Proceso estocástico - Stochastic process

Realización simulada por computadora de un proceso de movimiento Wiener o Browniano en la superficie de una esfera. El proceso de Wiener es ampliamente considerado el proceso estocástico central más estudiado en la teoría de la probabilidad.

En teoría de la probabilidad y campos relacionados, un estocástico ( / s t k æ s t ɪ k / ) o proceso aleatorio es un objeto matemático define generalmente como una familia de variables aleatorias . Los procesos estocásticos se utilizan ampliamente como modelos matemáticos de sistemas y fenómenos que parecen variar de manera aleatoria. Los ejemplos incluyen el crecimiento de una población bacteriana , una corriente eléctrica que fluctúa debido al ruido térmico o el movimiento de una molécula de gas . Los procesos estocásticos tienen aplicaciones en muchas disciplinas como biología , química , ecología , neurociencia , física , procesamiento de imágenes , procesamiento de señales , teoría de control , teoría de la información , informática , criptografía y telecomunicaciones . Además, los cambios aparentemente aleatorios en los mercados financieros han motivado el uso extensivo de procesos estocásticos en las finanzas .

Las aplicaciones y el estudio de los fenómenos han inspirado a su vez la propuesta de nuevos procesos estocásticos. Ejemplos de tales procesos estocásticos incluyen el proceso de Wiener o el proceso de movimiento browniano, utilizado por Louis Bachelier para estudiar los cambios de precios en la Bolsa de París , y el proceso de Poisson , utilizado por AK Erlang para estudiar la cantidad de llamadas telefónicas que ocurren en un cierto período de tiempo. . Estos dos procesos estocásticos se consideran los más importantes y centrales en la teoría de los procesos estocásticos, y fueron descubiertos repetida e independientemente, tanto antes como después de Bachelier y Erlang, en diferentes escenarios y países.

El término función aleatoria también se usa para referirse a un proceso estocástico o aleatorio, porque un proceso estocástico también se puede interpretar como un elemento aleatorio en un espacio funcional . Los términos proceso estocástico y proceso aleatorio se usan indistintamente, a menudo sin un espacio matemático específico para el conjunto que indexa las variables aleatorias. Pero a menudo estos dos términos se utilizan cuando las variables aleatorias están indexadas por los números enteros o un intervalo de la línea real . Si las variables aleatorias están indexadas por el plano cartesiano o algún espacio euclidiano de mayor dimensión , entonces la colección de variables aleatorias generalmente se denomina campo aleatorio . Los valores de un proceso estocástico no siempre son números y pueden ser vectores u otros objetos matemáticos.

Según sus propiedades matemáticas, los procesos estocásticos se pueden agrupar en varias categorías, que incluyen caminatas aleatorias , martingalas , procesos de Markov , procesos de Lévy , procesos gaussianos , campos aleatorios, procesos de renovación y procesos de ramificación . El estudio de procesos estocásticos utiliza conocimientos y técnicas matemáticas de probabilidad , cálculo , álgebra lineal , teoría de conjuntos y topología , así como ramas del análisis matemático como el análisis real , la teoría de la medida , el análisis de Fourier y el análisis funcional . La teoría de los procesos estocásticos se considera una contribución importante a las matemáticas y continúa siendo un tema activo de investigación tanto por razones teóricas como por aplicaciones.

Introducción

Un proceso estocástico o aleatorio se puede definir como una colección de variables aleatorias que está indexada por algún conjunto matemático, lo que significa que cada variable aleatoria del proceso estocástico está asociada de forma única con un elemento del conjunto. El conjunto utilizado para indexar las variables aleatorias se denomina conjunto de índices . Históricamente, el conjunto de índices era un subconjunto de la línea real , como los números naturales , lo que le daba al conjunto de índices la interpretación del tiempo. Cada variable aleatoria de la colección toma valores del mismo espacio matemático conocido como espacio de estado . Este espacio de estados puede ser, por ejemplo, los números enteros, la línea real o el espacio euclidiano -dimensional. Un incremento es la cantidad que cambia un proceso estocástico entre dos valores de índice, a menudo interpretados como dos puntos en el tiempo. Un proceso estocástico puede tener muchos resultados , debido a su aleatoriedad, y un único resultado de un proceso estocástico se denomina, entre otros nombres, función de muestra o realización .

Una sola función de muestra simulada por computadora o realización , entre otros términos, de un proceso de movimiento Wiener o browniano tridimensional para el tiempo 0 ≤ t ≤ 2. El conjunto de índices de este proceso estocástico son los números no negativos, mientras que su espacio de estado es el espacio euclidiano tridimensional.

Clasificaciones

Un proceso estocástico se puede clasificar de diferentes formas, por ejemplo, por su espacio de estados, su conjunto de índices o la dependencia entre las variables aleatorias. Una forma común de clasificación es por la cardinalidad del conjunto de índices y el espacio de estados.

Cuando se interpreta como tiempo, si el conjunto de índices de un proceso estocástico tiene un número finito o contable de elementos, como un conjunto finito de números, el conjunto de números enteros o los números naturales, entonces se dice que el proceso estocástico es discreto. tiempo . Si el conjunto de índices es un intervalo de la línea real, se dice que el tiempo es continuo . Los dos tipos de procesos estocásticos se denominan respectivamente como discreta en tiempo y procesos estocásticos en tiempo continuo . Los procesos estocásticos de tiempo discreto se consideran más fáciles de estudiar porque los procesos de tiempo continuo requieren conocimientos y técnicas matemáticas más avanzadas, particularmente debido a que el conjunto de índices es incontable. Si el conjunto de índices son los números enteros, o algún subconjunto de ellos, entonces el proceso estocástico también puede llamarse secuencia aleatoria .

Si el espacio de estados son los números enteros o naturales, entonces el proceso estocástico se denomina proceso estocástico discreto o con valores enteros . Si el espacio de estados es la línea real, entonces el proceso estocástico se denomina proceso estocástico de valor real o proceso con espacio de estados continuo . Si el espacio de estado es el espacio euclidiano dimensional, entonces el proceso estocástico se llama - proceso dimensional vector o - proceso de vectores .

Etimología

La palabra estocástico en inglés se usó originalmente como un adjetivo con la definición "perteneciente a conjeturar", y derivada de una palabra griega que significa "apuntar a una marca, adivinar", y el Diccionario de Inglés de Oxford da el año 1662 como su primera aparición. . En su trabajo sobre probabilidad Ars Conjectandi , publicado originalmente en latín en 1713, Jakob Bernoulli utilizó la frase "Ars Conjectandi sive Stochastice", que ha sido traducida como "el arte de conjeturar o estocástica". Esta frase fue utilizada, con referencia a Bernoulli, por Ladislaus Bortkiewicz quien en 1917 escribió en alemán la palabra stochastik con un sentido que significa aleatorio. El término proceso estocástico apareció por primera vez en inglés en un artículo de 1934 de Joseph Doob . Para el término y una definición matemática específica, Doob citó otro artículo de 1934, donde el término stochastischer Prozeß fue usado en alemán por Aleksandr Khinchin , aunque el término alemán había sido usado antes, por ejemplo, por Andrei Kolmogorov en 1931.

Según el Oxford English Dictionary, las primeras apariciones de la palabra aleatorio en inglés con su significado actual, que se relaciona con el azar o la suerte, se remontan al siglo XVI, mientras que los usos registrados anteriormente comenzaron en el siglo XIV como un sustantivo que significa "impetuosidad, gran velocidad, fuerza o violencia (al montar, correr, golpear, etc.) ". La palabra en sí proviene de una palabra del francés medio que significa "velocidad, prisa", y probablemente se deriva de un verbo francés que significa "correr" o "galopar". La primera aparición escrita del término proceso aleatorio es anterior al proceso estocástico , que el Oxford English Dictionary también da como sinónimo, y fue utilizado en un artículo de Francis Edgeworth publicado en 1888.

Terminología

La definición de un proceso estocástico varía, pero un proceso estocástico se define tradicionalmente como una colección de variables aleatorias indexadas por algún conjunto. Los términos proceso aleatorio y proceso estocástico se consideran sinónimos y se usan indistintamente, sin que se especifique con precisión el conjunto de índices. Tanto "colección" como "familia" se utilizan, mientras que en lugar de "conjunto de índices", a veces se utilizan los términos "conjunto de parámetros" o "espacio de parámetros".

El término función aleatoria también se usa para referirse a un proceso estocástico o aleatorio, aunque a veces solo se usa cuando el proceso estocástico toma valores reales. Este término también se usa cuando los conjuntos de índices son espacios matemáticos distintos de la línea real, mientras que los términos proceso estocástico y proceso aleatorio se usan generalmente cuando el conjunto de índices se interpreta como tiempo, y se usan otros términos como campo aleatorio cuando el índice el conjunto es un espacio euclidiano dimensional o una variedad .

Notación

Un proceso estocástico se puede denotar, entre otras maneras, por , , o simplemente como o , a pesar de que se considera como un abuso de notación de función . Por ejemplo, o se utilizan para referirse a la variable aleatoria con el índice , y no a todo el proceso estocástico. Si el conjunto de índices es , entonces se puede escribir, por ejemplo, para denotar el proceso estocástico.

Ejemplos de

Proceso de Bernoulli

Uno de los procesos estocásticos más simples es el proceso de Bernoulli , que es una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (iid), donde cada variable aleatoria toma el valor uno o cero, digamos uno con probabilidad y cero con probabilidad . Este proceso se puede vincular a lanzar repetidamente una moneda, donde la probabilidad de obtener una cara es y su valor es uno, mientras que el valor de una cruz es cero. En otras palabras, un proceso de Bernoulli es una secuencia de variables aleatorias de Bernoulli iid, donde cada lanzamiento de moneda es un ejemplo de un ensayo de Bernoulli .

Caminata aleatoria

Los paseos aleatorios son procesos estocásticos que generalmente se definen como sumas de variables aleatorias iid o vectores aleatorios en el espacio euclidiano, por lo que son procesos que cambian en tiempo discreto. Pero algunos también usan el término para referirse a procesos que cambian en tiempo continuo, particularmente el proceso de Wiener utilizado en finanzas, lo que ha generado cierta confusión, lo que ha generado críticas. Existen otros tipos diversos de paseos aleatorios, definidos por lo que sus espacios de estado pueden ser otros objetos matemáticos, como celosías y grupos, y en general están muy estudiados y tienen muchas aplicaciones en diferentes disciplinas.

Un ejemplo clásico de una caminata aleatoria se conoce como caminata aleatoria simple , que es un proceso estocástico en tiempo discreto con los enteros como el espacio de estados, y se basa en un proceso de Bernoulli, donde cada variable de Bernoulli toma el valor positivo o uno negativo. En otras palabras, la caminata aleatoria simple tiene lugar en los números enteros, y su valor aumenta en uno con probabilidad, digamos , o disminuye en uno con probabilidad , por lo que el conjunto de índices de esta caminata aleatoria son los números naturales, mientras que su espacio de estado son los enteros. Si , este paseo aleatorio se denomina paseo aleatorio simétrico.

Proceso de salchicha

El proceso de Wiener es un proceso estocástico con incrementos estacionarios e independientes que normalmente se distribuyen en función del tamaño de los incrementos. El proceso de Wiener lleva el nombre de Norbert Wiener , quien demostró su existencia matemática, pero el proceso también se llama proceso de movimiento browniano o simplemente movimiento browniano debido a su conexión histórica como modelo para el movimiento browniano en líquidos.

Realizaciones de procesos de Wiener (o procesos de movimiento browniano) con deriva ( azul ) y sin deriva ( rojo ).

Al desempeñar un papel central en la teoría de la probabilidad, el proceso de Wiener a menudo se considera el proceso estocástico más importante y estudiado, con conexiones con otros procesos estocásticos. Su conjunto de índices y el espacio de estados son los números no negativos y los números reales, respectivamente, por lo que tiene un conjunto de índices continuo y un espacio de estados. Pero el proceso se puede definir de manera más general, por lo que su espacio de estados puede ser -espacio euclidiano dimensional. Si la media de cualquier incremento es cero, entonces se dice que el proceso de movimiento de Wiener o Browniano resultante tiene una deriva cero. Si la media del incremento para dos puntos en el tiempo es igual a la diferencia de tiempo multiplicada por alguna constante , que es un número real, entonces se dice que el proceso estocástico resultante tiene una deriva .

Casi con seguridad , una ruta de muestra de un proceso de Wiener es continua en todas partes, pero en ninguna parte es diferenciable . Puede considerarse como una versión continua del simple paseo aleatorio. El proceso surge como el límite matemático de otros procesos estocásticos como ciertos paseos aleatorios reescalados, que es el tema del teorema de Donsker o principio de invariancia, también conocido como el teorema del límite central funcional.

El proceso de Wiener es miembro de algunas familias importantes de procesos estocásticos, incluidos los procesos de Markov, los procesos de Lévy y los procesos gaussianos. El proceso también tiene muchas aplicaciones y es el principal proceso estocástico utilizado en el cálculo estocástico. Desempeña un papel central en las finanzas cuantitativas, donde se utiliza, por ejemplo, en el modelo Black-Scholes-Merton. El proceso también se utiliza en diferentes campos, incluida la mayoría de las ciencias naturales, así como algunas ramas de las ciencias sociales, como modelo matemático para varios fenómenos aleatorios.

Proceso de Poisson

El proceso de Poisson es un proceso estocástico que tiene diferentes formas y definiciones. Se puede definir como un proceso de conteo, que es un proceso estocástico que representa el número aleatorio de puntos o eventos hasta algún tiempo. El número de puntos del proceso que se ubican en el intervalo de cero a un tiempo dado es una variable aleatoria de Poisson que depende de ese tiempo y algún parámetro. Este proceso tiene los números naturales como su espacio de estado y los números no negativos como su conjunto de índices. Este proceso también se denomina proceso de recuento de Poisson, ya que puede interpretarse como un ejemplo de un proceso de recuento.

Si un proceso de Poisson se define con una única constante positiva, entonces el proceso se denomina proceso de Poisson homogéneo. El proceso de Poisson homogéneo es miembro de clases importantes de procesos estocásticos como los procesos de Markov y los procesos de Lévy.

El proceso de Poisson homogéneo se puede definir y generalizar de diferentes formas. Se puede definir de manera que su conjunto de índices sea la línea real, y este proceso estocástico también se denomina proceso de Poisson estacionario. Si la constante del parámetro del proceso de Poisson se reemplaza con alguna función integrable no negativa de , el proceso resultante se denomina proceso de Poisson no homogéneo o no homogéneo, donde la densidad promedio de puntos del proceso ya no es constante. Sirviendo como un proceso fundamental en la teoría de las colas, el proceso de Poisson es un proceso importante para los modelos matemáticos, donde encuentra aplicaciones para modelos de eventos que ocurren aleatoriamente en ciertas ventanas de tiempo.

Definido en la línea real, el proceso de Poisson se puede interpretar como un proceso estocástico, entre otros objetos aleatorios. Pero luego se puede definir en el espacio euclidiano dimensional u otros espacios matemáticos, donde a menudo se interpreta como un conjunto aleatorio o una medida de conteo aleatoria, en lugar de un proceso estocástico. En este escenario, el proceso de Poisson, también llamado proceso del punto de Poisson, es uno de los objetos más importantes en la teoría de la probabilidad, tanto por razones teóricas como de aplicación. Pero se ha señalado que el proceso de Poisson no recibe tanta atención como debería, en parte debido a que a menudo se lo considera solo en la línea real y no en otros espacios matemáticos.

Definiciones

Proceso estocástico

Un proceso estocástico se define como una colección de variables aleatorias definidas en un espacio de probabilidad común , donde es un espacio muestral , es un - álgebra y es una medida de probabilidad ; y las variables aleatorias, indexadas por algún conjunto , todas toman valores en el mismo espacio matemático , que debe ser medible con respecto a algún -álgebra .

En otras palabras, para un espacio de probabilidad dado y un espacio medible , un proceso estocástico es una colección de variables aleatorias valoradas, que se pueden escribir como:

Históricamente, en muchos problemas de las ciencias naturales un punto tenía el significado de tiempo, por lo que es una variable aleatoria que representa un valor observado en el tiempo . También se puede escribir un proceso estocástico para reflejar que en realidad es una función de dos variables, y .

Hay otras formas de considerar un proceso estocástico, y la definición anterior se considera la tradicional. Por ejemplo, un proceso estocástico se puede interpretar o definir como una variable aleatoria valorada, donde es el espacio de todas las funciones valoradas posibles de ese mapa del conjunto al espacio .

Conjunto de índices

El conjunto se denomina conjunto de índices o conjunto de parámetros del proceso estocástico. A menudo, este conjunto es un subconjunto de la línea real , como los números naturales o un intervalo, lo que le da al conjunto la interpretación del tiempo. Además de estos conjuntos, el conjunto índice puede ser otro conjunto con un orden total o un conjunto más general, como el plano cartesiano o el espacio euclidiano -dimensional, donde un elemento puede representar un punto en el espacio. Dicho esto, muchos resultados y teoremas solo son posibles para procesos estocásticos con un conjunto de índices totalmente ordenado.

Espacio de Estados

El espacio matemático de un proceso estocástico se denomina espacio de estados . Este espacio matemático puede definirse utilizando números enteros , líneas reales , dimensionales espacios euclídeos , aviones complejos, o espacios matemáticos más abstractos. El espacio de estados se define mediante elementos que reflejan los diferentes valores que puede tomar el proceso estocástico.

Función de muestra

Una función de muestra es un resultado único de un proceso estocástico, por lo que se forma tomando un único valor posible de cada variable aleatoria del proceso estocástico. Más precisamente, si es un proceso estocástico, entonces para cualquier punto , el mapeo

se llama función de muestra, realización o, particularmente cuando se interpreta como tiempo, ruta de muestra del proceso estocástico . Esto significa que para un fijo , existe una función de muestra que asigna el conjunto de índices al espacio de estados . Otros nombres para una función de muestra de un proceso estocástico incluyen trayectoria , función de ruta o ruta .

Incremento

Un incremento de un proceso estocástico es la diferencia entre dos variables aleatorias del mismo proceso estocástico. Para un proceso estocástico con un conjunto de índices que se puede interpretar como tiempo, un incremento es cuánto cambia el proceso estocástico durante un cierto período de tiempo. Por ejemplo, si es un proceso estocástico con un espacio de estados y un índice establecido , entonces para dos números no negativos cualesquiera y tales que , la diferencia es una variable aleatoria valorada conocida como incremento. Cuando está interesado en los incrementos, a menudo el espacio de estado es la línea real o los números naturales, pero puede ser un espacio euclidiano dimensional o espacios más abstractos como los espacios de Banach .

Definiciones adicionales

Ley

Para un proceso estocástico definido en el espacio de probabilidad , la ley del proceso estocástico se define como la medida de la imagen :

donde es una medida de probabilidad, el símbolo denota la composición de la función y es la imagen previa de la función medible o, de manera equivalente, la variable aleatoria valorada , donde es el espacio de todas las posibles funciones valoradas de , por lo que la ley de un estocástico El proceso es una medida de probabilidad.

Para un subconjunto medible de , la imagen previa de da

por lo que la ley de a se puede escribir como:

El derecho de un proceso estocástico o una variable aleatoria es también llamada la ley de probabilidad , distribución de probabilidad , o la distribución .

Distribuciones de probabilidad de dimensión finita

Para un proceso estocástico con la ley , su distribución de dimensión finita para se define como:

Esta medida es la distribución conjunta del vector aleatorio ; puede verse como una "proyección" de la ley sobre un subconjunto finito de .

Para cualquier subconjunto medible de la potencia cartesiana multiplicada , las distribuciones de dimensión finita de un proceso estocástico se pueden escribir como:

Las distribuciones de dimensión finita de un proceso estocástico satisfacen dos condiciones matemáticas conocidas como condiciones de consistencia.

Estacionariedad

La estacionariedad es una propiedad matemática que tiene un proceso estocástico cuando todas las variables aleatorias de ese proceso estocástico se distribuyen de manera idéntica. En otras palabras, si es un proceso estocástico estacionario, entonces para cualquiera la variable aleatoria tiene la misma distribución, lo que significa que para cualquier conjunto de valores de conjunto de índices , las variables aleatorias correspondientes

todos tienen la misma distribución de probabilidad . El conjunto de índices de un proceso estocástico estacionario generalmente se interpreta como tiempo, por lo que pueden ser los números enteros o la línea real. Pero el concepto de estacionariedad también existe para procesos puntuales y campos aleatorios, donde el conjunto de índices no se interpreta como tiempo.

Cuando el conjunto de índices se puede interpretar como tiempo, se dice que un proceso estocástico es estacionario si sus distribuciones de dimensión finita son invariantes bajo traslaciones de tiempo. Este tipo de proceso estocástico se puede utilizar para describir un sistema físico que está en estado estable, pero aún experimenta fluctuaciones aleatorias. La intuición detrás de la estacionariedad es que a medida que pasa el tiempo, la distribución del proceso estocástico estacionario sigue siendo la misma. Una secuencia de variables aleatorias forma un proceso estocástico estacionario solo si las variables aleatorias se distribuyen de manera idéntica.

A veces se dice que un proceso estocástico con la definición anterior de estacionariedad es estrictamente estacionario, pero existen otras formas de estacionariedad. Un ejemplo es cuando se dice que un proceso estocástico de tiempo discreto o de tiempo continuo es estacionario en el sentido amplio, entonces el proceso tiene un segundo momento finito para todos y la covarianza de las dos variables aleatorias y depende solo del número para todos. . Khinchin introdujo el concepto relacionado de estacionariedad en el sentido amplio , que tiene otros nombres que incluyen estacionariedad de covarianza o estacionariedad en el sentido amplio .

Filtración

Una filtración es una secuencia creciente de sigma-álgebras definida en relación con algún espacio de probabilidad y un conjunto de índices que tiene alguna relación de orden total , como en el caso de que el conjunto de índices sea un subconjunto de los números reales. Más formalmente, si un proceso estocástico tiene un índice establecido con un orden total, entonces una filtración , en un espacio de probabilidad es una familia de sigma-álgebras tal que para todos , donde y denota el orden total del índice establecido . Con el concepto de filtración, es posible estudiar la cantidad de información contenida en un proceso estocástico en , lo que puede interpretarse como tiempo . La intuición detrás de una filtración es que a medida que pasa el tiempo , más y más información se conoce o se encuentra disponible, la cual se captura , lo que resulta en particiones cada vez más finas de .

Modificación

Una modificación de un proceso estocástico es otro proceso estocástico, que está estrechamente relacionado con el proceso estocástico original. Más precisamente, se dice que un proceso estocástico que tiene el mismo conjunto de índices , espacio de conjuntos y espacio de probabilidad que otro proceso estocástico es una modificación de si para todos los siguientes

sostiene. Dos procesos estocásticos que son modificaciones entre sí tienen la misma ley de dimensión finita y se dice que son estocásticamente equivalentes o equivalentes .

En lugar de modificación, también se usa el término versión , sin embargo algunos autores usan el término versión cuando dos procesos estocásticos tienen las mismas distribuciones de dimensión finita, pero pueden estar definidos en diferentes espacios de probabilidad, por lo que dos procesos que son modificaciones entre sí, son también versiones entre sí, en el último sentido, pero no al revés.

Si un proceso estocástico de valor real en tiempo continuo cumple ciertas condiciones de momento en sus incrementos, entonces el teorema de continuidad de Kolmogorov dice que existe una modificación de este proceso que tiene caminos muestrales continuos con probabilidad uno, por lo que el proceso estocástico tiene una modificación continua o versión. El teorema también se puede generalizar a campos aleatorios, por lo que el conjunto de índices es -espacio euclidiano dimensional, así como a procesos estocásticos con espacios métricos como sus espacios de estado.

Indistinguible

Se dice que dos procesos estocásticos y definidos en el mismo espacio de probabilidad con el mismo conjunto de índices y espacio de conjuntos son indistinguibles si lo siguiente

sostiene. Si dos y son modificaciones entre sí y casi con seguridad son continuos, entonces y son indistinguibles.

Posibilidad de separación

La separabilidad es una propiedad de un proceso estocástico basado en su conjunto de índices en relación con la medida de probabilidad. La propiedad se asume para que los funcionales de procesos estocásticos o campos aleatorios con conjuntos de índices incontables puedan formar variables aleatorias. Para que un proceso estocástico sea separable, además de otras condiciones, su conjunto de índices debe ser un espacio separable , lo que significa que el conjunto de índices tiene un subconjunto contable denso.

Más precisamente, un proceso estocástico de tiempo continuo con valor real con un espacio de probabilidad es separable si su conjunto de índices tiene un subconjunto denso contable y hay un conjunto de probabilidad cero, por lo que , para cada conjunto abierto y cada conjunto cerrado , el dos eventos y se diferencian entre sí como máximo en un subconjunto de . La definición de separabilidad también se puede establecer para otros conjuntos de índices y espacios de estado, como en el caso de campos aleatorios, donde el conjunto de índices y el espacio de estados pueden ser -espacio euclidiano dimensional.

El concepto de divisibilidad de un proceso estocástico fue introducido por Joseph Doob ,. La idea subyacente de la separabilidad es hacer que un conjunto contable de puntos del conjunto de índices determine las propiedades del proceso estocástico. Cualquier proceso estocástico con un conjunto de índices contables ya cumple con las condiciones de separabilidad, por lo que los procesos estocásticos de tiempo discreto son siempre separables. Un teorema de Doob, a veces conocido como teorema de separabilidad de Doob, dice que cualquier proceso estocástico de tiempo continuo con valor real tiene una modificación separable. También existen versiones de este teorema para procesos estocásticos más generales con conjuntos de índices y espacios de estado distintos de la línea real.

Independencia

Se dice que dos procesos estocásticos y definidos en el mismo espacio de probabilidad con el mismo conjunto de índices son independientes si para todas y para cada elección de épocas , los vectores aleatorios y son independientes.

Falta de correlación

Dos procesos estocásticos y se denominan no correlacionados si su covarianza cruzada es cero para todos los tiempos. Formalmente:

.

La independencia implica falta de correlación

Si dos procesos estocásticos y son independientes, tampoco están correlacionados.

Ortogonalidad

Dos procesos estocásticos y se denominan ortogonales si su correlación cruzada es cero para todos los tiempos. Formalmente:

.

Espacio Skorokhod

Un espacio de Skorokhod , también escrito como espacio de Skorohod , es un espacio matemático de todas las funciones que son continuas a la derecha con límites izquierdos, definidas en algún intervalo de la línea real como o , y toman valores en la línea real o en alguna métrica. espacio. Estas funciones se conocen como funciones càdlàg o cadlag, basadas en el acrónimo de la frase francesa continue à droite, limite à gauche . Un espacio de funciones de Skorokhod, presentado por Anatoliy Skorokhod , a menudo se denota con la letra , por lo que el espacio de funciones también se conoce como espacio . La notación de este espacio funcional también puede incluir el intervalo en el que se definen todas las funciones càdlàg, por lo que, por ejemplo, denota el espacio de funciones càdlàg definidas en el intervalo unitario .

Los espacios de funciones de Skorokhod se utilizan con frecuencia en la teoría de procesos estocásticos porque a menudo se supone que las funciones muestrales de los procesos estocásticos de tiempo continuo pertenecen a un espacio de Skorokhod. Dichos espacios contienen funciones continuas, que corresponden a funciones de muestra del proceso de Wiener. Pero el espacio también tiene funciones con discontinuidades, lo que significa que las funciones muestrales de procesos estocásticos con saltos, como el proceso de Poisson (en la línea real), también son miembros de este espacio.

Regularidad

En el contexto de la construcción matemática de procesos estocásticos, el término regularidad se usa cuando se discute y se asumen ciertas condiciones para que un proceso estocástico resuelva posibles problemas de construcción. Por ejemplo, para estudiar procesos estocásticos con conjuntos de índices incontables, se supone que el proceso estocástico se adhiere a algún tipo de condición de regularidad, como que las funciones muestrales sean continuas.

Más ejemplos

Procesos y cadenas de Markov

Los procesos de Markov son procesos estocásticos, tradicionalmente en tiempo discreto o continuo , que tienen la propiedad de Markov, lo que significa que el siguiente valor del proceso de Markov depende del valor actual, pero es condicionalmente independiente de los valores anteriores del proceso estocástico. En otras palabras, el comportamiento del proceso en el futuro es estocásticamente independiente de su comportamiento en el pasado, dado el estado actual del proceso.

El proceso de movimiento browniano y el proceso de Poisson (en una dimensión) son ejemplos de procesos de Markov en tiempo continuo, mientras que los paseos aleatorios sobre los números enteros y el problema de la ruina del jugador son ejemplos de procesos de Markov en tiempo discreto.

Una cadena de Markov es un tipo de proceso de Markov que tiene un espacio de estado discreto o un conjunto de índices discretos (que a menudo representa el tiempo), pero la definición precisa de una cadena de Markov varía. Por ejemplo, es común definir una cadena de Markov como un proceso de Markov en tiempo discreto o continuo con un espacio de estado contable (por lo tanto, independientemente de la naturaleza del tiempo), pero también ha sido común definir una cadena de Markov como discreta tiempo en espacio de estado contable o continuo (por lo tanto, independientemente del espacio de estado). Se ha argumentado que la primera definición de una cadena de Markov, donde tiene un tiempo discreto, ahora tiende a usarse, a pesar de que la segunda definición ha sido utilizada por investigadores como Joseph Doob y Kai Lai Chung .

Los procesos de Markov forman una clase importante de procesos estocásticos y tienen aplicaciones en muchas áreas. Por ejemplo, son la base de un método de simulación estocástica general conocido como cadena de Markov Monte Carlo , que se utiliza para simular objetos aleatorios con distribuciones de probabilidad específicas y ha encontrado aplicación en la estadística bayesiana .

El concepto de la propiedad de Markov era originalmente para procesos estocásticos en tiempo continuo y discreto, pero la propiedad se ha adaptado para otros conjuntos de índices como el espacio euclidiano -dimensional, que da como resultado colecciones de variables aleatorias conocidas como campos aleatorios de Markov.

Martingala

Una martingala es un proceso estocástico de tiempo discreto o de tiempo continuo con la propiedad de que, en cada instante, dado el valor actual y todos los valores pasados ​​del proceso, la expectativa condicional de cada valor futuro es igual al valor actual. En tiempo discreto, si esta propiedad se mantiene para el siguiente valor, entonces se mantiene para todos los valores futuros. La definición matemática exacta de una martingala requiere otras dos condiciones junto con el concepto matemático de una filtración, que se relaciona con la intuición de aumentar la información disponible a medida que pasa el tiempo. Las martingalas generalmente se definen como de valor real, pero también pueden ser de valor complejo o incluso más generales.

Una caminata aleatoria simétrica y un proceso de Wiener (con deriva cero) son ejemplos de martingalas, respectivamente, en tiempo discreto y continuo. Para una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con media cero, el proceso estocástico formado a partir de las sucesivas sumas parciales es una martingala de tiempo discreto. En este aspecto, las martingalas de tiempo discreto generalizan la idea de sumas parciales de variables aleatorias independientes.

Las martingalas también se pueden crear a partir de procesos estocásticos aplicando algunas transformaciones adecuadas, que es el caso del proceso de Poisson homogéneo (en la línea real) que da como resultado una martingala llamada proceso de Poisson compensado . Las martingalas también se pueden construir a partir de otras martingalas. Por ejemplo, existen martingalas basadas en la martingala del proceso Wiener, formando martingalas de tiempo continuo.

Las martingalas formalizan matemáticamente la idea de un juego limpio, y fueron desarrolladas originalmente para mostrar que no es posible ganar un juego limpio. Pero ahora se utilizan en muchas áreas de probabilidad, que es una de las principales razones para estudiarlos. Muchos problemas de probabilidad se han resuelto encontrando una martingala en el problema y estudiándolo. Las martingalas convergerán, dadas algunas condiciones en sus momentos, por lo que a menudo se utilizan para derivar resultados de convergencia, debido en gran parte a los teoremas de convergencia de martingalas .

Las martingalas tienen muchas aplicaciones en estadística, pero se ha señalado que su uso y aplicación no está tan extendido como podría estarlo en el campo de la estadística, particularmente en la inferencia estadística. Han encontrado aplicaciones en áreas de la teoría de la probabilidad, como la teoría de las colas y el cálculo de Palm, y otros campos como la economía y las finanzas.

Proceso Lévy

Los procesos de Lévy son tipos de procesos estocásticos que pueden considerarse como generalizaciones de paseos aleatorios en tiempo continuo. Estos procesos tienen muchas aplicaciones en campos como las finanzas, la mecánica de fluidos, la física y la biología. Las principales características definitorias de estos procesos son sus propiedades de estacionariedad e independencia, por lo que se les conoció como procesos con incrementos estacionarios e independientes . En otras palabras, un proceso estocástico es un proceso de Lévy si para números no negativos , los incrementos correspondientes

son todos independientes entre sí, y la distribución de cada incremento solo depende de la diferencia en el tiempo.

Un proceso de Lévy se puede definir de manera que su espacio de estado sea un espacio matemático abstracto, como un espacio de Banach , pero los procesos a menudo se definen de modo que toman valores en el espacio euclidiano. El conjunto de índices son los números no negativos, por lo que da la interpretación del tiempo. Los procesos estocásticos importantes como el proceso de Wiener, el proceso homogéneo de Poisson (en una dimensión) y los subordinados son todos procesos de Lévy.

Campo aleatorio

Un campo aleatorio es una colección de variables aleatorias indexadas por un espacio euclidiano dimensional o alguna variedad. En general, un campo aleatorio puede considerarse un ejemplo de un proceso estocástico o aleatorio, donde el conjunto de índices no es necesariamente un subconjunto de la línea real. Pero existe una convención de que una colección indexada de variables aleatorias se denomina campo aleatorio cuando el índice tiene dos o más dimensiones. Si la definición específica de un proceso estocástico requiere que el conjunto de índices sea un subconjunto de la línea real, entonces el campo aleatorio puede considerarse como una generalización del proceso estocástico.

Proceso de puntos

Un proceso de puntos es una colección de puntos ubicados aleatoriamente en algún espacio matemático, como la línea real, el espacio euclidiano dimensional o espacios más abstractos. A veces, no se prefiere el término proceso puntual , ya que históricamente el proceso de palabras denotaba una evolución de algún sistema en el tiempo, por lo que un proceso puntual también se denomina campo puntual aleatorio . Existen diferentes interpretaciones de un proceso puntual, como una medida de conteo aleatoria o un conjunto aleatorio. Algunos autores consideran un proceso puntual y un proceso estocástico como dos objetos diferentes, de modo que un proceso puntual es un objeto aleatorio que surge de un proceso estocástico o está asociado con él, aunque se ha señalado que la diferencia entre procesos puntuales y procesos estocásticos no está clara. .

Otros autores consideran un proceso puntual como un proceso estocástico, donde el proceso está indexado por conjuntos del espacio subyacente en el que está definido, como la línea real o el espacio euclidiano dimensional. Otros procesos estocásticos como los procesos de renovación y conteo se estudian en la teoría de procesos puntuales.

Historia

Teoría de la probabilidad temprana

La teoría de la probabilidad tiene su origen en los juegos de azar, que tienen una larga historia, con algunos juegos que se jugaban hace miles de años, pero se hizo muy poco análisis sobre ellos en términos de probabilidad. El año 1654 se considera a menudo el nacimiento de la teoría de la probabilidad cuando los matemáticos franceses Pierre Fermat y Blaise Pascal tenían una correspondencia escrita sobre probabilidad, motivada por un problema de juego . Pero se realizó un trabajo matemático anterior sobre la probabilidad de juegos de azar como el Liber de Ludo Aleae de Gerolamo Cardano , escrito en el siglo XVI pero publicado póstumamente más tarde en 1663.

Después de Cardano, Jakob Bernoulli escribió Ars Conjectandi , que se considera un evento significativo en la historia de la teoría de la probabilidad. El libro de Bernoulli fue publicado, también póstumamente, en 1713 e inspiró a muchos matemáticos a estudiar la probabilidad. Pero a pesar de que algunos matemáticos de renombre contribuyeron a la teoría de la probabilidad, como Pierre-Simon Laplace , Abraham de Moivre , Carl Gauss , Siméon Poisson y Pafnuty Chebyshev , la mayoría de la comunidad matemática no consideró la teoría de la probabilidad como parte de las matemáticas hasta el siglo XX.

Mecánica estadística

En las ciencias físicas, los científicos desarrollaron en el siglo XIX la disciplina de la mecánica estadística , donde los sistemas físicos, como los contenedores llenos de gases, pueden considerarse o tratarse matemáticamente como colecciones de muchas partículas en movimiento. Aunque algunos científicos, como Rudolf Clausius , intentaron incorporar la aleatoriedad en la física estadística , la mayor parte del trabajo tuvo poca o ninguna aleatoriedad. Esto cambió en 1859 cuando James Clerk Maxwell contribuyó significativamente al campo, más específicamente, a la teoría cinética de los gases, al presentar un trabajo en el que asumió que las partículas de gas se mueven en direcciones aleatorias a velocidades aleatorias. La teoría cinética de los gases y la física estadística continuaron desarrollándose en la segunda mitad del siglo XIX, con trabajos realizados principalmente por Clausius, Ludwig Boltzmann y Josiah Gibbs , que más tarde influirían en el modelo matemático de Albert Einstein para el movimiento browniano. .

Teoría de la medida y teoría de la probabilidad

En el Congreso Internacional de Matemáticos en París en 1900, David Hilbert presentó una lista de problemas matemáticos , donde su sexto problema pedía un tratamiento matemático de la física y la probabilidad que involucraba axiomas . A principios del siglo XX, los matemáticos desarrollaron la teoría de la medida, una rama de las matemáticas para el estudio de integrales de funciones matemáticas, donde dos de los fundadores fueron matemáticos franceses, Henri Lebesgue y Émile Borel . En 1925, otro matemático francés Paul Lévy publicó el primer libro de probabilidades que utilizó ideas de la teoría de la medida.

En la década de 1920, matemáticos como Sergei Bernstein , Aleksandr Khinchin y Andrei Kolmogorov hicieron contribuciones fundamentales a la teoría de la probabilidad en la Unión Soviética . Kolmogorov publicó en 1929 su primer intento de presentar una base matemática, basada en la teoría de la medida, para la teoría de la probabilidad. A principios de la década de 1930, Khinchin y Kolmogorov organizaron seminarios de probabilidad, a los que asistieron investigadores como Eugene Slutsky y Nikolai Smirnov , y Khinchin dio la primera definición matemática de un proceso estocástico como un conjunto de variables aleatorias indexadas por la línea real.

Nacimiento de la teoría de la probabilidad moderna

En 1933, Andrei Kolmogorov publicó en alemán su libro sobre los fundamentos de la teoría de la probabilidad titulado Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung , donde Kolmogorov utilizó la teoría de la medida para desarrollar un marco axiomático para la teoría de la probabilidad. La publicación de este libro se considera ahora ampliamente como el nacimiento de la teoría de la probabilidad moderna, cuando las teorías de la probabilidad y los procesos estocásticos se convirtieron en parte de las matemáticas.

Después de la publicación del libro de Kolmogorov, Khinchin y Kolmogorov, así como otros matemáticos como Joseph Doob , William Feller , Maurice Fréchet , Paul Lévy , Wolfgang Doeblin y Harald Cramér , realizaron más trabajos fundamentales sobre la teoría de la probabilidad y los procesos estocásticos . Décadas más tarde, Cramér se refirió a la década de 1930 como el "período heroico de la teoría matemática de la probabilidad". La Segunda Guerra Mundial interrumpió en gran medida el desarrollo de la teoría de la probabilidad, provocando, por ejemplo, la migración de Feller de Suecia a los Estados Unidos de América y la muerte de Doeblin, considerado ahora pionero en los procesos estocásticos.

El matemático Joseph Doob realizó un trabajo temprano sobre la teoría de los procesos estocásticos, haciendo contribuciones fundamentales, particularmente en la teoría de las martingalas. Su libro Procesos estocásticos se considera muy influyente en el campo de la teoría de la probabilidad.

Procesos estocásticos después de la Segunda Guerra Mundial

Después de la Segunda Guerra Mundial, el estudio de la teoría de la probabilidad y los procesos estocásticos ganó más atención por parte de los matemáticos, con contribuciones significativas realizadas en muchas áreas de probabilidad y matemáticas, así como la creación de nuevas áreas. A partir de la década de 1940, Kiyosi Itô publicó artículos que desarrollaban el campo del cálculo estocástico , que involucra integrales estocásticas y ecuaciones diferenciales estocásticas basadas en el proceso de movimiento de Wiener o Browniano.

También a partir de la década de 1940, se establecieron conexiones entre los procesos estocásticos, en particular las martingalas, y el campo matemático de la teoría potencial , con las primeras ideas de Shizuo Kakutani y luego el trabajo posterior de Joseph Doob. Gilbert Hunt realizó un trabajo adicional, considerado pionero, en la década de 1950, conectando los procesos de Markov y la teoría potencial, lo que tuvo un efecto significativo en la teoría de los procesos de Lévy y llevó a un mayor interés en el estudio de los procesos de Markov con los métodos desarrollados por Itô.

En 1953 Doob publicó su libro Procesos estocásticos , que tuvo una fuerte influencia en la teoría de los procesos estocásticos y destacó la importancia de la teoría de la medida en la probabilidad. Doob también desarrolló principalmente la teoría de las martingalas, con contribuciones sustanciales posteriores de Paul-André Meyer . Sergei Bernstein , Paul Lévy y Jean Ville habían realizado trabajos anteriores , adoptando este último el término martingala para el proceso estocástico. Los métodos de la teoría de las martingalas se hicieron populares para resolver varios problemas de probabilidad. Se desarrollaron técnicas y teorías para estudiar los procesos de Markov y luego se aplicaron a las martingalas. Por el contrario, se establecieron métodos de la teoría de las martingalas para tratar los procesos de Markov.

Se desarrollaron y utilizaron otros campos de probabilidad para estudiar los procesos estocásticos, siendo un enfoque principal la teoría de las grandes desviaciones. La teoría tiene muchas aplicaciones en la física estadística, entre otros campos, y sus ideas centrales se remontan al menos a la década de 1930. Más tarde, en las décadas de 1960 y 1970, Alexander Wentzell realizó un trabajo fundamental en la Unión Soviética y Monroe D. Donsker y Srinivasa Varadhan en los Estados Unidos de América, lo que más tarde resultaría en que Varadhan ganara el Premio Abel de 2007. En las décadas de 1990 y 2000, se introdujeron y desarrollaron las teorías de la evolución de Schramm-Loewner y los caminos aproximados para estudiar los procesos estocásticos y otros objetos matemáticos en la teoría de la probabilidad, lo que resultó, respectivamente, en la concesión de medallas Fields a Wendelin Werner en 2008 y a Martin Hairer en 2014. .

La teoría de los procesos estocásticos sigue siendo un foco de investigación, con conferencias internacionales anuales sobre el tema de los procesos estocásticos.

Descubrimientos de procesos estocásticos específicos

Aunque Khinchin dio definiciones matemáticas de procesos estocásticos en la década de 1930, ya se habían descubierto procesos estocásticos específicos en diferentes escenarios, como el proceso de movimiento browniano y el proceso de Poisson. Algunas familias de procesos estocásticos, como los procesos puntuales o los procesos de renovación, tienen historias largas y complejas, que se remontan a siglos atrás.

Proceso de Bernoulli

El proceso de Bernoulli, que puede servir como modelo matemático para lanzar una moneda sesgada, es posiblemente el primer proceso estocástico que se ha estudiado. El proceso es una secuencia de ensayos independientes de Bernoulli, que llevan el nombre de Jackob Bernoulli, quien los utilizó para estudiar los juegos de azar, incluidos los problemas de probabilidad propuestos y estudiados anteriormente por Christiaan Huygens. El trabajo de Bernoulli, incluido el proceso de Bernoulli, se publicó en su libro Ars Conjectandi en 1713.

Paseos aleatorios

En 1905, Karl Pearson acuñó el término caminata aleatoria mientras planteaba un problema que describía una caminata aleatoria en el avión, que estaba motivado por una aplicación en biología, pero este tipo de problemas relacionados con caminatas aleatorias ya se habían estudiado en otros campos. Ciertos problemas de juego que se estudiaron siglos antes pueden considerarse problemas relacionados con caminatas al azar. Por ejemplo, el problema conocido como la ruina del jugador se basa en un simple paseo aleatorio y es un ejemplo de un paseo aleatorio con barreras absorbentes. Pascal, Fermat y Huyens dieron soluciones numéricas a este problema sin detallar sus métodos, y luego Jakob Bernoulli y Abraham de Moivre presentaron soluciones más detalladas .

Para caminatas aleatorias en celosías enteras -dimensionales , George Pólya publicó en 1919 y 1921 un trabajo, donde estudió la probabilidad de que una caminata aleatoria simétrica regrese a una posición anterior en la celosía. Pólya demostró que una caminata aleatoria simétrica, que tiene la misma probabilidad de avanzar en cualquier dirección en la celosía, volverá a una posición anterior en la celosía un número infinito de veces con probabilidad uno en una y dos dimensiones, pero con probabilidad cero en tres o más dimensiones.

Proceso de salchicha

El proceso de Wiener o proceso de movimiento browniano tiene sus orígenes en diferentes campos, incluidos la estadística, las finanzas y la física. En 1880, Thorvald Thiele escribió un artículo sobre el método de mínimos cuadrados, donde utilizó el proceso para estudiar los errores de un modelo en el análisis de series de tiempo. El trabajo ahora se considera como un descubrimiento temprano del método estadístico conocido como filtrado de Kalman , pero el trabajo se pasó por alto en gran medida. Se cree que las ideas en el artículo de Thiele eran demasiado avanzadas para haber sido entendidas por la comunidad matemática y estadística más amplia en ese momento.

Norbert Wiener dio la primera prueba matemática de la existencia del proceso de Wiener. Este objeto matemático había aparecido previamente en el trabajo de Thorvald Thiele , Louis Bachelier y Albert Einstein .

El matemático francés Louis Bachelier utilizó un proceso de Wiener en su tesis de 1900 para modelar los cambios de precios en la Bolsa de París , una bolsa de valores , sin conocer el trabajo de Thiele. Se ha especulado que Bachelier extrajo ideas del modelo de paseo aleatorio de Jules Regnault , pero Bachelier no lo citó, y la tesis de Bachelier ahora se considera pionera en el campo de las matemáticas financieras.

Se piensa comúnmente que el trabajo de Bachelier ganó poca atención y fue olvidado durante décadas hasta que fue redescubierto en la década de 1950 por Leonard Savage , y luego se hizo más popular después de que la tesis de Bachelier se tradujera al inglés en 1964. Pero el trabajo nunca fue olvidado en la década de 1950. comunidad matemática, como Bachelier publicó un libro en 1912 detallando sus ideas, que fue citado por matemáticos como Doob, Feller y Kolmogorov. El libro continuó siendo citado, pero luego, a partir de la década de 1960, la tesis original de Bachelier comenzó a citarse más que su libro cuando los economistas comenzaron a citar el trabajo de Bachelier.

En 1905, Albert Einstein publicó un artículo en el que estudiaba la observación física del movimiento browniano o el movimiento para explicar los movimientos aparentemente aleatorios de partículas en líquidos utilizando ideas de la teoría cinética de los gases . Einstein derivó una ecuación diferencial , conocida como ecuación de difusión , para describir la probabilidad de encontrar una partícula en una determinada región del espacio. Poco después del primer artículo de Einstein sobre el movimiento browniano, Marian Smoluchowski publicó un trabajo en el que citaba a Einstein, pero escribió que había obtenido de forma independiente los resultados equivalentes utilizando un método diferente.

El trabajo de Einstein, así como los resultados experimentales obtenidos por Jean Perrin , inspiraron más tarde a Norbert Wiener en la década de 1920 a utilizar un tipo de teoría de la medida, desarrollada por Percy Daniell , y el análisis de Fourier para demostrar la existencia del proceso de Wiener como un objeto matemático.

Proceso de Poisson

El proceso de Poisson lleva el nombre de Siméon Poisson , debido a su definición que involucra la distribución de Poisson , pero Poisson nunca estudió el proceso. Hay una serie de afirmaciones sobre usos o descubrimientos tempranos del proceso de Poisson. A principios del siglo XX, el proceso de Poisson surgiría de forma independiente en diferentes situaciones. En Suecia 1903, Filip Lundberg publicó una tesis que contenía un trabajo, ahora considerado fundamental y pionero, donde propuso modelar las reclamaciones de seguros con un proceso de Poisson homogéneo.

Otro descubrimiento ocurrió en Dinamarca en 1909 cuando AK Erlang derivó la distribución de Poisson al desarrollar un modelo matemático para el número de llamadas telefónicas entrantes en un intervalo de tiempo finito. Erlang no estaba al tanto en ese momento del trabajo anterior de Poisson y asumió que el número de llamadas telefónicas que llegaban en cada intervalo de tiempo eran independientes entre sí. Luego encontró el caso límite, que efectivamente está reformulando la distribución de Poisson como un límite de la distribución binomial.

En 1910, Ernest Rutherford y Hans Geiger publicaron resultados experimentales sobre el recuento de partículas alfa. Motivado por su trabajo, Harry Bateman estudió el problema de contar y derivó probabilidades de Poisson como una solución a una familia de ecuaciones diferenciales, lo que resultó en el descubrimiento independiente del proceso de Poisson. Después de este tiempo hubo muchos estudios y aplicaciones del proceso de Poisson, pero su historia temprana es complicada, lo que ha sido explicado por las diversas aplicaciones del proceso en numerosos campos por parte de biólogos, ecólogos, ingenieros y diversos científicos físicos.

Procesos de Markov

Los procesos de Markov y las cadenas de Markov llevan el nombre de Andrey Markov, quien estudió las cadenas de Markov a principios del siglo XX. Markov estaba interesado en estudiar una extensión de secuencias aleatorias independientes. En su primer artículo sobre cadenas de Markov, publicado en 1906, Markov mostró que bajo ciertas condiciones los resultados promedio de la cadena de Markov convergerían a un vector fijo de valores, demostrando así una ley débil de grandes números sin el supuesto de independencia, que había sido comúnmente considerado como un requisito para que se cumplan tales leyes matemáticas. Más tarde, Markov usó cadenas de Markov para estudiar la distribución de vocales en Eugene Onegin , escrito por Alexander Pushkin , y demostró un teorema del límite central para tales cadenas.

En 1912, Poincaré estudió las cadenas de Markov en grupos finitos con el objetivo de estudiar el barajado de cartas. Otros usos tempranos de las cadenas de Markov incluyen un modelo de difusión, introducido por Paul y Tatyana Ehrenfest en 1907, y un proceso de ramificación, introducido por Francis Galton y Henry William Watson en 1873, antes del trabajo de Markov. Después del trabajo de Galton y Watson, se reveló más tarde que su proceso de ramificación había sido descubierto y estudiado de forma independiente unas tres décadas antes por Irénée-Jules Bienaymé . A partir de 1928, Maurice Fréchet se interesó por las cadenas de Markov, lo que finalmente le llevó a publicar en 1938 un estudio detallado sobre las cadenas de Markov.

Andrei Kolmogorov desarrolló en un artículo de 1931 una gran parte de la teoría inicial de los procesos de Markov en tiempo continuo. Kolmogorov se inspiró en parte en el trabajo de 1900 de Louis Bachelier sobre las fluctuaciones en el mercado de valores, así como en el trabajo de Norbert Wiener sobre el modelo de Einstein del movimiento browniano. Introdujo y estudió un conjunto particular de procesos de Markov conocidos como procesos de difusión, donde derivó un conjunto de ecuaciones diferenciales que describen los procesos. Independientemente del trabajo de Kolmogorov, Sydney Chapman derivó en un artículo de 1928 una ecuación, ahora llamada ecuación de Chapman-Kolmogorov , de una manera menos rigurosa matemáticamente que Kolmogorov, mientras estudiaba el movimiento browniano. Las ecuaciones diferenciales ahora se denominan ecuaciones de Kolmogorov o ecuaciones de Kolmogorov-Chapman. Otros matemáticos que contribuyeron significativamente a los fundamentos de los procesos de Markov incluyen a William Feller, a partir de la década de 1930, y luego a Eugene Dynkin, a partir de la década de 1950.

Procesos Lévy

Los procesos de Lévy como el proceso de Wiener y el proceso de Poisson (en la línea real) llevan el nombre de Paul Lévy, quien comenzó a estudiarlos en la década de 1930, pero tienen conexiones con distribuciones infinitamente divisibles que se remontan a la década de 1920. En un artículo de 1932, Kolmogorov derivó una función característica para las variables aleatorias asociadas con los procesos de Lévy. Este resultado fue posteriormente derivado en condiciones más generales por Lévy en 1934, y luego Khinchin dio de forma independiente una forma alternativa para esta función característica en 1937. Además de Lévy, Khinchin y Kolomogrov, las primeras contribuciones fundamentales a la teoría de los procesos de Lévy fueron hechas por Bruno de Finetti y Kiyosi Itô .

Construcción matemática

En matemáticas, se necesitan construcciones de objetos matemáticos, que también es el caso de los procesos estocásticos, para demostrar que existen matemáticamente. Hay dos enfoques principales para construir un proceso estocástico. Un enfoque implica considerar un espacio mensurable de funciones, definir un mapeo mensurable adecuado desde un espacio de probabilidad a este espacio mensurable de funciones, y luego derivar las distribuciones de dimensión finita correspondientes.

Otro enfoque implica definir una colección de variables aleatorias para tener distribuciones de dimensión finita específicas y luego usar el teorema de existencia de Kolmogorov para demostrar que existe un proceso estocástico correspondiente. Este teorema, que es un teorema de existencia para medidas en espacios de productos infinitos, dice que si alguna distribución de dimensión finita satisface dos condiciones, conocidas como condiciones de consistencia , entonces existe un proceso estocástico con esas distribuciones de dimensión finita.

Problemas de construcción

Al construir procesos estocásticos de tiempo continuo surgen ciertas dificultades matemáticas, debido a los incontables conjuntos de índices, que no ocurren con los procesos de tiempo discreto. Un problema es que es posible tener más de un proceso estocástico con las mismas distribuciones de dimensión finita. Por ejemplo, tanto la modificación continua a la izquierda como la modificación continua a la derecha de un proceso de Poisson tienen las mismas distribuciones de dimensión finita. Esto significa que la distribución del proceso estocástico no especifica necesariamente de forma única las propiedades de las funciones muestrales del proceso estocástico.

Otro problema es que las funciones del proceso de tiempo continuo que dependen de un número incontable de puntos del conjunto de índices pueden no ser medibles, por lo que las probabilidades de ciertos eventos pueden no estar bien definidas. Por ejemplo, el supremo de un proceso estocástico o campo aleatorio no es necesariamente una variable aleatoria bien definida. Para un proceso estocástico de tiempo continuo , otras características que dependen de un número incontable de puntos del conjunto de índices incluyen:

  • una función de muestra de un proceso estocástico es una función continua de ;
  • una función de muestra de un proceso estocástico es una función acotada de ; y
  • una función muestral de un proceso estocástico es una función creciente de .

Para superar estas dos dificultades, son posibles diferentes supuestos y enfoques.

Resolución de problemas de construcción

Un enfoque para evitar problemas de construcción matemática de procesos estocásticos, propuesto por Joseph Doob , es asumir que el proceso estocástico es separable. La separabilidad asegura que las distribuciones de dimensión infinita determinen las propiedades de las funciones de muestra al requerir que las funciones de muestra estén determinadas esencialmente por sus valores en un conjunto de puntos contables denso en el conjunto de índices. Además, si un proceso estocástico es separable, entonces los funcionales de un número incontable de puntos del conjunto de índices son medibles y sus probabilidades pueden estudiarse.

Otro enfoque es posible, desarrollado originalmente por Anatoliy Skorokhod y Andrei Kolmogorov , para un proceso estocástico de tiempo continuo con cualquier espacio métrico como su espacio de estado. Para la construcción de dicho proceso estocástico, se supone que las funciones muestrales del proceso estocástico pertenecen a algún espacio funcional adecuado, que suele ser el espacio de Skorokhod que consta de todas las funciones continuas a la derecha con límites a la izquierda. Este enfoque se utiliza ahora más que el supuesto de separabilidad, pero un proceso estocástico basado en este enfoque será automáticamente separable.

Aunque se utiliza menos, el supuesto de separabilidad se considera más general porque cada proceso estocástico tiene una versión separable. También se utiliza cuando no es posible construir un proceso estocástico en un espacio Skorokhod. Por ejemplo, se asume la separabilidad al construir y estudiar campos aleatorios, donde la colección de variables aleatorias ahora está indexada por conjuntos distintos de la línea real, como el espacio euclidiano dimensional.

Ver también

Notas

Referencias

Otras lecturas

Artículos

  • Applebaum, David (2004). "Procesos de Lévy: de la probabilidad a las finanzas y los grupos cuánticos". Avisos del AMS . 51 (11): 1336-1347.
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  • Meyer, Paul-André (2009). "Procesos estocásticos desde 1950 hasta la actualidad". Revista Electrónica de Historia de la Probabilidad y Estadística . 5 (1): 1–42.

Libros

enlaces externos