Espacio Wiener clásico - Classical Wiener space

En matemáticas , espacio clásico Wiener es la colección de todas las funciones continuas en un determinado dominio (usualmente un sub intervalo de la recta real ), tomando valores en un espacio métrico (normalmente n -dimensional espacio euclidiano ). El espacio clásico de Wiener es útil en el estudio de procesos estocásticos cuyas rutas muestrales son funciones continuas. Lleva el nombre del matemático estadounidense Norbert Wiener .

Definición

Considere E ⊆ ℝ ⁿ y un espacio métrico ( M , d ). El clásico Wiener espacio C ( E ; M ) es el espacio de todas las funciones continuas f  : E → M . Es decir, para cada t fija en E ,

${\ Displaystyle d (f (s), f (t)) \ to 0}$ como ${\ Displaystyle | st | \ to 0.}$

En casi todas las aplicaciones, se toma E = [0, T ] o [0, + ∞) y M = ℝ ⁿ para algunos n en ℕ. Para abreviar, escriba C para C ([0, T ]; ℝ ⁿ ); este es un espacio vectorial . Escribe C ₀ para el subespacio lineal que consiste solamente en aquellas funciones que toman el valor cero en el ínfimo del conjunto E . Muchos autores se refieren a C ₀ como "espacio clásico de Wiener".

Propiedades del espacio clásico de Wiener

Topología uniforme

El espacio vectorial C puede equiparse con la norma uniforme

${\ Displaystyle \ | f \ |: = \ sup _ {t \ in [0, T]} | f (t) |}$

convirtiéndolo en un espacio vectorial normalizado (de hecho, un espacio de Banach ). Esta norma induce una métrica de C de la forma habitual: . La topología generada por los conjuntos abiertos en esta métrica es la topología de convergencia uniforme en [0, T ], o la topología uniforme . ${\ Displaystyle d (f, g): = \ | fg \ |}$

Pensando en el dominio [0, T ] como "tiempo" y el rango R ⁿ como "espacio", una vista intuitiva de la topología uniforme es que dos funciones están "cercanas" si podemos "mover un poco el espacio" y obtener el gráfico de f para que se sitúe en la parte superior del gráfico de g , dejando el tiempo fijo. Compare esto con la topología de Skorokhod , que nos permite "mover" tanto el espacio como el tiempo.

Separabilidad e integridad

Con respecto a la métrica uniforme, C es tanto un espacio separable como un espacio completo :

• la separabilidad es una consecuencia del teorema de Stone-Weierstrass ;
• la completitud es una consecuencia del hecho de que el límite uniforme de una secuencia de funciones continuas es en sí mismo continuo.

Dado que es separable y completo, C es un espacio polaco .

Estanqueidad en el espacio clásico de Wiener

Recuerde que el módulo de continuidad para una función f  : [0, T ] → R ⁿ está definido por

${\ Displaystyle \ omega _ {f} (\ delta): = \ sup \ left \ {| f (s) -f (t) | \ left | s, t \ in [0, T], | st | \ leq \ delta \ right. \ right \}.}$

Esta definición tiene sentido incluso si f no es continua, y se puede demostrar que f es continua si y solo si su módulo de continuidad tiende a cero cuando δ → 0:

${\ Displaystyle f \ en C \ iff \ omega _ {f} (\ delta) \ to 0}$ como δ → 0.

Mediante una aplicación del teorema de Arzelà-Ascoli , se puede demostrar que una secuencia de medidas de probabilidad en el espacio C de Wiener clásico es ajustada si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes: ${\ Displaystyle (\ mu _ {n}) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$

${\ Displaystyle \ lim _ {a \ to \ infty} \ limsup _ {n \ to \ infty} \ mu _ {n} \ {f \ in C || f (0) | \ geq a \} = 0, }$ y

${\ Displaystyle \ lim _ {\ delta \ to 0} \ limsup _ {n \ to \ infty} \ mu _ {n} \ {f \ in C | \ omega _ {f} (\ delta) \ geq \ varepsilon \} = 0}$ para todo ε> 0.

Medida clásica de Wiener

Hay una medida "estándar" en C ₀ , conocida como medida clásica de Wiener (o simplemente medida de Wiener ). La medida de Wiener tiene (al menos) dos caracterizaciones equivalentes:

Si se define el movimiento browniano como un proceso estocástico de Markov B  : [0, T ] × Ω → R ⁿ , comenzando en el origen, con trayectorias continuas casi con seguridad e incrementos independientes

${\ Displaystyle B_ {t} -B_ {s} \ sim \ mathrm {Normal} \ left (0, | ts | \ right),}$

a continuación, clásica medida γ Wiener es la ley del proceso B .

Alternativamente, se puede usar la construcción del espacio abstracto de Wiener , en la que la medida clásica de Wiener γ es la radonificación de la medida canónica del conjunto de cilindros gaussianos en el espacio de Cameron-Martin Hilbert correspondiente a C ₀ .

La medida clásica de Wiener es una medida gaussiana : en particular, es una medida de probabilidad estrictamente positiva .

Dada la medida clásica de Wiener γ en C ₀ , la medida del producto γ ⁿ × γ es una medida de probabilidad en C , donde γ ⁿ denota la medida estándar de Gauss en R ⁿ .

Ver también

• Espacio Skorokhod , una generalización del espacio clásico de Wiener, que permite que las funciones sean discontinuas
• Espacio abstracto Wiener
• Proceso de salchicha