Subestructura (matemáticas) - Substructure (mathematics)

En la lógica matemática , un ( inducida ) subestructura o ( inducida ) subálgebra es una estructura cuyo dominio es un subconjunto de la de una estructura más grande, y cuyas funciones y relaciones están restringidas al dominio de la subestructura. Algunos ejemplos de subálgebras son subgrupos , submonoides , subanillos , subcampos , subálgebras de álgebras sobre un campo o subgráficos inducidos . Cambiando el punto de vista, la estructura más grande se llama extensión o superestructura de su subestructura.

En la teoría de modelos , el término " submodelo " se utiliza a menudo como sinónimo de subestructura, especialmente cuando el contexto sugiere una teoría de la cual ambas estructuras son modelos.

En presencia de relaciones (es decir, para estructuras como grupos ordenados o gráficos , cuya firma no es funcional), puede tener sentido relajar las condiciones en una subálgebra para que las relaciones en una subestructura débil (o subálgebra débil ) sean como máximo las inducido desde la estructura más grande. Los subgrafos son un ejemplo en el que la distinción importa, y el término "subgrafo" de hecho se refiere a subestructuras débiles. Los grupos ordenados , por otro lado, tienen la propiedad especial de que cada subestructura de un grupo ordenado que es en sí mismo un grupo ordenado, es una subestructura inducida.

Definición

Dadas dos estructuras A y B de la misma firma σ, se dice que A es una subestructura débil de B , o una subálgebra débil de B , si

• el dominio de A es un subconjunto del dominio de B ,
• f ^A = f ^B | _{A ⁿ} para cada símbolo de función n -aria f en σ, y
• R ^A R ^B A ⁿ para cada símbolo de relación n -aria R en σ.${\ Displaystyle \ subseteq}$ ${\ Displaystyle \ cap}$

Se dice que A es una subestructura de B , o una subálgebra de B , si A es una subálgebra débil de B y, además,

• R ^A = R ^B A ⁿ para cada símbolo de relación n -aria R en σ.${\ Displaystyle \ cap}$

Si A es una subestructura de B , entonces B se llama una superestructura de A o, especialmente si A es una subestructura inducida, una extensión de A .

Ejemplo

En el lenguaje que consta de las funciones binarias + y ×, relación binaria <y constantes 0 y 1, la estructura ( Q , +, ×, <, 0, 1) es una subestructura de ( R , +, ×, <, 0, 1). De manera más general, las subestructuras de un campo ordenado (o simplemente un campo ) son precisamente sus subcampos. De manera similar, en el lenguaje (×, ⁻¹ , 1) de los grupos, las subestructuras de un grupo son sus subgrupos . En el lenguaje (×, 1) de los monoides, sin embargo, las subestructuras de un grupo son sus submonoides . No necesitan ser grupos; e incluso si son grupos, no es necesario que sean subgrupos.

En el caso de los gráficos (en la firma que consta de una relación binaria), los subgrafos y sus subestructuras débiles son precisamente sus subgrafos.

Como subobjetos

Para cada firma σ, las subestructuras inducidas de σ-estructuras son los subobjetos en la categoría concreta de σ-estructuras y homomorfismos fuertes (y también en la categoría concreta de σ-estructuras y σ- incrustaciones ). Las subestructuras débiles de las estructuras σ son los subobjetos en la categoría concreta de las estructuras σ y los homomorfismos en el sentido ordinario.

Submodelo

En la teoría de modelos, dada una estructura M que es un modelo de una teoría T , un submodelo de M en un sentido más estrecho es una subestructura de M que es también un modelo de T . Por ejemplo, si T es la teoría de los grupos abelianos en la firma (+, 0), entonces los submodelos del grupo de enteros ( Z , +, 0) son las subestructuras que también son grupos abelianos. Así, los números naturales ( N , +, 0) forman una subestructura de ( Z , +, 0) que no es un submodelo, mientras que los números pares (2 Z , +, 0) forman un submodelo.

Otros ejemplos:

1. Los números algebraicos forman un submodelo de los números complejos en la teoría de campos algebraicamente cerrados .
2. Los números racionales forman un submodelo de los números reales en la teoría de campos .
3. Toda subestructura elemental de un modelo de una teoría T también satisface T ; por tanto, es un submodelo.

En la categoría de modelos de una teoría y las incrustaciones entre ellos, los submodelos de un modelo son sus subobjetos .

Ver también

• Subestructura elemental
• Extensión final
• Teorema de Löwenheim-Skolem
• Primer modelo

Referencias

• Burris, Stanley N .; Sankappanavar, HP (1981), Un curso de álgebra universal , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag
• Diestel, Reinhard (2005) [1997], Teoría de grafos , Textos de posgrado en matemáticas, 173 (3.a ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-26183-4
• Hodges, Wilfrid (1997), Una teoría de modelos más breve , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58713-6