Coordenadas nacidas - Born coordinates

Geometría espacio-temporal de coordenadas de Born. Las líneas rojas ( | ) son líneas de mundo (congruencia) de puntos en el disco (con r = z = ϕ = const.). Las franjas azules y grises entrelazadas muestran el cambio de t (franjas de simultaneidad). Las curvas naranjas ( / \ ) son curvas similares a la luz (geodésicas nulas) con r fija .

En física relativista , el gráfico de coordenadas de Born es un gráfico de coordenadas para (parte del) espacio-tiempo de Minkowski , el espacio-tiempo plano de la relatividad especial . A menudo se utiliza para analizar la experiencia física de los observadores que viajan en un anillo o disco que gira rígidamente a velocidades relativistas , los llamados observadores de Langevin . Este gráfico a menudo se atribuye a Max Born , debido a su trabajo de 1909 sobre la física relativista de un cuerpo en rotación. Para obtener una descripción general de la aplicación de aceleraciones en el espacio-tiempo plano, consulte Aceleración (relatividad especial) y marco de referencia adecuado (espacio-tiempo plano) .

A partir de la experiencia de escenarios inerciales (es decir, mediciones en marcos inerciales), los observadores de Langevin sincronizan sus relojes por la convención estándar de Einstein o por sincronización lenta de reloj , respectivamente (ambas sincronizaciones internas). Para un cierto observador de Langevin, este método funciona perfectamente. Dentro de sus inmediaciones los relojes están sincronizados y la luz se propaga de forma isotrópica en el espacio. Pero la experiencia cuando los observadores intentan sincronizar sus relojes a lo largo de un camino cerrado en el espacio es desconcertante: siempre hay al menos dos relojes vecinos que tienen diferentes horas. Para remediar la situación, los observadores acuerdan un procedimiento de sincronización externo (tiempo de coordenadas t - o para los observadores que viajan en anillo, un tiempo de coordenadas adecuado para un radio fijo r ). Con este acuerdo, los observadores de Langevin que viajan sobre un disco que gira rígidamente concluirán a partir de las mediciones de pequeñas distancias entre ellos que la geometría del disco no es euclidiana. Independientemente del método que utilicen, concluirán que la geometría está bien aproximada por una determinada métrica de Riemann , a saber, la métrica de Langevin-Landau-Lifschitz. Esto a su vez está muy bien aproximado por la geometría del plano hiperbólico (con las curvaturas negativas -3  ω ² y -3  ω ²  r ² , respectivamente). Pero si estos observadores miden distancias mayores, obtendrán resultados diferentes , dependiendo del método de medición que utilicen. En todos estos casos, sin embargo, lo más probable es que obtengan resultados que sean inconsistentes con cualquier métrica de Riemann . En particular, si utilizan la noción más simple de distancia, la distancia de radar, debido a varios efectos como la asimetría ya señalada, concluirán que la "geometría" del disco no es sólo no euclidiana, es no riemanniana.

El disco giratorio no es una paradoja . Sea cual sea el método que utilicen los observadores para analizar la situación: al final se encuentran analizando un disco giratorio y no un marco inercial.

Observadores de Langevin en el gráfico cilíndrico

Para motivar la carta de Born, primero consideramos la familia de observadores de Langevin representada en una carta de coordenadas cilíndrica ordinaria para el espacio-tiempo de Minkowski. Las líneas del mundo de estos observadores forman una congruencia temporal que es rígida en el sentido de tener un tensor de expansión que se desvanece. Representan observadores que giran rígidamente alrededor de un eje de simetría cilíndrica.

Fig. 1: Parte de la línea del mundo helicoidal de un observador típico de Langevin (curva roja), representada en el gráfico cilíndrico, con algunos conos de luz apuntando futuros (oro) con los vectores de cuadro asignados por el cuadro de Langevin (barras negras). En esta figura, la coordenada Z no es esencial y se ha suprimido. El cilindro blanco muestra un lugar geométrico de radio constante; la línea discontinua verde representa el eje de simetría R = 0. La curva azul es una curva integral del vector unitario azimutal .${\ Displaystyle {\ vec {p}} _ {3}}$

Desde el elemento de línea

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ mathrm {d} s ^ {2} = - \ mathrm {d} T ^ {2} + \ mathrm {d} Z ^ {2} + \ mathrm {d} R ^ {2} + R ^ {2} \, \ mathrm {d} \ Phi ^ {2}, \; \; \\ & - \ infty <T, \, Z <\ infty, \; 0 <R < \ infty, \; - \ pi <\ Phi <\ pi \ end {alineado}}}$

podemos leer inmediatamente un campo de cuadro que representa los cuadros de Lorentz locales de observadores estacionarios (inerciales)

${\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {0} = \ parcial _ {T}, \; \; {\ vec {e}} _ {1} = \ parcial _ {Z}, \; \; { \ vec {e}} _ {2} = \ parcial _ {R}, \; \; {\ vec {e}} _ {3} = {\ frac {1} {R}} \, \ parcial _ { \ Phi}}$

Aquí, es un campo de vector unitario similar al tiempo , mientras que los otros son campos de vector unitario similar al espacio ; en cada evento, los cuatro son mutuamente ortogonales y determinan el marco de Lorentz infinitesimal del observador estático cuya línea de mundo pasa a través de ese evento. ${\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {0}}$

Al impulsar simultáneamente estos campos de cuadro en la dirección, obtenemos el campo de cuadro deseado que describe la experiencia física de los observadores de Langevin, a saber ${\ Displaystyle {\ vec {e}} _ {3}}$

${\ Displaystyle {\ vec {p}} _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, R ^ {2}}}} \, \ partial _ {T } + {\ frac {\ omega \, R} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, R ^ {2}}}} \; {\ frac {1} {R}} \ parcial _ { \ Phi}}$

${\ Displaystyle {\ vec {p}} _ {1} = \ partial _ {Z}, \; \; {\ vec {p}} _ {2} = \ partial _ {R}}$

${\ Displaystyle {\ vec {p}} _ {3} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, R ^ {2}}}} \; {\ frac {1 } {R}} \, \ parcial _ {\ Phi} + {\ frac {\ omega \, R} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, R ^ {2}}}} \, \ parcial _ {T}}$

Este marco aparentemente fue introducido por primera vez (implícitamente) por Paul Langevin en 1935; ¡su primer uso explícito parece haber sido por TA Weber, tan recientemente como 1997! Se define en la región 0 <R <1 / ω; esta limitación es fundamental, ya que cerca del límite exterior, la velocidad de los observadores de Langevin se acerca a la velocidad de la luz.

Fig. 2: Esta figura muestra las líneas del mundo de un observador Langevin fiducial (curva roja) y sus vecinos más cercanos (curvas azul marino discontinuas). Muestra un cuarto de una órbita por parte del observador fiducial alrededor del eje de simetría (línea verde vertical).

Cada curva integral del campo vectorial unitario en forma de tiempo aparece en el gráfico cilíndrico como una hélice con radio constante (como la curva roja en la Fig. 1). Suponga que elegimos un observador de Langevin y consideramos a los otros observadores que viajan en un anillo de radio R que gira rígidamente con velocidad angular ω. Entonces, si tomamos una curva integral (curva helicoidal azul en la Fig. 1) del vector base similar a un espacio , obtenemos una curva que esperamos pueda ser interpretada como una "línea de simultaneidad" para los observadores que viajan por el anillo. Pero como vemos en la Fig. 1, los relojes ideales que llevan estos observadores que montan anillos no se pueden sincronizar . Este es nuestro primer indicio de que no es tan fácil como cabría esperar definir una noción satisfactoria de geometría espacial incluso para un anillo giratorio , ¡y mucho menos un disco giratorio!${\ Displaystyle {\ vec {p}} _ {0}}$${\ Displaystyle {\ vec {p}} _ {3}}$

Calculando la descomposición cinemática de la congruencia de Langevin, encontramos que el vector de aceleración es

${\ Displaystyle \ nabla _ {{\ vec {p}} _ {0}} {\ vec {p}} _ {0} = {\ frac {- \ omega ^ {2} \, R} {1- \ omega ^ {2} \, R ^ {2}}} \; {\ vec {p}} _ {2}}$

Esto apunta radialmente hacia adentro y depende solo del radio (constante) de cada línea del mundo helicoidal. El tensor de expansión desaparece de manera idéntica, lo que significa que los observadores de Langevin cercanos mantienen una distancia constante entre sí. El vector de vorticidad es

${\ Displaystyle {\ vec {\ Omega}} = {\ frac {\ omega} {1- \ omega ^ {2} \, R ^ {2}}} \; {\ vec {p}} _ {1} }$

que es paralelo al eje de simetría. Esto significa que las líneas de mundo de los vecinos más cercanos de cada observador de Langevin se retuercen alrededor de su propia línea de mundo , como sugiere la Fig. 2. Esta es una especie de noción local de "remolino" o vorticidad.

En contraste, tenga en cuenta que proyectar las hélices sobre cualquiera de las hiperslices espaciales ortogonales a las líneas del mundo de los observadores estáticos da un círculo, que por supuesto es una curva cerrada. Aún mejor, el vector base de coordenadas es un campo vectorial de Killing similar a un espacio cuyas curvas integrales son curvas cerradas similares a un espacio (círculos, de hecho), que además degeneran en curvas cerradas de longitud cero en el eje R = 0. Esto expresa el hecho de que nuestro espacio-tiempo exhibe simetría cilíndrica , y también exhibe una especie de noción global de la rotación de nuestros observadores Langevin. ${\ Displaystyle T = T_ {0}}$${\ estilo de visualización \ parcial _ {\ Phi}}$

En la Fig. 2, la curva magenta muestra cómo giran los vectores espaciales (lo cual se suprime en la figura ya que la coordenada Z no es esencial). Es decir, los vectores no son transportados por Fermi-Walker a lo largo de la línea del mundo, por lo que el marco de Langevin es giratorio y no inercial . En otras palabras, en nuestra sencilla derivación del marco de Langevin, mantuvimos el marco alineado con el vector base de coordenadas radiales . Al introducir una velocidad de rotación constante de la trama transportada por cada observador de Langevin , podríamos, si deseáramos "despin" de nuestra trama, obtener una versión giroestabilizada. ${\ Displaystyle {\ vec {p}} _ {2}, \; {\ vec {p}} _ {3}}$${\ Displaystyle {\ vec {p}} _ {1}}$${\ Displaystyle {\ vec {p}} _ {2}, \; {\ vec {p}} _ {3}}$${\ estilo de visualización \ parcial _ {R}}$${\ Displaystyle {\ vec {p}} _ {1}}$

Transformarse en la carta de Born

Fig. 3: Un intento de definir una noción de "espacio a la vez" para nuestros observadores de Langevin, representado en el gráfico de Born. ¡Este intento está condenado al fracaso por al menos dos razones! Esta figura muestra la región 0 < r <1 cuando ω = 1/5, con una discontinuidad en ϕ = π. El rayo radial del que hemos "crecido" las curvas integrales para hacer la superficie está en ϕ = 0 (en el lado opuesto de esta imagen).

Para obtener el gráfico de Born , enderezamos las líneas del mundo helicoidal de los observadores de Langevin usando la transformación de coordenadas simple

${\ Displaystyle t = T, \; \; z = Z, \; \; r = R, \; \; \ phi = \ Phi - \ omega \, T}$

El nuevo elemento de línea es

${\ Displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = - \ left (1- \ omega ^ {2} r ^ {2} \ right) \ mathrm {d} t ^ {2} +2 \ omega r ^ {2} \ mathrm {d} t \, \ mathrm {d} \ phi + \ mathrm {d} z ^ {2} + \ mathrm {d} r ^ {2} + r ^ {2} \ mathrm {d } \ phi ^ {2},}$

${\ Displaystyle - \ infty <t, \, z <\ infty, 0 <r <{\ frac {1} {\ omega}}, \; - \ pi <\ phi <\ pi}$

Observe los "términos cruzados" que implican , que muestran que el gráfico de Born no es un gráfico de coordenadas ortogonales . Las coordenadas de Born también se denominan a veces coordenadas cilíndricas giratorias . ${\ Displaystyle \ mathrm {d} t \, \ mathrm {d} \ phi}$

En el nuevo gráfico, las líneas del mundo de los observadores de Langevin aparecen como líneas rectas verticales. De hecho, podemos transformar fácilmente los cuatro campos vectoriales que componen el marco de Langevin en el nuevo gráfico. Obtenemos

${\ Displaystyle {\ vec {p}} _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}}} \, \ parcial _ {t }}$

${\ Displaystyle {\ vec {p}} _ {1} = \ parcial _ {z}, \; \; {\ vec {p}} _ {2} = \ parcial _ {r}}$

${\ Displaystyle {\ vec {p}} _ {3} = {\ frac {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}} {r}} \, \ parcial _ {\ phi} + {\ frac {\ omega \, r} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}}} \, \ parcial _ {t}}$

Estos son exactamente los mismos campos vectoriales que antes, ¡ahora simplemente están representados en un gráfico de coordenadas diferente!

Huelga decir que en el proceso de "desenrollar" las líneas del mundo de los observadores de Langevin, que aparecen como hélices en la carta cilíndrica, "enrollamos" las líneas del mundo de los observadores estáticos, que ahora aparecen como hélices en la carta de Born. ! Tenga en cuenta también que, al igual que el marco de Langevin, el gráfico de Born solo se define en la región 0 <r <1 / ω.

Si recalculamos la descomposición cinemática de los observadores de Langevin, es decir, de la congruencia temporal , obviamente obtendremos la misma respuesta que obtuvimos antes, solo expresada en términos del nuevo gráfico. Específicamente, el vector de aceleración es ${\ Displaystyle {\ vec {p}} _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}}} \, \ parcial _ {t }}$

${\ Displaystyle \ nabla _ {{\ vec {p}} _ {0}} \, {\ vec {p}} _ {0} = {\ frac {- \ omega ^ {2} \, r} {1 - \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}} \, {\ vec {p}} _ {2}}$

el tensor de expansión desaparece y el vector de vorticidad es

${\ Displaystyle {\ vec {\ Omega}} = {\ frac {\ omega} {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}} \; {\ vec {p}} _ {1} }$

El campo de codificador dual del campo de vector unitario similar al tiempo en cualquier campo de fotograma representa hiperslices espaciales infinitesimales. Sin embargo, el teorema de integrabilidad de Frobenius da una fuerte restricción sobre si estos elementos hiperplanos espaciales se pueden "entrelazar" para formar una familia de hipersuperficies espaciales que son en todas partes ortogonales a las líneas del mundo de la congruencia. De hecho, resulta que esto es posible, en cuyo caso decimos que la congruencia es ortogonal hipersuperficie , si y solo si el vector de vorticidad desaparece de manera idéntica . Así, mientras que los observadores estáticos en la carta cilíndrica admiten una familia única de hiperslices ortogonales , los observadores de Langevin no admiten tales hiperslices . En particular, las superficies espaciales en el gráfico de Born son ortogonales a los observadores estáticos, no a los observadores de Langevin . Esta es nuestra segunda (y mucho más precisa) indicación de que definir "la geometría espacial de un disco giratorio" no es tan simple como cabría esperar. ${\ Displaystyle T = T_ {0}}$${\ Displaystyle t = t_ {0}}$

Para comprender mejor este punto crucial, considere las curvas integrales del tercer vector de marco de Langevin

${\ Displaystyle {\ vec {p}} _ {3} = {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}} \, {\ frac {1} {r}} \, \ parcial _ {\ phi} + {\ frac {\ omega \, r} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}}} \, \ parcial _ {t}}$

que pasan por el radio . (Por conveniencia, eliminaremos la coordenada no esencial z de nuestra discusión). Estas curvas se encuentran en la superficie ${\ Displaystyle \ phi = 0, \, t = 0}$

${\ Displaystyle \ phi + \ omega \, t - {\ frac {t} {\ omega \, r ^ {2}}} = 0, \; \; - \ pi <\ phi <\ pi}$

mostrado en la Fig. 3. Nos gustaría considerar esto como un "espacio a la vez" para nuestros observadores de Langevin. Pero dos cosas salen mal.

En primer lugar, el teorema de Frobenius nos dice que son tangentes a ninguna hiperslice espacial. De hecho, excepto en el radio inicial, los vectores no se encuentran en nuestro segmento . Por lo tanto, aunque encontramos una hipersuperficie espacial, es ortogonal a las líneas del mundo de solo algunos de nuestros observadores Langevin. Debido a que la obstrucción del teorema de Frobenius puede entenderse en términos de la falla de los campos vectoriales para formar un álgebra de Lie , esta obstrucción es diferencial, de hecho, teórica de Lie. Es decir, es una especie de obstrucción infinitesimal a la existencia de una noción satisfactoria de hiperslices espaciales para nuestros observadores rotativos. ${\ Displaystyle {\ vec {p}} _ {2}, \, {\ vec {p}} _ {3}}$${\ Displaystyle {\ vec {p}} _ {2}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {p}} _ {2}, \, {\ vec {p}} _ {3}}$

En segundo lugar, como muestra la Fig. 3, nuestro intento de hiperslice conduciría a una noción discontinua de "tiempo" debido a los "saltos" en las curvas integrales (mostradas como una discontinuidad de cuadrícula de color azul). Alternativamente, podríamos intentar usar un tiempo de varios valores. ¡Ninguna de estas alternativas parece muy atractiva! Evidentemente, se trata de una obstrucción global . Por supuesto, es una consecuencia de nuestra incapacidad para sincronizar los relojes de los observadores de Langevin montados incluso en un solo anillo , digamos el borde de un disco, y mucho menos en un disco completo .

El efecto Sagnac

Imagine que hemos sujetado un cable de fibra óptica alrededor de la circunferencia de un anillo que gira con una velocidad angular constante ω. Deseamos calcular el tiempo de viaje de ida y vuelta, medido por un observador en anillo, para un pulso láser enviado en sentido horario y antihorario alrededor del cable. Para simplificar, ignoraremos el hecho de que la luz viaja a través de un cable de fibra óptica a algo menos que la velocidad de la luz en el vacío, y pretendemos que la línea del mundo de nuestro pulso láser es una curva nula (pero ciertamente no una geodésica nula !).

En el elemento de línea Born, pongamos . Esto da ${\ Displaystyle \ mathrm {d} s = \ mathrm {d} z = \ mathrm {d} r = 0}$

${\ displaystyle (1- \ omega ^ {2} \, r_ {0} ^ {2}) \, \ mathrm {d} t ^ {2} = 2 \ omega \, r_ {0} ^ {2} \ , \ mathrm {d} t \, \ mathrm {d} \ phi + r_ {0} ^ {2} \, \ mathrm {d} \ phi ^ {2}}$

o

${\ Displaystyle \ mathrm {d} t _ {+} = {\ frac {r_ {0} \, \ mathrm {d} \ phi} {1- \ omega \, r_ {0}}}, \ quad \ mathrm { d} t _ {-} = - {\ frac {r_ {0} \, \ mathrm {d} \ phi} {1+ \ omega \, r_ {0}}}}$

Obtenemos por el tiempo de viaje de ida y vuelta

${\ Displaystyle \ Delta t _ {+} = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ frac {r_ {0} \, \ mathrm {d} \ phi} {1- \ omega \, r_ {0 }}} = {\ frac {2 \ pi r_ {0}} {1- \ omega \, r_ {0}}}, \ quad \ Delta t _ {-} = \ int _ {0} ^ {- 2 \ pi} - {\ frac {r_ {0} \, \ mathrm {d} \ phi} {1+ \ omega \, r_ {0}}} = {\ frac {2 \ pi r_ {0}} {1+ \ omega \, r_ {0}}}}$

Poniendo , encontramos (positivo ω significa rotación en sentido antihorario, negativo ω significa rotación en el sentido de las agujas del reloj) de modo que los observadores que montan el anillo pueden determinar la velocidad angular del anillo (medida por un observador estático) a partir de la diferencia entre el recorrido en sentido horario y antihorario. veces. Esto se conoce como efecto Sagnac . Evidentemente, es un efecto global . ${\ Displaystyle \ delta = {\ frac {\ Delta t _ {+} - \ Delta t _ {-}} {2 \, \ pi \, r_ {0}}}}$${\ Displaystyle \ omega _ {+, -} = {\ frac {-1 \ pm {\ sqrt {1+ \ delta ^ {2}}}} {r_ {0} \, \ delta}}}$

Geodésicas nulas

Fig. 4: Dos pistas geodésicas radiales nulas (curva verde: límite hacia afuera, curva roja: límite hacia adentro) representadas en el gráfico de Born. También se muestra la trayectoria de un observador L de Langevin que orbita en sentido antihorario en el radio R = R ₀ , es decir, montando un anillo giratorio en sentido antihorario (círculo azul marino). Parámetros: ω = +0,2, R ₀ = r ₀ = 1

Deseamos comparar la apariencia de geodésicas nulas en la carta cilíndrica y la carta Born.

En el gráfico cilíndrico, las ecuaciones geodésicas se leen

${\ Displaystyle {\ ddot {T}} = 0, \; \; {\ ddot {Z}} = 0, \; \; {\ ddot {R}} - R \, {\ dot {\ Phi}} ^ {2} = 0, \; \; {\ ddot {\ Phi}} + {\ frac {2} {R}} \, {\ dot {\ Phi}} \, {\ dot {R}} = 0.}$

Obtenemos inmediatamente las primeras integrales

${\ Displaystyle {\ dot {T}} = E, \; \; {\ dot {Z}} = P, \; \; {\ dot {\ Phi}} = {\ frac {L} {R ^ { 2}}}.}$

Conectando estos en la expresión obtenida del elemento de línea estableciendo , obtenemos ${\ Displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = 0}$

${\ Displaystyle {\ dot {R}} ^ {2} = E ^ {2} -P ^ {2} - {\ frac {L ^ {2}} {R ^ {2}}} \ geq 0}$

de donde vemos que el radio mínimo de una geodésica nula viene dado por

${\ Displaystyle E ^ {2} -P ^ {2} - {\ frac {L ^ {2}} {R _ {\ mathrm {min}} ^ {2}}} = 0 \ quad}$ es decir, ${\ Displaystyle \ quad R _ {\ mathrm {min}} = {\ frac {| L |} {\ sqrt {E ^ {2} -P ^ {2}}}}}$

por eso

${\ Displaystyle {\ dot {R}} ^ {2} = L ^ {2} \ left ({\ frac {1} {R _ {\ mathrm {min}} ^ {2}}} - {\ frac {1 } {R ^ {2}}} \ derecha).}$

Fig. 5: Geodésicas nulas representadas en el gráfico de Born entre observadores de Langevin montados en el anillo ( r = r ₀ = 1). Las geodésicas nulas que se propagan con la rotación se doblan hacia adentro (curva verde), las geodésicas nulas que se propagan en contra de la rotación se doblan hacia afuera (curva roja). El tiempo apropiado de viaje de la luz de L ₁ a L ₂ Δ t ₁₂ es 1.311, de L ₂ a L ₁ Δ t ₂₁ es 1.510, los tiempos apropiados de viaje de la luz no son simétricos pero la distancia del radar (Δ t ₁₂ + Δ t ₂₁ ) / 2 es. Para ω → 0, ambos tiempos apropiados de viaje de la luz tienden a √ 2 = 1.414. Las geodésicas nulas entre observadores de Langevin opuestos (L ₁ y L ₃ ) se doblan simétricamente alrededor del centro de rotación. Parámetros: ω = +0.1, R ₀ = r ₀ = 1, Δ ϕ (L ₁ , L ₂ ) = π / 2, Δ ϕ (L ₁ , L ₃ ) = π

Ahora podemos resolver para obtener las geodésicas nulas como curvas parametrizadas por un parámetro afín, de la siguiente manera:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} R & = {\ sqrt {(E ^ {2} -P ^ {2}) \, s ^ ​​{2} + L ^ {2} / (E ^ {2} -P ^ {2})}} = \\ & = {\ sqrt {(E ^ {2} -P ^ {2}) \, s ^ ​​{2} + R _ {\ mathrm {min}} ^ {2}} }, \\ T & = T_ {0} + E \, s, \\ [1em] Z & = Z_ {0} + P \, s, \\\ Phi & = \ Phi _ {0} + \ operatorname {arctan } \ left ({\ frac {E ^ {2} -P ^ {2}} {L}} \, s \ right) = \\ & = \ Phi _ {0} + \ operatorname {arctan} \ left ( {\ frac {\ sqrt {E ^ {2} -P ^ {2}}} {R _ {\ mathrm {min}} \, \ operatorname {sgn} {(L)}}} \, s \ right). \ end {alineado}}}$

Más útil para nuestros propósitos es la observación de que la trayectoria de una geodésica nula (su proyección en cualquier hipereslice espacial ) es, por supuesto, una línea recta, dada por ${\ Displaystyle T = T_ {0}}$

${\ Displaystyle R = R _ {\ mathrm {min}} \, \ sec (\ Phi - \ Phi _ {0}).}$

Para obtener el radio mínimo de la recta que pasa por dos puntos (del mismo lado del punto de mayor aproximación al origen), resolvemos

${\ Displaystyle R_ {1} = R _ {\ mathrm {min}} \, \ sec (\ Phi _ {1} - \ Phi _ {0}), \; \; R_ {2} = R _ {\ mathrm { min}} \, \ sec (\ Phi _ {2} - \ Phi _ {0})}$

lo que da

${\ Displaystyle R _ {\ mathrm {min}} = {\ frac {R_ {1} \, R_ {2} \, | \ sin (\ Phi _ {2} - \ Phi _ {1}) |} {\ sqrt {R_ {1} ^ {2} -2 \, R_ {1} \, R_ {2} \, \ cos (\ Phi _ {2} - \ Phi _ {1}) + R_ {2} ^ { 2}}}}.}$

Ahora considere el caso más simple, las geodésicas radiales nulas (R _min = L = 0, E = 1, P = 0). Una geodésica nula radial con límite exterior se puede escribir en la forma

${\ Displaystyle T = s, \; Z = Z_ {0}, \; R = s,}$

${\ Displaystyle \ Phi = \ mathrm {const.} = \ omega \, R_ {0}}$

con el radio R ₀ del anillo montado en el observador Langevin (ver Fig. 4). Al transformarnos en el gráfico de Born, encontramos que la trayectoria se puede escribir como

${\ Displaystyle r = r_ {0} - {\ frac {\ phi} {\ omega}}.}$

Las pistas aparecen ligeramente dobladas en el gráfico de Born (ver curva verde en la Fig. 4). De la sección Transformación en el gráfico de Born vemos que en el gráfico de Born no podemos referirnos correctamente a estas "pistas" como "proyecciones", ya que para el observador de Langevin no existe una hiperslice ortogonal para t = t ₀ (ver Fig. 3) .

De manera similar, para las geodésicas nulas radiales con límite interno obtenemos

${\ Displaystyle r = {\ frac {\ phi} {\ omega}}}$

representado como una curva roja en la Fig.4.

Observe que para enviar un pulso láser hacia el observador estacionario S en R = 0, el observador Langevin L tiene que apuntar ligeramente hacia atrás para corregir su propio movimiento. Al girar las cosas, tal como lo esperaría un cazador de patos, para enviar un pulso láser hacia el observador Langevin montado en un anillo giratorio en sentido antihorario, el observador central tiene que apuntar, no a la posición actual de este observador, sino a la posición a la que llegará. justo a tiempo para interceptar la señal. Estas familias de geodésicas radiales nulas hacia adentro y hacia afuera representan curvas muy diferentes en el espacio-tiempo y sus proyecciones no concuerdan para ω> 0.

Fig. 6: Un arco geodésico nulo, representado en el gráfico de Born, que modela una señal enviada de un observador en anillo a otro. Las líneas del mundo de estos observadores se muestran como líneas verticales azules; el centro de simetría como una línea vertical verde. Observe que nuestra geodésica nula (arco ámbar) parece doblarse ligeramente hacia adentro (vea también la curva verde en la Fig. 5).

De manera similar, las geodésicas nulas entre los observadores de Langevin que viajan en anillo aparecen ligeramente dobladas hacia adentro en la carta de Born, si las geodésicas se propagan con la dirección de la rotación (ver la curva verde en la Fig. 5). Para ver esto, escriba la ecuación de una geodésica nula en la tabla cilíndrica en la forma

${\ Displaystyle T = R _ {\ mathrm {min}} \, \ tan (\ Phi),}$

${\ Displaystyle R = R _ {\ mathrm {min}} \, \ sec (\ Phi).}$

Transformando a las coordenadas de Born, obtenemos las ecuaciones

${\ Displaystyle t = r _ {\ mathrm {min}} \, \ tan (\ phi + \ omega \, t),}$

${\ Displaystyle r = r _ {\ mathrm {min}} \, \ sec (\ phi + \ omega \, t).}$

Eliminar ϕ da

${\ Displaystyle r = {\ sqrt {r _ {\ mathrm {min}} ^ {2} + t ^ {2}}}}$

lo que muestra que la geodésica de hecho parece doblarse hacia adentro (ver Fig. 6). También encontramos que

${\ Displaystyle \ phi = - \ omega \, t + \ operatorname {arctan} (t / r _ {\ mathrm {min}}).}$

Para geodésicas nulas que se propagan contra la rotación (curva roja en la Fig.5) obtenemos

${\ Displaystyle r = {\ sqrt {r _ {\ mathrm {min}} ^ {2} + t ^ {2}}},}$

${\ Displaystyle \ phi = - \ omega \, t- \ operatorname {arctan} (t / r _ {\ mathrm {min}})}$

y la geodésica se dobla ligeramente hacia afuera. Esto completa la descripción de la aparición de geodésicas nulas en la carta de Born, ya que cada geodésica nula es radial o tiene algún punto de aproximación más cercana al eje de simetría cilíndrica.

Tenga en cuenta (ver Fig.5) que un observador que monta un anillo que intenta enviar un pulso láser a otro observador que monta un anillo debe apuntar ligeramente hacia adelante o hacia atrás de su coordenada angular como se indica en la tabla de Born, para compensar el movimiento de rotación. del objetivo. Tenga en cuenta también que la imagen presentada aquí es totalmente compatible con nuestra expectativa (ver apariencia del cielo nocturno ) de que un observador en movimiento verá la posición aparente de otros objetos en su esfera celeste para ser desplazados hacia la dirección de su movimiento.

Distancia de radar en el gran

Fig.7: Esta figura esquemática ilustra la noción de distancia de radar entre un observador en anillo y un observador central estático (con la misma coordenada Z ).

Incluso en el espacio-tiempo plano, resulta que los observadores que aceleran (incluso los observadores que aceleran linealmente; consulte las coordenadas de Rindler ) pueden emplear varias nociones de distancia distintas pero operativamente significativas. Quizás el más simple de ellos es la distancia del radar .

Considere cómo un observador estático en R = 0 podría determinar su distancia a un observador en anillo en R = R ₀ . En el evento C , envía un pulso de radar hacia el anillo, que golpea la línea del mundo de un observador que monta un anillo en A ′ y luego regresa al observador central en el evento C ″. (Vea el diagrama de la derecha en la Fig. 7.) Luego divide el tiempo transcurrido (medido por un reloj ideal que lleva) por dos. No es difícil ver que obtiene para esta distancia simplemente R ₀ (en el gráfico cilíndrico) o r ₀ (en el gráfico de Born).

De manera similar, un observador que monta un anillo puede determinar su distancia al observador central enviando un pulso de radar, en el evento A, hacia el observador central, que golpea su línea del mundo en el evento C ′ y regresa al observador que monta el anillo en el evento A ″. . (Ver el diagrama de la izquierda en la Fig.7) No es difícil ver que obtiene para esta distancia (en la tabla cilíndrica) o (en la tabla de Born), un resultado algo menor que el obtenido por el observador central. Esto es una consecuencia de la dilatación del tiempo: el tiempo transcurrido para un observador que monta en un anillo es menor por el factor que el tiempo para el observador central. Por lo tanto, si bien la distancia del radar tiene un significado operacional simple, ni siquiera es simétrica . ${\ Displaystyle R_ {0} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, R_ {0} ^ {2}}}}$${\ Displaystyle r_ {0} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, r_ {0} ^ {2}}}}$${\ Displaystyle {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, r_ {0} ^ {2}}}}$

Fig. 8: Esta figura esquemática ilustra la noción de distancia de radar entre dos observadores de Langevin montados en un anillo con radio R ₀ que gira con velocidad angular ω . En el diagrama de la izquierda, el anillo gira en sentido antihorario; en el diagrama de la derecha, gira en el sentido de las agujas del reloj.

Para llevar a casa este punto crucial, compare las distancias de radar obtenidas por dos observadores en anillo con coordenada radial R = R ₀ . En el diagrama de la izquierda en la Fig.8, podemos escribir las coordenadas del evento A como

${\ Displaystyle T = 0, \; Z = 0, \; X = R_ {0}, Y = 0}$

y podemos escribir las coordenadas del evento B ′ como

${\ Displaystyle T = 2 \, R_ {0} \, \ sin \ left ({\ frac {\ Phi} {2}} \ right), \; Z = 0,}$

${\ Displaystyle X = R_ {0} \ cos (\ Phi), \; Y = R_ {0} \ sin (\ Phi)}$

Escribiendo el tiempo apropiado transcurrido desconocido como , ahora escribimos las coordenadas del evento A ″ como ${\ Displaystyle \ Delta s}$

${\ Displaystyle T = {\ frac {\ Delta s} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, R_ {0} ^ {2}}}}, \; Z = 0}$

${\ Displaystyle X = R_ {0} \ cos \ left ({\ frac {\ omega \, \ Delta s} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, R_ {0} ^ {2}}} } \ right), \; Y = R_ {0} \ sin \ left ({\ frac {\ omega \, \ Delta s} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, R_ {0} ^ { 2}}}} \ derecha)}$

Al requerir que los segmentos de línea que conectan estos eventos sean nulos, obtenemos una ecuación que, en principio, podemos resolver para Δ s . Resulta que este procedimiento da una ecuación no lineal bastante complicada, por lo que simplemente presentamos algunos resultados numéricos representativos. Con R ₀ = 1, Φ = π / 2 y ω = 1/10, encontramos que la distancia del radar de A a B es aproximadamente 1.311, mientras que la distancia de B a A es aproximadamente 1.510. Como ω tiende a cero, ambos resultados tienden a √ 2 = 1.414 (ver también la Fig. 5).

A pesar de estas discrepancias posiblemente desalentadoras, no es de ninguna manera imposible diseñar un gráfico de coordenadas que se adapte para describir la experiencia física de un solo observador Langevin, o incluso un solo observador acelerado arbitrariamente en el espacio-tiempo de Minkowski. Pauri y Vallisneri han adaptado el procedimiento de sincronización del reloj de Märzke-Wheeler para diseñar coordenadas adaptadas que llaman coordenadas de Märzke-Wheeler (ver el artículo citado a continuación). En el caso de un movimiento circular constante, este gráfico está de hecho muy relacionado con la noción de distancia del radar "en el gran" de un observador Langevin dado.

Distancia de radar en los pequeños

Como se mencionó anteriormente , por diversas razones, la familia de observadores de Langevin no admite ninguna familia de hiperslices ortogonales. Por lo tanto, estos observadores simplemente no pueden asociarse con ninguna división del espacio-tiempo en una familia de sucesivas "divisiones de tiempo constante".

Sin embargo, debido a que la congruencia de Langevin es estacionaria , podemos imaginar reemplazando cada línea del mundo en esta congruencia por un punto . Es decir, podemos considerar el espacio cociente del espacio-tiempo de Minkowski (o más bien, la región 0 < R <1 / ω ) por la congruencia de Langevin, que es una variedad topológica tridimensional . Aún mejor, podemos colocar una métrica riemanniana en esta variedad cociente, convirtiéndola en una variedad riemanniana tridimensional , de tal manera que la métrica tenga un significado operacional simple.

Para ver esto, considere el elemento de línea Born

${\ Displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = - (1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}) \, \ mathrm {d} t ^ {2} +2 \, \ omega \, r ^ {2} \, \ mathrm {d} t \, \ mathrm {d} \ phi + \ mathrm {d} z ^ {2} + \ mathrm {d} r ^ {2} + r ^ { 2} \, \ mathrm {d} \ phi ^ {2},}$

${\ Displaystyle - \ infty <t, z <\ infty, \; \; 0 <r <{\ frac {1} {\ omega}}, \; \; - \ pi <\ phi <\ pi.}$

Estableciendo d s ² = 0 y despejando d t obtenemos

${\ Displaystyle \ mathrm {d} t _ {+} = {\ frac {\ omega \, r ^ {2} \, \ mathrm {d} \ phi + {\ sqrt {(1- \ omega ^ {2} \ , r ^ {2}) \; (\ mathrm {d} z ^ {2} + \ mathrm {d} r ^ {2}) + r ^ {2} \, \ mathrm {d} \ phi ^ {2 }}}} {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}},}$

${\ Displaystyle \ mathrm {d} t _ {-} = {\ frac {\ omega \, r ^ {2} \, \ mathrm {d} \ phi - {\ sqrt {(1- \ omega ^ {2} \ , r ^ {2}) \; (\ mathrm {d} z ^ {2} + \ mathrm {d} r ^ {2}) + r ^ {2} \, \ mathrm {d} \ phi ^ {2 }}}} {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}}.}$

El tiempo apropiado transcurrido para una señal de radar de ida y vuelta emitida por un observador de Langevin es entonces

${\ Displaystyle {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}} \; {\ frac {\ mathrm {d} t _ {+} - \ mathrm {d} t _ {-}} {2}} = {\ sqrt {\ mathrm {d} z ^ {2} + \ mathrm {d} r ^ {2} + {\ frac {r ^ {2} \, \ mathrm {d} \ phi ^ {2}} {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}}}}.}$

Por lo tanto, en nuestra variedad cociente, el elemento de línea de Riemann

${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ sigma ^ {2} = \ mathrm {d} z ^ {2} + \ mathrm {d} r ^ {2} + {\ frac {r ^ {2} \, \ mathrm {d} \ phi ^ {2}} {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}},}$

${\ Displaystyle - \ infty <t <\ infty, \; \; 0 <r <{\ frac {1} {\ omega}}, \; \; - \ pi <\ phi <\ pi}$

corresponde a la distancia entre observadores Langevin infinitesimalmente cercanos . La llamaremos métrica de Langevin-Landau-Lifschitz , y podemos llamar a esta noción de distancia de radar "en lo pequeño" .

Esta métrica fue dada por primera vez por Langevin , pero la interpretación en términos de distancia de radar "en lo pequeño" se debe a Lev Landau y Evgeny Lifshitz , quienes generalizaron la construcción para trabajar para el cociente de cualquier variedad de Lorentz mediante una congruencia estacionaria en forma de tiempo.

Si adoptamos el coframe

${\ Displaystyle \ theta ^ {\ hat {1}} = \ mathrm {d} z, \; \; \ theta ^ {\ hat {2}} = \ mathrm {d} r, \; \; \ theta ^ {\ hat {3}} = {\ frac {r \, \ mathrm {d} \ phi} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}}}}}$

podemos calcular fácilmente el tensor de curvatura de Riemann de nuestra variedad cociente tridimensional. Tiene solo dos componentes independientes no triviales,

${\ Displaystyle {R ^ {\ hat {2}}} _ {{\ hat {3}} {\ hat {2}} {\ hat {3}}} = {\ frac {-3 \, \ omega ^ {2}} {(1- \ omega ^ {2} r ^ {2}) ^ {2}}} = - 3 \, \ omega ^ {2} + O (\ omega ^ {4} \, r ^ {2}),}$

${\ displaystyle {R ^ {\ hat {3}}} _ {{\ hat {2}} {\ hat {3}} {\ hat {2}}} = {\ frac {-3 \, \ omega ^ {2} \, r ^ {2}} {(1- \ omega ^ {2} r ^ {2}) ^ {3}}} = - 3 \, \ omega ^ {2} \, r ^ {2 } + O (\ omega ^ {4} \, r ^ {4}).}$

Así, en cierto sentido, la geometría de un disco giratorio es curva , como afirmó Theodor Kaluza (sin pruebas) ya en 1910. De hecho, a segundo orden en ω tiene la geometría del plano hiperbólico, tal como Kaluza afirmó.

Advertencia: como hemos visto, hay muchas nociones posibles de distancia que pueden emplear los observadores de Langevin montados en un disco que gira rígidamente, por lo que las declaraciones que se refieren a "la geometría de un disco giratorio" siempre requieren una cuidadosa calificación.

Para llevar a casa este importante punto, usemos la métrica de Landau-Lifschitz para calcular la distancia entre un observador de Langevin montado en un anillo con radio R ₀ y un observador estático central. Para hacer esto, solo necesitamos integrar nuestro elemento de línea sobre la pista geodésica nula apropiada. De nuestro trabajo anterior, vemos que debemos conectar

${\ Displaystyle \ mathrm {d} r = {\ frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ omega}}, \, \ mathrm {d} z = 0}$

en nuestro elemento de línea e integrar

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ Delta} \ mathrm {d} \ sigma = \ int \ limits _ {0} ^ {r_ {0}} {\ left (1 + {\ frac {\ omega ^) {2} r ^ {2}} {1- \ omega ^ {2} r ^ {2}}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}} \, \ mathrm {d} r.}$

Esto da

${\ Displaystyle \ Delta = \ int _ {0} ^ {r_ {0}} {\ frac {\ mathrm {d} r} {\ sqrt {1- \ omega ^ {2} \, r ^ {2}} }} = {\ frac {\ arcsin (\ omega r_ {0})} {\ omega}} = r_ {0} + {\ frac {\ omega ^ {2} \, r_ {0} ^ {3}} {6}} + O (r_ {0} ^ {5}).}$

Debido a que ahora estamos tratando con una métrica de Riemann, esta noción de distancia es, por supuesto, simétrica al intercambiar los dos observadores, a diferencia de la distancia de radar "en el gran". Los valores dados por esta noción están en contradicción con las distancias de radar "grandes" calculadas en la sección anterior. Además, debido a que hasta el segundo orden la métrica de Landau-Lifschitz concuerda con la convención de sincronización de Einstein, vemos que el tensor de curvatura que acabamos de calcular tiene importancia operativa: mientras que la distancia del radar "en la gran" entre pares de observadores de Langevin ciertamente no es una Noción riemanniana de distancia , la distancia entre pares de observadores Langevin cercanos corresponde a una distancia Riemanniana, dada por la métrica Langevin-Landau-Lifschitz. (En la feliz frase de Howard Percy Robertson , esto es cinemática im Kleinen ).

Una forma de ver que todas las nociones razonables de distancia espacial para nuestros observadores de Langevin concuerdan para los observadores cercanos es mostrar, siguiendo a Nathan Rosen , que para cualquier observador de Langevin, un observador inercial en movimiento instantáneo también obtendrá las distancias dadas por el Langevin. -Métrica de Landau-Lifschitz, para distancias muy pequeñas.

Ver también

• Paradoja de Ehrenfest , para un tema a veces controvertido que a menudo se estudia utilizando la tabla de Born.
• Giroscopio de fibra óptica
• Coordenadas de Rindler , para otro gráfico de coordenadas útil adaptado a otra familia importante de observadores acelerados en el espacio-tiempo de Minkowski ; este artículo también enfatiza la existencia de distintas nociones de distancia que pueden ser empleadas por tales observadores.
• Efecto sagnac

Referencias

Algunos trabajos de interés histórico:

• Nacido, M. (1909). "Die Theorie des starren Elektrons in der Kinematik des Relativitäts-Prinzipes" . Ana. Phys . 30 (11): 1–56. Código Bibliográfico : 1909AnP ... 335 .... 1B . doi : 10.1002 / y p.19093351102 .
  • Traducción de Wikisource: La teoría del electrón rígido en la cinemática del principio de relatividad
• Ehrenfest, P. (1909). "Gleichförmige Rotation starrer Körper und Relativitätstheorie". Phys. Z . 10 : 918. Código Bibliográfico : 1909PhyZ ... 10..918E .
  • Traducción de Wikisource: Rotación uniforme de cuerpos rígidos y teoría de la relatividad
• Langevin, P. (1935). "Remarques au sujet de la Note de Prunier". CR Acad. Sci. París . 200 : 48.

Algunas referencias clásicas:

• Grøn, Ø. (1975). "Descripción relativista de un disco giratorio". Soy. J. Phys . 43 (10): 869–876. Código Bibliográfico : 1975AmJPh..43..869G . doi : 10.1119 / 1.9969 .
• Landau, LD y Lifschitz, EM (1980). La teoría clásica de los campos (4ª ed.) . Londres: Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-2768-9. Consulte la Sección 84 para conocer la métrica de Landau-Lifschitz sobre el cociente de una variedad de Lorentz por una congruencia estacionaria ; vea el problema al final de la Sección 89 para la aplicación a los observadores de Langevin.

Fuentes recientes seleccionadas:

• Rizzi, G. y Ruggiero, ML (2004). Relatividad en marcos rotativos . Dordrecht: Kluwer. ISBN 1-4020-1805-3. Este libro contiene un valioso estudio histórico de Øyvind Grøn y algunos otros artículos sobre la paradoja de Ehrenfest y controversias relacionadas, y un artículo de Lluis Bel discutiendo la congruencia de Langevin. En este libro se pueden encontrar cientos de referencias adicionales.
• Pauri, Massimo y Vallisneri, Michele (2000). "Coordenadas de Märzke-Wheeler para observadores acelerados en relatividad especial". Fundar. Phys. Lett . 13 (5): 401–425. Código Bibliográfico : 2000gr.qc ..... 6095P . doi : 10.1023 / A: 1007861914639 . S2CID  15097773 .Estudia un gráfico de coordenadas construido usando la distancia de radar "en la gran" de un solo observador Langevin. Consulte también la versión eprint .

enlaces externos

• The Rigid Rotating Disk in Relativity , de Michael Weiss (1995), de las Preguntas frecuentes de sci.physics .