rm {MS}} = 210 \ pm 14}

La relación de masa de protón a electrón está determinada principalmente por la escala QCD.

Teoria de las cuerdas

Existe una situación notablemente diferente en la teoría de cuerdas, ya que incluye un dilatón . Un análisis del espectro de cuerdas muestra que este campo debe estar presente, ya sea en la cuerda bosónica o en el sector NS-NS de la supercuerda . Usando operadores de vértice , se puede ver que excitar este campo equivale a agregar un término a la acción donde un campo escalar se acopla al escalar de Ricci . Por lo tanto, este campo es una función completa de constantes de acoplamiento. Estas constantes de acoplamiento no son parámetros predeterminados, ajustables o universales; dependen del espacio y el tiempo de una manera que se determina dinámicamente. Las fuentes que describen el acoplamiento de cuerdas como si estuviera fijo generalmente se refieren al valor esperado de vacío . Esto es libre de tener cualquier valor en la teoría bosónica donde no hay superpotencial .

Ver también

Referencias

enlaces externos

El Premio Nobel de Física 2004 - Información para el público
Departamento de Física y Astronomía de la Universidad Estatal de Georgia - Constantes de acoplamiento para las fuerzas fundamentales
Una introducción a la teoría cuántica de campos, por MEPeskin y HDSchroeder, ISBN 0-201-50397-2

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