Coordenadas de Rindler - Rindler coordinates

En física relativista , las coordenadas de un sistema de referencia hiperbólicamente acelerado constituyen un gráfico de coordenadas importante y útil que representa parte del espacio-tiempo plano de Minkowski . En la relatividad especial , una partícula en aceleración uniforme experimenta un movimiento hiperbólico , para lo cual se puede elegir un marco de referencia de aceleración uniforme en el que está en reposo como su marco de referencia adecuado . Los fenómenos en este marco hiperbólicamente acelerado se pueden comparar con los efectos que surgen en un campo gravitacional homogéneo . Para obtener una descripción general de las aceleraciones en el espacio-tiempo plano, consulte Aceleración (relatividad especial) y Marco de referencia adecuado (espacio-tiempo plano) .

En este artículo, la velocidad de la luz se define por c = 1 , las coordenadas inerciales son ( X , Y , Z , T ) y las coordenadas hiperbólicas son ( x , y , z , t ) . Estas coordenadas hiperbólicas se pueden separar en dos variantes principales dependiendo de la posición del observador acelerado: si el observador está ubicado en el tiempo T = 0 en la posición X = 1 / α (con α como la aceleración constante adecuada medida por un acelerómetro comovivo ), entonces las coordenadas hiperbólicas a menudo se denominan coordenadas de Rindler con la métrica de Rindler correspondiente . Si el observador está ubicado en el tiempo T = 0 en la posición X = 0 , entonces las coordenadas hiperbólicas a veces se denominan coordenadas de Møller o coordenadas de Kottler-Møller con la métrica de Kottler-Møller correspondiente . Un gráfico alternativo a menudo relacionado con observadores en movimiento hiperbólico se obtiene utilizando coordenadas de radar que a veces se denominan coordenadas de Lass . Tanto las coordenadas de Kottler-Møller como las coordenadas de Lass también se indican como coordenadas de Rindler.

En cuanto a la historia, tales coordenadas se introdujeron poco después del advenimiento de la relatividad especial, cuando fueron estudiadas (total o parcialmente) junto con el concepto de movimiento hiperbólico: En relación con el espacio-tiempo plano de Minkowski por Albert Einstein (1907, 1912), Max Born ( 1909), Arnold Sommerfeld (1910), Max von Laue (1911), Hendrik Lorentz (1913), Friedrich Kottler (1914), Wolfgang Pauli (1921), Karl Bollert (1922), Stjepan Mohorovičić (1922), Georges Lemaître (1924) ), Einstein & Nathan Rosen (1935), Christian Møller (1943, 1952), Fritz Rohrlich (1963), Harry Lass (1963), y en relación con el espaciotiempo plano y curvo de la relatividad general por Wolfgang Rindler (1960, 1966) . Para obtener detalles y fuentes, consulte § Historial .

Características del marco Rindler

Gráfico de Rindler, para en la ecuación ( 1a ), trazado en un diagrama de Minkowski. Las líneas punteadas son los horizontes de Rindler${\ Displaystyle \ alpha = 0.5}$

La línea de mundo de un cuerpo en movimiento hiperbólico que tiene una aceleración adecuada constante en la dirección -como una función del tiempo y la rapidez adecuados puede estar dada por ${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ tau}$ ${\ Displaystyle \ alpha \ tau}$

${\ Displaystyle T = x \ sinh (\ alpha \ tau), \ quad X = x \ cosh (\ alpha \ tau)}$

donde es constante y variable, con la línea de mundo parecida a la hipérbola . Sommerfeld demostró que las ecuaciones se pueden reinterpretar definiéndolas como variables y como constantes, de modo que representen la "forma de reposo" simultánea de un cuerpo en movimiento hiperbólico medido por un observador comovivo. Al usar el tiempo adecuado del observador como el tiempo de todo el marco hiperbólicamente acelerado por configuración , las fórmulas de transformación entre las coordenadas inerciales y las coordenadas hiperbólicas son, en consecuencia: ${\ Displaystyle x = 1 / \ alpha}$${\ Displaystyle \ alpha \ tau}$${\ Displaystyle X ^ {2} -T ^ {2} = x ^ {2}}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ alpha \ tau}$${\ Displaystyle \ tau = t}$

${\ Displaystyle T = x \ sinh (\ alpha t), \ quad X = x \ cosh (\ alpha t), \ quad Y = y, \ quad Z = z}$

( 1a )

con la inversa

${\ Displaystyle t = {\ frac {1} {\ alpha}} \ operatorname {artanh} \ left ({\ frac {T} {X}} \ right), \ quad x = {\ sqrt {X ^ {2 } -T ^ {2}}}, \ quad y = Y, \ quad z = Z}$

Diferenciada e insertada en la métrica de Minkowski , la métrica en el marco hiperbólicamente acelerado sigue ${\ Displaystyle ds ^ {2} = - dT ^ {2} + dX ^ {2} + dY ^ {2} + dZ ^ {2}}$

${\ displaystyle ds ^ {2} = - (\ alpha x) ^ {2} dt ^ {2} + dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2}}$

( 1b )

Estas transformaciones definen al observador de Rindler como un observador que está "en reposo" en las coordenadas de Rindler, es decir, que mantiene constantes x , y , zy sólo varía t a medida que pasa el tiempo. Las coordenadas son válidas en la región , que a menudo se denomina cuña de Rindler , si representa la aceleración adecuada (a lo largo de la hipérbola ) del observador de Rindler cuyo tiempo adecuado se define como igual al tiempo de coordenadas de Rindler. Para mantener esta línea del mundo, el observador debe acelerar con una aceleración adecuada constante, y los observadores de Rindler más cercanos (el horizonte de Rindler ) tienen una mayor aceleración adecuada. Todos los observadores Rindler están instantáneamente en reposo en el tiempo en el marco inercial, y en este momento un observador Rindler con la aceleración adecuada estará en la posición (en realidad , pero asumimos unidades donde ), que es también la distancia constante del observador desde el horizonte Rindler. en coordenadas de Rindler. Si todos los observadores de Rindler ponen sus relojes a cero en , entonces, al definir un sistema de coordenadas de Rindler, tenemos la opción de qué tiempo adecuado del observador de Rindler será igual al tiempo de coordenadas en las coordenadas de Rindler, y la aceleración adecuada de este observador define el valor de arriba ( para otros observadores de Rindler a diferentes distancias del horizonte de Rindler, el tiempo de coordenadas será igual a algún múltiplo constante de su propio tiempo). Es una convención común definir el sistema de coordenadas de Rindler para que el observador de Rindler cuyo tiempo apropiado coincida con el tiempo de coordenadas sea el que tenga la aceleración adecuada , de modo que pueda eliminarse de las ecuaciones. ${\ Displaystyle 0 <X <\ infty, \; - X <T <X}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle x = 1 / \ alpha}$${\ Displaystyle x = 0}$${\ Displaystyle T = 0}$${\ Displaystyle \ alpha _ {i}}$${\ Displaystyle X = 1 / \ alpha _ {i}}$${\ Displaystyle X = c ^ {2} / \ alpha _ {i}}$${\ Displaystyle c = 1}$${\ Displaystyle T = 0}$${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ alpha = 1}$${\ Displaystyle \ alpha}$

La ecuación anterior se ha simplificado para . La ecuación no simplificada es más conveniente para encontrar la distancia del horizonte de Rindler, dada una aceleración . ${\ Displaystyle c = 1}$${\ Displaystyle \ alpha}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} t & = {\ frac {c} {\ alpha}} \ operatorname {artanh} \ left ({\ frac {cT} {X}} \ right) \; {\ overset {X \, \ gg \, cT} {\ approx}} \; {\ frac {c ^ {2} T} {\ alpha X}} \\ X & \ approx {\ frac {c ^ {2} T} {\ alpha t}} \; {\ overset {T \, \ approx \, t} {\ approx}} \; {\ frac {c ^ {2}} {\ alpha}} \ end {alineado}}}$

El resto del artículo seguirá la convención de establecer ambos y , por lo que las unidades para y serán 1 unidad . Tenga en cuenta que la configuración de segundo luz / segundo ² es muy diferente de la configuración de año luz / año ² . Incluso si elegimos unidades donde , la magnitud de la aceleración adecuada dependerá de nuestra elección de unidades: por ejemplo, si usamos unidades de años luz para la distancia, ( o ) y años para el tiempo, ( o ), esto significaría año luz / año ² , igual a aproximadamente 9,5 metros / segundo ² , mientras que si usamos unidades de segundos luz para la distancia, ( o ), y segundos para el tiempo, ( o ), esto significaría segundos luz / segundo ² , o 299 792 458 metros / segundo ² ). ${\ Displaystyle \ alpha = 1}$${\ Displaystyle c = 1}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle x}$${\ displaystyle = c ^ {2} / \ alpha = 1}$${\ Displaystyle \ alpha = 1}$${\ Displaystyle \ alpha = 1}$${\ Displaystyle c = 1}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle \ alpha = 1}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle \ alpha = 1}$

Variantes de fórmulas de transformación

Se da una derivación más general de las fórmulas de transformación, cuando se formula la tétrada de Fermi-Walker correspondiente a partir de la cual se pueden derivar las coordenadas de Fermi o las coordenadas propias. Dependiendo de la elección del origen de estas coordenadas, se puede derivar la métrica, la dilatación del tiempo entre el tiempo en el origen y en el punto , y la velocidad coordinada de la luz (esta velocidad variable de la luz no contradice la relatividad especial, porque solo es un artefacto de las coordenadas aceleradas empleadas, mientras que en coordenadas inerciales permanece constante). En lugar de las coordenadas de Fermi, también se pueden usar coordenadas de radar, que se obtienen determinando la distancia mediante señales de luz (ver sección Nociones de distancia ), por lo que la métrica, la dilatación del tiempo y la velocidad de la luz ya no dependen de las coordenadas, en particular , la velocidad coordinada de la luz sigue siendo idéntica a la velocidad de la luz en marcos inerciales: ${\ displaystyle dt_ {0}}$${\ displaystyle dt}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle | dx | / | dt |}$${\ Displaystyle (c = 1)}$

${\ Displaystyle X}$ a ${\ Displaystyle T = 0}$	Transformación, métrica, dilatación del tiempo y velocidad coordinada de la luz
${\ Displaystyle X = 0}$	Coordenadas de Kottler-Møller
	${\ Displaystyle {\ begin {array} {c | c} {\ begin {alineado} T & = \ left (x + {\ frac {1} {\ alpha}} \ right) \ sinh (\ alpha t) \\ X & = \ left (x + {\ frac {1} {\ alpha}} \ right) \ cosh (\ alpha t) - {\ frac {1} {\ alpha}} \\ Y & = y \\ Z & = z \ end {alineado}} & {\ begin {alineado} t & = {\ frac {1} {\ alpha}} \ operatorname {artanh} \ left ({\ frac {T} {X + {\ frac {1} {\ alpha} }}} \ right) \\ x & = {\ sqrt {\ left (X + {\ frac {1} {\ alpha}} \ right) ^ {2} -T ^ {2}}} - {\ frac {1 } {\ alpha}} \\ y & = Y \\ z & = Z \ end {alineado}} \ end {matriz}}}$ ( 2a ) ${\ displaystyle ds ^ {2} = - (1+ \ alpha x) {} ^ {2} dt ^ {2} + dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2}}$ ( 2b ) ${\ displaystyle dt = (1+ \ alpha x) dt_ {0}, \ qquad {\ frac {| dx |} {| dt |}} = 1+ \ alpha x}$ ( 2c )
	Coordenadas de Rindler
${\ Displaystyle X = {\ frac {1} {\ alpha}}}$	${\ Displaystyle {\ begin {array} {c | c} {\ begin {alineado} T & = x \ sinh (\ alpha t) \\ X & = x \ cosh (\ alpha t) \\ Y & = y \\ Z & = z \ end {alineado}} & {\ begin {alineado} t & = {\ frac {1} {\ alpha}} \ operatorname {artanh} {\ frac {T} {X}} \\ x & = {\ sqrt {X ^ {2} -T ^ {2}}} \\ y & = Y \\ z & = Z \ end {alineado}} \ end {matriz}}}$ ( 2d ) ${\ displaystyle ds ^ {2} = - (\ alpha x) ^ {2} dt ^ {2} + dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2}}$ ( 2e ) ${\ displaystyle dt = \ alpha x \ dt_ {0}, \ qquad {\ frac {| dx |} {| dt |}} = \ alpha x}$ ( 2f )
	Coordenadas de radar (coordenadas de Lass)
${\ Displaystyle X = {\ frac {1} {\ alpha}}}$	${\ Displaystyle {\ begin {array} {c | c} {\ begin {alineado} T & = {\ frac {1} {\ alpha}} e ^ {\ alpha x} \ sinh (\ alpha t) \\ X & = {\ frac {1} {\ alpha}} e ^ {\ alpha x} \ cosh (\ alpha t) \\ Y & = y \\ Z & = z \ end {alineado}} & {\ begin {alineado} t & = {\ frac {1} {\ alpha}} \ operatorname {artanh} {\ frac {T} {X}} \\ x & = {\ frac {1} {2 \ alpha}} \ ln \ left [\ alpha {} ^ {2} \ left (X ^ {2} -T ^ {2} \ right) \ right] \\ y & = Y \\ z & = Z \ end {alineado}} \ end {array}}}$ ( 2 g )
	${\ displaystyle ds ^ {2} = e ^ {2 \ alpha x} \ left (-dt ^ {2} + dx ^ {2} \ right) + dy ^ {2} + dz ^ {2}}$ ( 2h ) ${\ displaystyle dt = e ^ {\ alpha x} dt_ {0}, \ qquad {\ frac {| dx |} {| dt |}} = 1}$ ( 2i )

Los observadores de Rindler

En el nuevo gráfico ( 1a ) con y , es natural tomar el campo coframe ${\ Displaystyle c = 1}$${\ Displaystyle \ alpha = 1}$

${\ Displaystyle d \ sigma ^ {0} = x \, dt, \; \; d \ sigma ^ {1} = dx, \; \; d \ sigma ^ {2} = dy, \; \; d \ sigma ^ {3} = dz}$

que tiene el campo de doble marco

${\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {0} = {\ frac {1} {x}} \ parcial _ {t}, \; \; {\ vec {e}} _ {1} = \ parcial _ {x}, \; \; {\ vec {e}} _ {2} = \ parcial _ {y}, \; \; {\ vec {e}} _ {3} = \ parcial _ {z} }$

Esto define un marco de Lorentz local en el espacio tangente en cada evento (en la región cubierta por nuestro gráfico de Rindler, es decir, la cuña de Rindler). Las curvas integrales del campo de vector unitario en forma de tiempo dan una congruencia en forma de tiempo , que consiste en las líneas del mundo de una familia de observadores llamados observadores de Rindler . En el gráfico de Rindler, estas líneas de mundo aparecen como líneas de coordenadas verticales . Usando la transformación de coordenadas anterior, encontramos que estas corresponden a arcos hiperbólicos en la tabla cartesiana original. ${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {0}}$${\ Displaystyle x = x_ {0}, \; y = y_ {0}, \; z = z_ {0}}$

Algunos observadores representativos de Rindler (arcos hiperbólicos de color azul marino) se representan utilizando la tabla cartesiana. Las líneas rojas a 45 grados de la vertical representan el horizonte de Rindler; el sistema de coordenadas de Rindler solo se define a la derecha de este límite.

Como ocurre con cualquier congruencia temporal en cualquier variedad de Lorentz, esta congruencia tiene una descomposición cinemática (ver la ecuación de Raychaudhuri ). En este caso, la expansión y vorticidad de la congruencia de los observadores de Rindler se desvanecen . La desaparición del tensor de expansión implica que cada uno de nuestros observadores mantiene una distancia constante con sus vecinos . La desaparición del tensor de vorticidad implica que las líneas del mundo de nuestros observadores no se retuercen entre sí; esta es una especie de ausencia local de "remolinos".

El vector de aceleración de cada observador viene dado por la derivada covariante

${\ Displaystyle \ nabla _ {{\ vec {e}} _ {0}} {\ vec {e}} _ {0} = {\ frac {1} {x}} {\ vec {e}} _ { 1}}$

Es decir, cada observador de Rindler acelera en la dirección. Hablando individualmente, cada observador de hecho está acelerando con magnitud constante en esta dirección, por lo que sus líneas de mundo son los análogos de Lorentzian de los círculos, que son las curvas de trayectoria de curvatura constante en la geometría euclidiana. ${\ estilo de visualización \ parcial _ {x}}$

Debido a que los observadores de Rindler no tienen vorticidad , también son ortogonales en la hipersuperficie . Las hiperslices espaciales ortogonales son ; estos aparecen como semiplanos horizontales en el gráfico de Rindler y como semiplanos en el gráfico cartesiano (consulte la figura anterior). Ajuste en el elemento de línea, vemos que estos tienen la geometría euclidiana ordinaria, . Por lo tanto, las coordenadas espaciales en el gráfico de Rindler tienen una interpretación muy simple consistente con la afirmación de que los observadores de Rindler son mutuamente estacionarios. Volveremos a esta propiedad de rigidez de los observadores de Rindler un poco más adelante en este artículo. ${\ Displaystyle t = t_ {0}}$${\ Displaystyle T = X = 0}$${\ displaystyle dt = 0}$${\ Displaystyle d \ sigma ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2}, \; \ forall x> 0, \ forall y, z}$

Una propiedad "paradójica"

Tenga en cuenta que los observadores de Rindler con una coordenada x constante más pequeña están acelerando más para mantenerse al día. Esto puede parecer sorprendente porque en la física newtoniana, los observadores que mantienen una distancia relativa constante deben compartir la misma aceleración. Pero en la física relativista, vemos que el punto final de una barra que es acelerada por alguna fuerza externa (paralela a su eje de simetría) debe acelerar un poco más fuerte que el punto final principal, o de lo contrario debe romperse en última instancia. Esta es una manifestación de la contracción de Lorentz . A medida que la varilla acelera, su velocidad aumenta y su longitud disminuye. Dado que se está acortando, la parte trasera debe acelerar más fuerte que la delantera. Otra forma de verlo es: el back-end debe lograr el mismo cambio de velocidad en un período de tiempo más corto. Esto conduce a una ecuación diferencial que muestra que, a cierta distancia, la aceleración del extremo posterior diverge, lo que da como resultado el horizonte de Rindler .

Este fenómeno es la base de una "paradoja" bien conocida, la paradoja de la nave espacial de Bell . Sin embargo, es una simple consecuencia de la cinemática relativista. Una forma de ver esto es observar que la magnitud del vector de aceleración es solo la curvatura de la trayectoria de la línea del mundo correspondiente. Pero las líneas del mundo de nuestros observadores de Rindler son análogas a una familia de círculos concéntricos en el plano euclidiano, por lo que simplemente estamos tratando con el análogo de Lorentz de un hecho familiar para los patinadores de velocidad: en una familia de círculos concéntricos, los círculos internos deben doblarse. más rápido (por unidad de longitud de arco) que los exteriores .

Observadores de Minkowski

Un observador representativo de Minkowski (curva secante hiperbólica azul marino) representada mediante el gráfico de Rindler. El horizonte de Rindler se muestra en rojo.

Vale la pena introducir también un marco alternativo, dado en el gráfico de Minkowski por la elección natural

${\ Displaystyle {\ vec {f}} _ {0} = \ partial _ {T}, \; {\ vec {f}} _ {1} = \ partial _ {X}, \; {\ vec {f }} _ {2} = \ parcial _ {Y}, \; {\ vec {f}} _ {3} = \ parcial _ {Z}}$

Transformando estos campos vectoriales usando la transformación de coordenadas dada arriba, encontramos que en el gráfico de Rindler (en la cuña de Rinder) este marco se convierte en

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ vec {f}} _ {0} & = {\ frac {1} {x}} \ cosh (t) \, \ partial _ {t} - \ sinh (t ) \, \ parcial _ {x} \\ {\ vec {f}} _ {1} & = - {\ frac {1} {x}} \ sinh (t) \, \ parcial _ {t} + \ cosh (t) \, \ parcial _ {x} \\ {\ vec {f}} _ {2} & = \ parcial _ {y}, \; {\ vec {f}} _ {3} = \ parcial _ {z} \ end {alineado}}}$

Calculando la descomposición cinemática de la congruencia temporal definida por el campo del vector unitario temporal , encontramos que la expansión y la vorticidad desaparecen nuevamente y, además, el vector de aceleración desaparece . En otras palabras, esta es una congruencia geodésica ; los observadores correspondientes están en un estado de movimiento inercial . En la carta cartesiana original, estos observadores, a quienes llamaremos observadores de Minkowski , están en reposo. ${\ Displaystyle {\ vec {f}} _ {0}}$${\ Displaystyle \ nabla _ {{\ vec {f}} _ {0}} {\ vec {f}} _ {0} = 0}$

En el gráfico de Rindler, las líneas del mundo de los observadores de Minkowski aparecen como curvas secantes hiperbólicas asintóticas al plano de coordenadas . Específicamente, en las coordenadas de Rindler, la línea del mundo del observador de Minkowski que pasa por el evento es ${\ Displaystyle x = 0}$${\ Displaystyle t = t_ {0}, \; x = x_ {0}, \; y = y_ {0}, \; z = z_ {0}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} t & = \ operatorname {artanh} \ left ({\ frac {s} {x_ {0}}} \ right), \; - x_ {0} <s <x_ {0} \\ x & = {\ sqrt {x_ {0} ^ {2} -s ^ {2}}}, \; - x_ {0} <s <x_ {0} \\ y & = y_ {0} \\ z & = z_ {0} \ end {alineado}}}$

¿Dónde es el momento adecuado de este observador de Minkowski? Tenga en cuenta que solo una pequeña parte de su historia está cubierta por la tabla de Rindler. Esto muestra explícitamente por qué la carta de Rindler no está completa geodésicamente ; Las geodésicas temporales se ejecutan fuera de la región cubierta por la carta en un tiempo finito adecuado. Por supuesto, ya sabíamos que la carta de Rindler no puede ser geodésicamente completa, porque cubre solo una parte de la carta cartesiana original, que es una carta geodésicamente completa. ${\ Displaystyle s}$

En el caso que se muestra en la figura, y hemos dibujado (correctamente escalado y mejorado) los conos de luz en . ${\ Displaystyle x_ {0} = 1}$${\ Displaystyle s \ in \ left \ {- {\ frac {1} {2}}, \; 0, \; {\ frac {1} {2}} \ right \}}$

El horizonte de Rindler

El gráfico de coordenadas de Rindler tiene una singularidad de coordenadas en x  = 0, donde el tensor métrico (expresado en las coordenadas de Rindler) tiene un determinante de desaparición . Esto sucede porque cuando x  → 0 la aceleración de los observadores de Rindler diverge. Como podemos ver en la figura que ilustra la cuña de Rindler, el lugar geométrico x  = 0 en el gráfico de Rindler corresponde al lugar geométrico T ²  =  X ² ,  X  > 0 en el gráfico cartesiano, que consta de dos semiplanos nulos, cada uno regido por una congruencia geodésica nula.

Por el momento, simplemente consideramos el horizonte de Rindler como el límite de las coordenadas de Rindler. Si consideramos el conjunto de observadores en aceleración que tienen una posición constante en las coordenadas de Rindler, ninguno de ellos puede recibir señales de luz de eventos con T  ≥  X (en el diagrama, estos serían eventos en oa la izquierda de la línea T = X a lo largo del horizonte rojo superior; sin embargo, estos observadores podrían recibir señales de eventos con T  ≥  X si detuvieran su aceleración y cruzaran esta línea ellos mismos) ni podrían haber enviado señales a eventos con T  ≤ - X (eventos en o a la izquierda de la línea T = - X a lo largo de la cual se encuentra el horizonte rojo inferior; esos eventos se encuentran fuera de todos los conos de luz futuros de su línea del mundo pasado). Además, si consideramos a los miembros de este conjunto de observadores en aceleración cada vez más cerca del horizonte, en el límite a medida que la distancia al horizonte se acerca a cero, la aceleración constante propia experimentada por un observador a esta distancia (que también sería la G- fuerza experimentada por tal observador) se acercaría al infinito. Ambos hechos también serían ciertos si estuviéramos considerando un conjunto de observadores flotando fuera del horizonte de eventos de un agujero negro , cada observador flotando en un radio constante en las coordenadas de Schwarzschild . De hecho, en la vecindad cercana de un agujero negro, la geometría cercana al horizonte de eventos se puede describir en coordenadas de Rindler. La radiación de Hawking en el caso de un marco acelerado se denomina radiación de Unruh . La conexión es la equivalencia de la aceleración con la gravitación.

Geodésicas

Las ecuaciones geodésicas en la carta de Rindler se obtienen fácilmente del Lagrangiano geodésico ; son

${\ Displaystyle {\ ddot {t}} + {\ frac {2} {x}} \, {\ dot {x}} \, {\ dot {t}} = 0, \; {\ ddot {x} } + x \, {\ dot {t}} ^ {2} = 0, \; {\ ddot {y}} = 0, \; {\ ddot {z}} = 0}$

Por supuesto, en el gráfico cartesiano original, las geodésicas aparecen como líneas rectas, por lo que podríamos obtenerlas fácilmente en el gráfico de Rindler utilizando nuestra transformación de coordenadas. Sin embargo, es instructivo obtenerlos y estudiarlos independientemente del cuadro original, y lo haremos en esta sección.

Algunas geodésicas nulas representativas (arcos semicirculares hiperbólicos negros) proyectados en el hipereslice espacial t  = 0 de los observadores de Rindler. El horizonte de Rindler se muestra como un plano magenta.

Del primero, tercero y cuarto obtenemos inmediatamente las primeras integrales

${\ Displaystyle {\ dot {t}} = {\ frac {E} {x ^ {2}}}, \; \; {\ dot {y}} = P, \; \; {\ dot {z} } = Q}$

Pero del elemento de línea tenemos where para geodésicas de tipo temporal, nulas y espaciales, respectivamente. Esto da la cuarta primera integral, a saber ${\ Displaystyle \ varepsilon = -x ^ {2} \, {\ dot {t}} ^ {2} + {\ dot {x}} ^ {2} + {\ dot {y}} ^ {2} + {\ dot {z}} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ varepsilon \ in \ left \ {- 1, \, 0, \, 1 \ right \}}$

${\ Displaystyle {\ dot {x}} ^ {2} = \ left (\ varepsilon + {\ frac {E ^ {2}} {x ^ {2}}} \ right) -P ^ {2} -Q ^ {2}}$.

Esto es suficiente para dar la solución completa de las ecuaciones geodésicas.

En el caso de las geodésicas nulas , desde un valor distinto de cero , vemos que la coordenada x se extiende sobre el intervalo . ${\ Displaystyle {\ frac {E ^ {2}} {x ^ {2}}} \, - \, P ^ {2} \, - \, Q ^ {2}}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle 0 \, <\, x \, <\, {\ frac {E} {\ sqrt {P ^ {2} \, + \, Q ^ {2}}}}}$

La familia completa de siete parámetros que da cualquier geodésica nula a través de cualquier evento en la cuña Rindler, es

${\ displaystyle {\ begin {alineado} t-t_ {0} & = \ operatorname {artanh} \ left ({\ frac {1} {E}} \ left [s \ left (P ^ {2} + Q ^) {2} \ right) - {\ sqrt {E ^ {2} - \ left (P ^ {2} + Q ^ {2} \ right) x_ {0} ^ {2}}} \ right] \ right) + \\ & \ qquad \ operatorname {artanh} \ left ({\ frac {1} {E}} {\ sqrt {E ^ {2} - (P ^ {2} + Q ^ {2}) x_ {0 } ^ {2}}} \ right) \\ x & = {\ sqrt {x_ {0} ^ {2} + 2s {\ sqrt {E ^ {2} - (P ^ {2} + Q ^ {2}) ) x_ {0} ^ {2}}} - s ^ {2} (P ^ {2} + Q ^ {2})}} \\ y-y_ {0} & = Ps; \; \; z- z_ {0} = Qs \ end {alineado}}}$

Al trazar las pistas de algunas geodésicas nulas representativas a través de un evento dado (es decir, proyectar a la hipereslice ), obtenemos una imagen que se parece sospechosamente a la familia de todos los semicírculos a través de un punto y ortogonal al horizonte de Rindler (ver la figura). ${\ Displaystyle t = 0}$

La métrica de Fermat

El hecho de que en la carta de Rindler, las proyecciones de geodésicas nulas en cualquier hipereslice espacial para los observadores de Rindler sean simplemente arcos semicirculares, puede verificarse directamente a partir de la solución general que se acaba de dar, pero hay una forma muy sencilla de ver esto. Un espacio-tiempo estático es aquel en el que se puede encontrar un campo vectorial Killing similar al tiempo sin vorticidad . En este caso, tenemos una familia definida de manera única de hiperslices espaciales (idénticas) ortogonales a los correspondientes observadores estáticos (que no necesitan ser observadores inerciales). Esto nos permite definir una nueva métrica en cualquiera de estas hiperslices que está relacionada de manera conforme con la métrica original heredada del espacio-tiempo, pero con la propiedad de que las geodésicas en la nueva métrica (tenga en cuenta que esta es una métrica riemanniana en una triple variedad riemanniana) son precisamente las proyecciones de las geodésicas nulas del espacio-tiempo. Esta nueva métrica se llama métrica de Fermat , y en un espacio-tiempo estático dotado de un gráfico de coordenadas en el que el elemento de línea tiene la forma

${\ Displaystyle ds ^ {2} = g_ {00} \, dt ^ {2} + g_ {jk} \, dx ^ {j} \, dx ^ {k}, \; \; j, \; k \ en \ {1,2,3 \}}$

la métrica de Fermat es simplemente ${\ Displaystyle t = 0}$

${\ Displaystyle d \ rho ^ {2} = {\ frac {1} {- g_ {00}}} \ left (g_ {jk} \, dx ^ {j} \, dx ^ {k} \ right)}$

(donde se entiende que los coeficientes métricos se evalúan en ). ${\ Displaystyle t = 0}$

En el gráfico de Rindler, la traducción similar al tiempo es un campo vectorial de Killing, por lo que este es un espacio-tiempo estático (no es sorprendente, ya que el espacio-tiempo de Minkowski es, por supuesto, una solución de vacío estática de la ecuación de campo de Einstein ). Por lo tanto, podemos escribir inmediatamente la métrica de Fermat para los observadores de Rindler: ${\ estilo de visualización \ parcial _ {t}}$

${\ Displaystyle d \ rho ^ {2} = {\ frac {1} {x ^ {2}}} \ left (dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} \ right), \ ; \; \ para todo x> 0, \; \; \ para todo y, z}$

Pero este es el elemento lineal bien conocido del hiperbólico de tres espacios H ³ en la carta de la mitad superior del espacio . Esto es muy análogo al conocido gráfico del semiplano superior para el plano hiperbólico H ² , que es familiar para generaciones de estudiantes de análisis complejo en relación con problemas de mapeo conforme (y mucho más), y muchos lectores con mentalidad matemática ya saben que las geodésicas de H ² en el modelo del semiplano superior son simplemente semicírculos (ortogonales al círculo en el infinito representado por el eje real).

Simetrías

Dado que el gráfico de Rindler es un gráfico de coordenadas para el espacio-tiempo de Minkowski, esperamos encontrar diez campos vectoriales de Killing linealmente independientes. De hecho, en el gráfico cartesiano podemos encontrar fácilmente diez campos vectoriales de Killing linealmente independientes, que generan respectivamente subgrupos de un parámetro de traslación temporal , tres espaciales, tres rotaciones y tres refuerzos. Juntos, estos generan el grupo de Poincaré (isócrono adecuado), el grupo de simetría del espacio-tiempo de Minkowski.

Sin embargo, es instructivo escribir y resolver las ecuaciones del vector Killing directamente. Obtenemos cuatro campos vectoriales de Killing de aspecto familiar

${\ estilo de exhibición \ parcial _ {t}, \; \; \ parcial _ {y}, \; \; \ parcial _ {z}, \; \; - z \, \ parcial _ {y} + y \, \ parcial _ {z}}$

(traslación temporal, traslaciones espaciales ortogonales a la dirección de aceleración y rotación espacial ortogonal a la dirección de aceleración) más seis más:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ exp (\ pm t) \, \ left ({\ frac {y} {x}} \, \ partial _ {t} \ pm \ left [y \, \ partial _ {x} -x \, \ parcial _ {y} \ derecha] \ derecha) \\ & \ exp (\ pm t) \, \ izquierda ({\ frac {z} {x}} \, \ parcial _ {t} \ pm \ izquierda [z \, \ parcial _ {x} -x \, \ parcial _ {z} \ derecha] \ derecha) \\ & \ exp (\ pm t) \, \ izquierda ({\ frac {1} {x}} \, \ parcial _ {t} \ pm \ parcial _ {x} \ derecha) \ end {alineado}}}$

(donde los signos se eligen consistentemente + o -). Lo dejamos como ejercicio para averiguar cómo se relacionan estos con los generadores estándar; aquí deseamos señalar que debemos poder obtener generadores equivalentes a en la carta cartesiana, sin embargo, la cuña de Rindler obviamente no es invariante bajo esta traducción. ¿Cómo puede ser esto? La respuesta es que, como cualquier cosa definida por un sistema de ecuaciones diferenciales parciales en una variedad suave, la ecuación de Killing tendrá, en general, soluciones definidas localmente, pero es posible que estas no existan globalmente. Es decir, con las restricciones adecuadas en el parámetro de grupo, un flujo de Killing siempre se puede definir en un vecindario local adecuado , pero es posible que el flujo no esté bien definido a nivel mundial . Esto no tiene nada que ver con las variedades de Lorentz en sí, ya que el mismo problema surge en el estudio de las variedades suaves generales . ${\ estilo de visualización \ parcial _ {T}}$

Nociones de distancia

Una de las muchas lecciones valiosas que se pueden aprender del estudio de la carta de Rindler es que, de hecho, existen varias nociones distintas (pero razonables) de distancia que pueden ser utilizadas por los observadores de Rindler.

Significado operativo de la distancia del radar entre dos observadores Rindler (líneas verticales azul marino). El horizonte de Rindler se muestra a la izquierda (línea vertical roja). También se representa la línea mundial del pulso del radar, junto con los conos de luz (correctamente escalados) en los eventos A, B, C.

El primero es el que hemos empleado tácitamente anteriormente: la métrica inducida de Riemann en las hiperslices espaciales . A esto lo llamaremos distancia de la regla, ya que corresponde a esta métrica inducida de Riemann, pero su significado operativo podría no ser evidente de inmediato. ${\ Displaystyle t = t_ {0}}$

Desde el punto de vista de la medición física, una noción más natural de la distancia entre dos líneas del mundo es la distancia del radar . Esto se calcula enviando una geodésica nula desde la línea del mundo de nuestro observador (evento A) a la línea del mundo de algún objeto pequeño, después de lo cual se refleja (evento B) y regresa al observador (evento C). La distancia del radar se obtiene dividiendo el tiempo de viaje de ida y vuelta, medido por un reloj ideal que lleva nuestro observador.

(En el espacio-tiempo de Minkowski, afortunadamente, podemos ignorar la posibilidad de múltiples trayectorias geodésicas nulas entre dos líneas de mundo, pero en los modelos cosmológicos y otras aplicaciones las cosas no son tan simples. También debemos advertir contra la suposición de que esta noción de distancia entre dos observadores da una noción que es simétrica al intercambiar los observadores.)

En particular, considere un par de observadores Rindler con coordenadas y respectivamente. (Tenga en cuenta que el primero de ellos, el observador que se arrastra, acelera un poco más para mantenerse al día con el observador que va adelante). Estableciendo el elemento de línea de Rindler, obtenemos fácilmente la ecuación de geodésicas nulas que se mueven en la dirección de aceleración: ${\ Displaystyle x = x_ {0}, \; y = 0, \; z = 0}$${\ Displaystyle x = x_ {0} + h, \; y = 0, \; z = 0}$${\ Displaystyle dy = dz = 0}$

${\ Displaystyle t-t_ {0} = \ log \ left ({\ frac {x} {x_ {0}}} \ right)}$

Por lo tanto, la distancia de radar entre estos dos observadores viene dada por

${\ Displaystyle x_ {0} \, \ log \ left (1 + {\ frac {h} {x_ {0}}} \ right) = h - {\ frac {h ^ {2}} {2 \, x_ {0}}} + O \ left (h ^ {3} \ right)}$

Esto es un poco más pequeño que la distancia de la regla, pero para los observadores cercanos la discrepancia es insignificante.

Una tercera noción posible de distancia es la siguiente: nuestro observador mide el ángulo subtendido por un disco unitario colocado sobre algún objeto (no un objeto puntual), tal como aparece desde su ubicación. A esto lo llamamos la distancia del diámetro óptico . Debido al carácter simple de las geodésicas nulas en el espacio-tiempo de Minkowski, podemos determinar fácilmente la distancia óptica entre nuestro par de observadores Rindler (alineados con la dirección de aceleración). A partir de un boceto, debería ser plausible que la distancia del diámetro óptico escale como . Por lo tanto, en el caso de un observador posterior que estima la distancia a un observador líder (el caso ), la distancia óptica es un poco mayor que la distancia de la regla, que es un poco mayor que la distancia del radar. El lector debería ahora tomarse un momento para considerar el caso de un observador principal que estima la distancia a un observador posterior. ${\ textstyle h + {\ frac {1} {x_ {0}}} + O \ left (h ^ {3} \ right)}$${\ Displaystyle h> 0}$

Hay otras nociones de distancia, pero el punto principal es claro: mientras que los valores de estas diversas nociones en general no estarán de acuerdo para un par dado de observadores Rindler, todos están de acuerdo en que cada par de observadores Rindler mantiene una distancia constante . El hecho de que los observadores de Rindler muy cercanos sean mutuamente estacionarios se deriva del hecho, señalado anteriormente, de que el tensor de expansión de la congruencia de Rindler se desvanece de manera idéntica. Sin embargo, hemos demostrado aquí que, en varios sentidos, esta propiedad de rigidez se mantiene a escalas mayores. Esta es realmente una propiedad de rigidez notable, dado el hecho bien conocido de que en la física relativista, ninguna barra puede acelerarse rígidamente (y ningún disco puede girar rígidamente ), al menos, no sin soportar tensiones no homogéneas. La forma más fácil de ver esto es observar que en la física newtoniana, si "pateamos" un cuerpo rígido, todos los elementos de la materia en el cuerpo cambiarán inmediatamente su estado de movimiento. Por supuesto, esto es incompatible con el principio relativista de que ninguna información que tenga un efecto físico puede transmitirse más rápido que la velocidad de la luz.

De ello se deduce que si una barra es acelerada por alguna fuerza externa aplicada en cualquier lugar a lo largo de su longitud, los elementos de materia en varios lugares diferentes de la barra no pueden sentir la misma magnitud de aceleración si la barra no debe extenderse sin saltarse y finalmente romperse. En otras palabras, una barra acelerada que no se rompe debe soportar tensiones que varían a lo largo de su longitud. Además, en cualquier experimento mental con fuerzas variables en el tiempo, ya sea que "pateemos" un objeto o intentemos acelerarlo gradualmente, no podemos evitar el problema de evitar los modelos mecánicos que son incompatibles con la cinemática relativista (porque las partes distantes del cuerpo responden demasiado rápido a una fuerza aplicada).

Volviendo a la cuestión del significado operativo de la distancia de la regla, vemos que esta debería ser la distancia que obtendrán nuestros observadores si pasan muy lentamente de mano en mano una pequeña regla que se coloca repetidamente de un extremo a otro. Pero justificar esta interpretación en detalle requeriría algún tipo de modelo material.

Generalización a espaciotiempo curvo

Las coordenadas de Rindler descritas anteriormente se pueden generalizar al espacio-tiempo curvo, como coordenadas normales de Fermi . La generalización esencial implica construir una tétrada ortonormal apropiada y luego transportarla a lo largo de la trayectoria dada usando la regla de transporte de Fermi-Walker . Para obtener más información, consulte el artículo de Ni y Zimmermann en las referencias a continuación. Tal generalización realmente permite a uno estudiar los efectos inerciales y gravitacionales en un laboratorio terrestre, así como los efectos inercial-gravitacionales acoplados más interesantes.

Historia

Visión general

Coordenadas de Kottler – Møller y Rindler

Albert Einstein (1907) estudió los efectos dentro de un marco uniformemente acelerado, obteniendo ecuaciones para la dilatación del tiempo dependiente de las coordenadas y la velocidad de la luz equivalentes a ( 2c ), y para independizar las fórmulas del origen del observador, obtuvo la dilatación del tiempo ( 2i ) en acuerdo formal con las coordenadas del radar. Al introducir el concepto de rigidez de Born , Max Born (1909) señaló que las fórmulas para el movimiento hiperbólico se pueden utilizar como transformaciones en un "sistema de referencia hiperbólicamente acelerado" ( alemán : hyperbolisch beschleunigtes Bezugsystem ) equivalente a ( 2d ). El trabajo de Born fue elaborado por Arnold Sommerfeld (1910) y Max von Laue (1911) quienes obtuvieron ( 2d ) usando números imaginarios , que fue resumido por Wolfgang Pauli (1921) quien además de las coordenadas ( 2d ) también obtuvo la métrica ( 2e ) usando números imaginarios. Einstein (1912) estudió un campo gravitacional estático y obtuvo la métrica de Kottler-Møller ( 2b ), así como aproximaciones a las fórmulas ( 2a ) utilizando una velocidad de la luz dependiente de las coordenadas. Hendrik Lorentz (1913) obtuvo coordenadas similares a ( 2d , 2e , 2f ) mientras estudiaba el principio de equivalencia de Einstein y el campo gravitacional uniforme.

Friedrich Kottler (1914) dio una descripción detallada , quien formuló la tétrada ortonormal correspondiente , las fórmulas de transformación y la métrica ( 2a , 2b ). También Karl Bollert (1922) obtuvo la métrica ( 2b ) en su estudio de aceleración uniforme y campos gravitacionales uniformes. En un artículo sobre la rigidez de Born, Georges Lemaître (1924) obtuvo coordenadas y métricas ( 2a , 2b ). Albert Einstein y Nathan Rosen (1935) describieron ( 2d , 2e ) como las expresiones "bien conocidas" para un campo gravitacional homogéneo. Después de que Christian Møller (1943) obtuviera ( 2a , 2b ) en un estudio relacionado con campos gravitacionales homogéneos, él (1952) y Misner & Thorne & Wheeler (1973) utilizaron el transporte de Fermi-Walker para obtener las mismas ecuaciones.

Si bien estas investigaciones estaban relacionadas con el espacio-tiempo plano, Wolfgang Rindler (1960) analizó el movimiento hiperbólico en el espacio-tiempo curvo y mostró (1966) la analogía entre las coordenadas hiperbólicas ( 2d , 2e ) en el espacio-tiempo plano con las coordenadas de Kruskal en el espacio de Schwarzschild . Esto influyó en los escritores posteriores en su formulación de la radiación de Unruh medida por un observador en movimiento hiperbólico, que es similar a la descripción de la radiación de Hawking de los agujeros negros .

Horizonte

Born (1909) mostró que los puntos internos de un cuerpo rígido de Born en movimiento hiperbólico solo pueden estar en la región . Sommerfeld (1910) definió que las coordenadas permitidas para la transformación entre coordenadas inerciales e hiperbólicas deben satisfacer . Kottler (1914) definió esta región como , y señaló la existencia de un "plano fronterizo" ( alemán : Grenzebene ) , más allá del cual ninguna señal puede llegar al observador en movimiento hiperbólico. Esto fue llamado el "horizonte del observador" ( alemán : Horizont des Beobachters ) por Bollert (1922). Rindler (1966) demostró la relación entre dicho horizonte y el horizonte en coordenadas de Kruskal. ${\ Displaystyle X / \ left (X ^ {2} -T ^ {2} \ right)> 0}$${\ Displaystyle T <X}$${\ Displaystyle X ^ {2} -T ^ {2}> 0}$${\ Displaystyle c ^ {2} / \ alpha + x}$

Coordenadas de radar

Utilizando el formalismo de Bollert, Stjepan Mohorovičić (1922) hizo una elección diferente para algún parámetro y obtuvo la métrica ( 2h ) con un error de impresión, que fue corregido por Bollert (1922b) con otro error de impresión, hasta que Mohorovičić dio una versión sin error de impresión. (1923). Además, Mohorovičić argumentó erróneamente que la métrica ( 2b , ahora llamada métrica de Kottler-Møller) es incorrecta, lo que fue refutado por Bollert (1922). La métrica ( 2h ) fue redescubierta por Harry Lass (1963), quien también dio las coordenadas correspondientes ( 2g ) que a veces se denominan "coordenadas de Lass". La métrica ( 2h ), así como ( 2a , 2b ), también fue derivada por Fritz Rohrlich (1963). Finalmente, las coordenadas de Lass ( 2g , 2h ) fueron identificadas con coordenadas de radar por Desloge & Philpott (1987).

Tabla con fórmulas históricas

Einstein (1907) ${\ Displaystyle {\ scriptstyle {\ begin {matrix} \ sigma = \ tau \ left (1 + {\ frac {\ gamma \ xi} {c ^ {2}}} \ right) \\\ sigma = \ tau e ^ {\ gamma \ xi / c ^ {2}} \\ c \ left (1 + {\ frac {\ gamma \ xi} {c ^ {2}}} \ right) \ end {matriz}}}}$ Nacido (1909) ${\ Displaystyle {\ scriptstyle {\ begin {matriz} x = -q \ xi, \ y = \ eta, \ z = \ zeta, \ t = {\ frac {p} {c ^ {2}}} \ xi \\\ izquierda (p = x _ {\ tau}, \ q = -t _ {\ tau} = {\ sqrt {1 + p ^ {2} / c ^ {2}}} \ right) \\ {\ boldsymbol {\ flecha abajo}} \\ x ^ {2} -c ^ {2} t ^ {2} = \ xi ^ {2} \ end {matriz}}}}$ Herglotz (1909) ${\ Displaystyle {\ scriptstyle {\ begin {matrix} {\ begin {alineado} x & = x '\\ y & = y' \\ tz & = (t'-z ') e ^ {\ vartheta} \\ t + z & = (t '+ z') e ^ {- \ vartheta} \ end {alineado}} \\ {\ boldsymbol {\ flecha hacia abajo}} \\ x = x_ {0}, \ quad y = y_ {0}, \ quad z = {\ sqrt {z_ {0} ^ {2} + t ^ {2}}} \ end {matrix}}}}$ Sommerfeld (1910) ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ begin {alineado} x & = r \ cos \ varphi \\ y & = y '\\ z & = z' \\ l & = r \ sin \ varphi \\\ varphi & = i \ psi, \ l = ict \ end {alineado}}}$ von Laue (1911) ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ begin {alineado} X & = R \ cos \ varphi \\ L & = R \ sin \ varphi \\ R ^ {2} & = X ^ {2} + L ^ {2} \\\ bronceado \ varphi & = {\ frac {L} {X}} \ end {alineado}}}$ Einstein (1912) ${\ Displaystyle {\ scriptstyle {\ begin {matrix} d \ xi ^ {2} -d \ tau ^ {2} = dx ^ {2} -c ^ {2} dt ^ {2} \\ {\ boldsymbol { \ flecha abajo}} \\ c = c_ {0} + ax \\ {\ boldsymbol {\ flecha abajo}} \\ {\ begin {alineado} \ xi & = x + {\ frac {ac} {2}} t ^ { 2} \\\ eta & = y \\\ zeta & = z \\\ tau & = ct \ end {alineado}} \ end {matriz}}}}$ Kottler (1912) ${\ displaystyle {\ scriptstyle {\ begin {alineado} x ^ {(1)} & = x_ {0} ^ {(1)} \\ x ^ {(2)} & = x_ {0} ^ {(2) )} \\ x ^ {(3)} & = b \ cos i \ varphi \\ x ^ {(4)} & = b \ sin i \ varphi \ end {alineado}}}}$ Lorentz (1913) ${\ displaystyle {\ scriptstyle {\ begin {matrix} dc = {\ frac {g} {c}} dz \\\ hline {\ begin {alineado} z & = a \ left (z'-z_ {0} ^ { \ prime} \ right) \\ ct & = b \ left (z'-z_ {0} ^ {\ prime} \ right) \\ a & = {\ frac {1} {2}} \ left (e ^ {kt '} + e ^ {- kt} \ right) \\ b & = {\ frac {1} {2}} \ left (e ^ {kt'} - e ^ {- kt} \ right) \ end {alineado} } \\ {\ boldsymbol {\ downarrow}} \\ c '= k \ left (z'-z_ {0} ^ {\ prime} \ right), \ z'-z_ {0} ^ {\ prime} = {\ frac {c ^ {2}} {g}} \\ {\ boldsymbol {\ flecha hacia abajo}} \\ {\ begin {alineado} & dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} - c ^ {2} dt \\ & = dx ^ {\ prime 2} + dy ^ {\ prime 2} + dz ^ {\ prime 2} -c ^ {\ prime 2} dt ^ {\ prime 2} \ end {alineado}} \ end {matriz}}}}$

Kottler (1914a) ${\ displaystyle {\ scriptstyle {\ begin {matrix} {\ begin {alineado} x ^ {(1)} & = x_ {0} ^ {(1)} \\ x ^ {(2)} & = x_ { 0} ^ {(2)} \\ x ^ {(3)} & = b \ cos iu \\ x ^ {(4)} & = b \ sin iu \ end {alineado}} \\ {\ boldsymbol { \ flecha abajo}} \\ ds ^ {2} = - c ^ {2} d \ tau ^ {2} = b ^ {2} (du) ^ {2} \\ {\ boldsymbol {\ flecha abajo}} \\ {\ begin {matrix} c_ {1} ^ {(1)} = 0, && c_ {1} ^ {(2)} = 0, && c_ {1} ^ {(3)} = - \ sin iu, && c_ { 1} ^ {(4)} = \ cos iu, \\ c_ {2} ^ {(1)} = 0, && c_ {2} ^ {(2)} = 0, && c_ {2} ^ {(3) } = - \ cos iu, && c_ {2} ^ {(4)} = - \ sin iu, \ end {matriz}} \\ {\ boldsymbol {\ flecha hacia abajo}} \\ dS ^ {2} = (dX ' ) ^ {2} + (dY ') ^ {2} + (dZ') ^ {2} - \ left (c + {\ frac {Z'c} {b}} \ right) ^ {2} dT '\ \ {\ boldsymbol {\ flecha abajo}} \\ c '= c + {\ frac {Z'c ^ {2}} {b}} \ cdot {\ frac {1} {c}} \ end {matriz}}} }$ Kottler (1914b) ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ begin {matrix} {\ begin {matrix} c_ {1} ^ {(1)} = 0, && c_ {1} ^ {(2)} = 0, && c_ {1} ^ {( 3)} = {\ frac {1} {i}} \ sinh u, && c_ {1} ^ {(4)} = \ cosh u, \\ c_ {2} ^ {(1)} = 0, && c_ { 2} ^ {(2)} = 0, && c_ {2} ^ {(3)} = {\ frac {1} {i}} \ cosh u, && c_ {2} ^ {(4)} = - \ sinh u, \\ c_ {3} ^ {(1)} = 1, && c_ {3} ^ {(2)} = 0, && c_ {3} ^ {(3)} = 0, && c_ {3} ^ {( 4)} = 0, \\ c_ {4} ^ {(1)} = 0, && c_ {4} ^ {(2)} = 1, && c_ {4} ^ {(3)} = 0, && c_ {4 } ^ {(4)} = 0, \ end {matriz}} \\ {\ boldsymbol {\ flecha hacia abajo}} \\ X = x + \ Delta ^ {(2)} c_ {2} + \ Delta ^ {(3 )} c_ {3} + \ Delta ^ {(4)} c_ {4} \\ {\ boldsymbol {\ flecha hacia abajo}} \\ {\ begin {alineado} X & = x_ {0} + {\ mathfrak {X} } '\\ Y & = y_ {0} + {\ mathfrak {Y}}' \\ Z & = \ left (b + {\ mathfrak {Z}} '\ right) \ cosh {\ mathfrak {u}} \\ cT & = \ left (b + {\ mathfrak {Z}} '\ right) \ sinh {\ mathfrak {u}} \ end {alineado}} \\\ left (\ Delta ^ {(2)} = {\ mathfrak {X }} ', \ \ Delta ^ {(3)} = {\ mathfrak {Y}}', \ \ Delta ^ {(4)} = {\ mathfrak {Z}} '\ right) \\ {\ boldsymbol { \ flecha hacia abajo}} \\ {\ begin {alineado} {\ mathfrak {X}} '& = X_ {0} -x_ {0} + q_ {x} T \\ {\ mathfrak {Y}}' & = Y_ {0} -y_ {0} + q_ {y} T \\ b + {\ mathfrak {Z}} '& = {\ sqrt {\ left (Z_ {0} + q_ {x} T \ right) ^ {2 } -c ^ {2} T ^ {2}} } \\ c {\ mathfrak {T}} '& = b \ operatorname {artanh} {\ frac {cT} {Z_ {0} + q_ {x} T}} \ end {alineado}} \\\ izquierda ( X = X_ {0} + q_ {x} T, \ Y = Y_ {0} + q_ {y} T, \ Z = Z_ {0} + q_ {x} T \ right) \\ {\ boldsymbol {\ flecha hacia abajo}} \\ dS ^ {2} = (d {\ mathfrak {X}} ') ^ {2} + (d {\ mathfrak {Y}}') ^ {2} + (d {\ mathfrak {Z }} ') ^ {2} -c ^ {2} \ left ({\ frac {b + {\ mathfrak {Z}}'} {b ^ {2}}} \ right) ^ {2} (d {\ mathfrak {T}} ') ^ {2} \ end {matriz}}}$ Kottler (1916, 1918) ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ begin {matrix} {\ begin {alineado} x & = x '\\ y & = y' \\ {\ frac {c ^ {2}} {\ gamma}} + z & = \ left ( {\ frac {c ^ {2}} {\ gamma}} + z '\ right) \ cosh {\ frac {\ gamma t'} {c}} \\ ct & = \ left ({\ frac {c ^ { 2}} {\ gamma}} + z '\ right) \ sinh {\ frac {\ gamma t'} {c}} \ end {alineado}} \\ {\ boldsymbol {\ downarrow}} \\ ds ^ { 2} = dx ^ {\ prime 2} + dy ^ {\ prime 2} + dz ^ {\ prime 2} - \ left (c + {\ frac {\ gamma} {c}} z '\ right) {} ^ {2} dt ^ {\ prime 2} \ end {matriz}}}$

Pauli (1921) ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ begin {matrix} {\ begin {alineado} x ^ {1} & = \ varrho \ cos \ varphi \\ x ^ {4} & = \ varrho \ sin \ varphi \ end {alineado} } \\ {\ boldsymbol {\ flecha abajo}} \\ ds ^ {2} = \ left (d \ xi ^ {1} \ right) ^ {2} + \ left (d \ xi ^ {2} \ right) ^ {2} + \ left (d \ xi ^ {3} \ right) ^ {2} + \ left (\ xi ^ {1} \ right) ^ {2} \ left (d \ xi ^ {4} \ derecha) ^ {2} \\\ izquierda (\ xi ^ {(1)} = \ varrho, \ \ xi ^ {(2)} = x ^ {(2)}, \ \ xi ^ {(3)} = x ^ {(3)}, \ \ xi ^ {(4)} = \ varphi \ right) \ end {matriz}}}$ Bollert (1922) ${\ displaystyle {\ scriptstyle {\ begin {matrix} ds ^ {2} = c ^ {2} \ left (1 + {\ frac {\ gamma _ {0} x} {c ^ {2}}} \ right ) d \ tau ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} \\\ hline ds ^ {2} = g_ {44} dx_ {4} ^ {2} + g_ {11} dx_ {1} ^ {2} + g_ {22} \ left (dx_ {2} ^ {2} + dx_ {3} ^ {2} \ right) \\ {\ boldsymbol {\ downarrow}} \ \ V '' - {\ frac {g_ {11}} {2g_ {11}}} V '= 0 \\\ izquierda (g_ {22} = - 1, \ g_ {11} = - 1, \ V' '= 0, \ V = ax + b \ right) \\ {\ boldsymbol {\ downarrow}} \\ ds ^ {2} = dx_ {4} ^ {2} (ax + b) ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} \ end {matriz}}}}$ Mohorovičić (1922, 1923); Bollert (1922b) ${\ displaystyle {\ scriptstyle {\ begin {matrix} {\ text {Mohorovičić (1922):}} \\ g_ {11} = g_ {44} = V ^ {2}, \ VV '' - V '^ { 2} = 0, \ V \ left (x_ {1} \ right) = e ^ {ax_ {1}} \\ {\ boldsymbol {\ downarrow}} \\ ds ^ {2} = e ^ {2a} \ izquierda (-dx_ {4} ^ {2} + dx_ {1} ^ {2} \ right) + dx_ {2} ^ {2} + dx_ {3} ^ {2} \\\\ {\ text {corregido por Bollert (1922b):}} \\ ds ^ {2} = e ^ {2ax} \ left (-dx_ {4} ^ {2} + dx_ {1} ^ {2} \ right) + dx_ {2} ^ {2} + dx_ {3} ^ {2} \\\\ {\ text {corrección final de Mohorovičić (1923):}} \\ ds ^ {2} = e ^ {2ax_ {1}} \ left ( -dx_ {4} ^ {2} + dx_ {1} ^ {2} \ right) + dx_ {2} ^ {2} + dx_ {3} ^ {2} \ end {matrix}}}}$ Lemaître (1924) ${\ displaystyle {\ scriptstyle {\ begin {matriz} {\ begin {alineado} 1 + g \ xi = & (1 + gx) \ cosh gt \\ g \ tau = & (1 + gx) \ sinh gt \ end {alineado}} \\ {\ boldsymbol {\ flecha abajo}} \\ ds ^ {2} = - dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} + (1 + gx) ^ {2} dt ^ {2} \ end {matriz}}}}$ Einstein y Rosen (1935) ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ begin {matrix} {\ begin {alineado} \ xi _ {1} & = x_ {1} \ cosh \ alpha x_ {4} \\\ xi _ {2} & = x_ {2 } \\\ xi _ {3} & = x_ {3} \\\ xi _ {4} & = x_ {1} \ sinh \ alpha x_ {4} \ end {alineado}} \\ {\ boldsymbol {\ flecha hacia abajo}} \\ ds ^ {2} = - dx_ {1} ^ {2} -dx_ {2} ^ {2} -dx_ {3} ^ {2} + \ alpha {} ^ {2} x_ {1 } ^ {2} dx_ {4} ^ {2} \ end {matriz}}}$ Møller (1952) ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ begin {matrix} \ alpha _ {ik} = \ left ({\ begin {matrix} U_ {4} / ic & 0 & 0 & iU_ {1} / c \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ U_ {1} " / ic & 0 & 0 & U_ {4} / ic \ end {matrix}} \ right) \\ U_ {i} = \ left (c \ sinh {\ frac {g \ tau} {c}}, \ 0,0, \ ig \ cosh {\ frac {g \ tau} {c}} \ right) \\ {\ boldsymbol {\ downarrow}} \\ X_ {i} = \ mathbf {f} _ {i} (t) + x ^ {\ primo \ kappa} \ alpha _ {\ kappa i} (\ tau) \\ {\ boldsymbol {\ flecha abajo}} \\ {\ begin {alineado} X & = {\ frac {c ^ {2}} {g}} \ left (\ cosh {\ frac {gt} {c}} - 1 \ right) + x \ cosh {\ frac {gt} {c}} \\ Y & = y \\ Z & = z \\ T & = {\ frac {c} {g}} \ sinh {\ frac {gt} {c}} + x {\ frac {\ sinh {\ frac {gt} {c}}} {c}} \ end {alineado}} \ \ {\ boldsymbol {\ flecha abajo}} \\ ds ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} -c ^ {2} dt ^ {2} \ left (1+ gx / c ^ {2} \ right) ^ {2} \\\\\ end {matriz}}}$

Ver también

• La paradoja de la nave espacial de Bell , para un tema a veces controvertido que a menudo se estudia utilizando coordenadas de Rindler.
• Coordenadas nacidas , para otro importante sistema de coordenadas adaptado al movimiento de ciertos observadores acelerados en el espacio-tiempo de Minkowski .
• Congruencia (relatividad general)
• Paradoja de Ehrenfest , para un tema a veces controvertido que a menudo se estudia utilizando coordenadas de Born.
• Campos de marco en la relatividad general
• Recursos de relatividad general
• Modelo milne
• Ecuación de Raychaudhuri
• Efecto unruh

Referencias