Curvatura geodésica - Geodesic curvature

En la geometría de Riemann , la curvatura geodésica de una curva mide qué tan lejos está la curva de ser una geodésica . Por ejemplo, para curvas 1D en una superficie 2D incrustada en un espacio 3D , es la curvatura de la curva proyectada sobre el plano tangente de la superficie. De manera más general, en una variedad dada , la curvatura geodésica es solo la curvatura habitual de (ver más abajo). Sin embargo, cuando la curva está restringida para estar en una subvariedad de (por ejemplo, para curvas en superficies ), la curvatura geodésica se refiere a la curvatura de en y es diferente en general de la curvatura de en la variedad ambiental . La curvatura (ambiental) de depende de dos factores: la curvatura de la subvariedad en la dirección de (la curvatura normal ), que depende solo de la dirección de la curva, y la curvatura de visto en (la curvatura geodésica ), que una segunda cantidad de pedido. La relación entre estos es . En particular, las geodésicas tienen curvatura geodésica cero (son "rectas"), por lo que , lo que explica por qué parecen estar curvadas en el espacio ambiental siempre que lo esté la subvariedad. ${\ Displaystyle k_ {g}}$ ${\ Displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle {\ bar {M}}}$ ${\ Displaystyle \ gamma}$ ${\ Displaystyle \ gamma}$ ${\ Displaystyle M}$ ${\ displaystyle {\ bar {M}}}$ ${\ Displaystyle \ gamma}$ ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle {\ bar {M}}}$ ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle \ gamma}$ ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle \ gamma}$ ${\ Displaystyle k_ {n}}$ ${\ Displaystyle \ gamma}$ ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle k_ {g}}$ ${\ Displaystyle k = {\ sqrt {k_ {g} ^ {2} + k_ {n} ^ {2}}}}$ ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle k = k_ {n}}$

Definición

Considere una curva en una variedad , parametrizada por arclength , con un vector tangente unitario . Su curvatura es la norma de la derivada covariante de : . Si se encuentra en , la curvatura geodésica es la norma de proyección de la derivada covariante en el espacio tangente a la subvariante. Por el contrario, la curvatura normal es la norma de la proyección de sobre el haz normal a la subvariedad en el punto considerado. ${\ Displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle {\ bar {M}}}$ ${\ Displaystyle T = d \ gamma / ds}$ ${\ Displaystyle T}$ ${\ Displaystyle k = \ | DT / ds \ |}$ ${\ Displaystyle \ gamma}$ ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle DT / ds}$ ${\ Displaystyle DT / ds}$

Si la variedad ambiental es el espacio euclidiano , entonces la derivada covariante es simplemente la derivada habitual . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle DT / ds}$ ${\ Displaystyle dT / ds}$

Ejemplo

Sea la esfera unitaria en el espacio euclidiano tridimensional. La curvatura normal de es idénticamente 1, independientemente de la dirección considerada. Los grandes círculos tienen curvatura , por lo que tienen una curvatura geodésica cero y, por lo tanto, son geodésicos. Los círculos más pequeños de radio tendrán curvatura y curvatura geodésica . ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle S ^ {2}}$ ${\ Displaystyle S ^ {2}}$ ${\ Displaystyle k = 1}$ ${\ Displaystyle r}$ ${\ Displaystyle 1 / r}$ ${\ Displaystyle k_ {g} = {\ frac {\ sqrt {1-r ^ {2}}} {r}}}$

Algunos resultados que involucran la curvatura geodésica

La curvatura geodésica no es otra que la curvatura habitual de la curva cuando se calcula intrínsecamente en la subvariedad . No depende de la forma en que se asiente el sub-colector . ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle M}$ ${\ displaystyle {\ bar {M}}}$
Las geodésicas de tienen curvatura geodésica cero, lo que equivale a decir que es ortogonal al espacio tangente a . ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle DT / ds}$ ${\ Displaystyle M}$
Por otro lado, la curvatura normal depende en gran medida de cómo se encuentra la subvariedad en el espacio ambiental, pero marginalmente en la curva: solo depende del punto de la subvariedad y de la dirección , pero no de . ${\ Displaystyle k_ {n}}$ ${\ Displaystyle T}$ ${\ Displaystyle DT / ds}$
En la geometría de Riemann general, el derivado se calcula utilizando la conexión de Levi-Civita del colector ambiente: . Se divide en una parte tangente y una parte normal de la subvariedad: . La parte tangente es la derivada habitual en (es un caso particular de la ecuación de Gauss en las ecuaciones de Gauss-Codazzi ), mientras que la parte normal es , donde denota la segunda forma fundamental . ${\ displaystyle {\ bar {\ nabla}}}$ ${\ Displaystyle DT / ds = {\ bar {\ nabla}} _ {T} T}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ nabla}} _ {T} T = \ nabla _ {T} T + ({\ bar {\ nabla}} _ {T} T) ^ {\ perp}}$ ${\ Displaystyle \ nabla _ {T} T}$ ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {I \! I} (T, T)}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {I \! I}}$
El teorema de Gauss-Bonnet .