Mapa métrico - Metric map

En la teoría matemática de los espacios métricos , un mapa métrico es una función entre espacios métricos que no aumenta ninguna distancia (tales funciones son siempre continuas ). Estos mapas son los morfismos en la categoría de espacios métricos , Met (Isbell 1964). También se les llama funciones de Lipschitz con constante de Lipschitz 1, mapas nonexpansive , mapas no expansivo , contracciones débiles o mapas cortos .

Específicamente, supongamos que X y Y son espacios métricos y ƒ es una función de X a Y . Por lo tanto tenemos una función corta cuando, por cualquier puntos x e y en X ,

{\ Displaystyle d_ {Y} (f (x), f (y)) \ leq d_ {X} (x, y). \!}

Aquí d _X y d _Y denotan las métricas de X e Y respectivamente.

Ejemplos

Consideremos el espacio métrico con la métrica euclidiana . A continuación, la función es una función corta, ya que para , . ${\ displaystyle [0,1 / 2]}$ ${\ Displaystyle f (x) = x ^ {2}}$ ${\ Displaystyle x \ neq y}$ ${\ Displaystyle | f (x) -f (y) | = | x + y || xy | <| xy |}$

Categoría de mapas métricos

La combinación de mapas métricos también es un mapa métrico, y el mapa de identidad id _M : M → M en un espacio métrico M es un mapa métrico. Por tanto, los espacios métricos junto con los mapas métricos forman una categoría Met . Met es una subcategoría de la categoría de espacios métricos y funciones de Lipschitz. Un mapa ƒ entre espacios métricos es una isometría si y solo si es un mapa métrico biyectivo cuya inversa también es un mapa métrico. Por tanto, los isomorfismos en Met son precisamente las isometrías.

Mapas estrictamente métricos

Se puede decir que f es estrictamente métrica si la desigualdad es estricta para cada dos puntos diferentes. Por tanto, un mapeo de contracciones es estrictamente métrico, pero no necesariamente al revés. Tenga en cuenta que una isometría nunca es estrictamente métrica, excepto en el caso degenerado del espacio vacío o un espacio de un solo punto.

Versión multivalor

Un mapeo de un espacio métrico X a la familia de subconjuntos no vacíos de X se dice que es Lipschitz si existe tal que ${\ Displaystyle T: X \ a {\ mathcal {N}} (X)}$ ${\ Displaystyle L \ geq 0}$

{\ Displaystyle H (Tx, Ty) \ leq Ld (x, y),}

para todos , donde H es la distancia de Hausdorff . Cuando , T se llama no expansivo y cuando , T se llama contracción . ${\ Displaystyle x, y \ en X}$ ${\ Displaystyle L = 1}$ ${\ Displaystyle L <1}$