La paradoja de Richard Richard's paradox

En lógica , la paradoja de Richard es una antinomia semántica de la teoría de conjuntos y el lenguaje natural descrita por primera vez por el matemático francés Jules Richard en 1905. La paradoja se usa normalmente para motivar la importancia de distinguir cuidadosamente entre matemáticas y metamatemáticas .

Kurt Gödel cita específicamente la antinomia de Richard como un análogo semántico a su resultado sintáctico incompleto en la sección introductoria de " Sobre proposiciones formalmente indecidibles en Principia Mathematica y sistemas relacionados I ". La paradoja también fue una motivación del desarrollo de la matemática predicativa .

Descripción

El enunciado original de la paradoja, debido a Richard (1905), está estrechamente relacionado con el argumento diagonal de Cantor sobre la incontabilidad del conjunto de números reales .

La paradoja comienza con la observación de que ciertas expresiones del lenguaje natural definen números reales sin ambigüedades, mientras que otras expresiones del lenguaje natural no lo hacen. Por ejemplo, "El número real cuya parte entera es 17 y el n- ésimo lugar decimal es 0 si n es par y 1 si n es impar" define el número real 17.1010101 ... = 1693/99, mientras que el la frase "la capital de Inglaterra" no define un número real, ni la frase "el entero positivo más pequeño no definible en menos de sesenta letras" (ver la paradoja de Berry ).

Por lo tanto, hay una lista infinita de frases en inglés (de modo que cada frase tiene una longitud finita, pero la lista en sí es de longitud infinita) que definen los números reales sin ambigüedades. Primero ordenamos esta lista de frases aumentando la longitud, luego ordenamos todas las frases de igual longitud lexicográficamente (en orden de diccionario, por ejemplo, podemos usar el código ASCII , las frases solo pueden contener códigos 32 a 126), de modo que el orden sea canónico . Esto produce una lista infinita de los números reales correspondientes: r ₁ , r ₂ , .... Ahora defina un nuevo número real r como sigue. La parte entera de r es 0, el n- ésimo lugar decimal de r es 1 si el n- ésimo lugar decimal de r _n no es 1, y el n- ésimo lugar decimal de r es 2 si el n- ésimo lugar decimal de r _n es 1.

El párrafo anterior es una expresión en inglés que define inequívocamente un número real r . Por tanto, r debe ser uno de los números r _n . Sin embargo, r se construyó de manera que no puede ser igual a ninguno de los r _n (por lo tanto, r es un número indefinible ). Ésta es la contradicción paradójica.

Análisis y relación con la metamatemática

La paradoja de Richard resulta en una contradicción insostenible, que debe analizarse para encontrar un error.

La definición propuesta del nuevo número real r incluye claramente una secuencia finita de caracteres y, por lo tanto, al principio parece ser una definición de un número real. Sin embargo, la definición se refiere a la propia definición en inglés. Si fuese posible determinar qué expresiones inglesas en realidad no definen un número real, y los que no, entonces la paradoja irían a través. Por lo tanto, la resolución de la paradoja de Richard es que no hay forma de determinar sin ambigüedades exactamente qué oraciones en inglés son definiciones de números reales (ver Good 1966). Es decir, no hay forma de describir con un número finito de palabras cómo saber si una expresión inglesa arbitraria es una definición de un número real. Esto no es sorprendente, ya que la capacidad de tomar esta determinación también implicaría la capacidad de resolver el problema de detención y realizar cualquier otro cálculo no algorítmico que pueda describirse en inglés.

Un fenómeno similar ocurre en las teorías formalizadas que pueden referirse a su propia sintaxis, como la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC). Supongamos que una fórmula φ ( x ) define un número real si hay exactamente un número real r tal que φ ( r ) se cumple. Entonces no es posible definir, por ZFC, el conjunto de todas las fórmulas ( números de Gödel de) que definen números reales. Porque, si fuera posible definir este conjunto, sería posible diagonalizarlo para producir una nueva definición de un número real, siguiendo el esquema de la paradoja de Richard anterior. Tenga en cuenta que el conjunto de fórmulas que definen los números reales puede existir, como un conjunto F ; la limitación de ZFC es que no existe ninguna fórmula que defina F sin referencia a otros conjuntos. Esto está relacionado con el teorema de indefinibilidad de Tarski .

El ejemplo de ZFC ilustra la importancia de distinguir las metamatemáticas de un sistema formal de los enunciados del sistema formal en sí. La propiedad D (φ) de que una fórmula φ de ZFC define un número real único no es en sí misma expresable por ZFC, pero debe considerarse como parte de la metateoría utilizada para formalizar ZFC. Desde este punto de vista, la paradoja de Richard resulta de tratar una construcción de la metateoría (la enumeración de todos los enunciados en el sistema original que definen números reales) como si esa construcción pudiera realizarse en el sistema original.

Variación: números de Richardian

Una variación de la paradoja utiliza números enteros en lugar de números reales, al tiempo que conserva el carácter autorreferencial del original. Considere un idioma (como el inglés) en el que se definen las propiedades aritméticas de los números enteros. Por ejemplo, "el primer número natural" define la propiedad de ser el primer número natural, uno; y "divisible exactamente por dos números naturales" define la propiedad de ser un número primo . (Está claro que algunas propiedades no se pueden definir explícitamente, ya que todo sistema deductivo debe comenzar con algunos axiomas . Pero para los propósitos de este argumento, se asume que frases como "un número entero es la suma de dos números enteros" ya se entienden .) Si bien la lista de todas estas posibles definiciones es en sí misma infinita, se ve fácilmente que cada definición individual se compone de un número finito de palabras y, por lo tanto, también de un número finito de caracteres. Dado que esto es cierto, podemos ordenar las definiciones, primero por longitud y luego lexicográficamente .

Ahora, podemos mapear cada definición al conjunto de números naturales , de modo que la definición con el menor número de caracteres y orden alfabético corresponderá al número 1, la siguiente definición de la serie corresponderá a 2, y así sucesivamente. Dado que cada definición está asociada con un número entero único, es posible que ocasionalmente el número entero asignado a una definición se ajuste a esa definición. Si, por ejemplo, la definición "no divisible por ningún número entero distinto de 1 y por sí misma" resultara ser 43º, entonces esto sería cierto. Dado que 43 en sí mismo no es divisible por ningún número entero que no sea 1 y él mismo, entonces el número de esta definición tiene la propiedad de la definición misma. Sin embargo, puede que no siempre sea así. Si la definición: "divisible por 3" se asignó al número 58, entonces el número de la definición no tiene la propiedad de la definición en sí. Dado que 58 en sí mismo no es divisible por 3. Este último ejemplo se denominará como poseedor de la propiedad de ser richardiano . Por lo tanto, si un número es richardiano, entonces la definición correspondiente a ese número es una propiedad que el número en sí mismo no tiene. (Más formalmente, " x es richardiano" es equivalente a " x no no tener la propiedad designada por la expresión que define con la que x se correlaciona en el conjunto en serie ordenada de las definiciones".) Así, en este ejemplo, 58 es richardiano, pero 43 no es.

Ahora bien, dado que la propiedad de ser richardiano es en sí misma una propiedad numérica de los números enteros, pertenece a la lista de todas las definiciones de propiedades. Por tanto, a la propiedad de ser richardiano se le asigna un número entero, n . Por ejemplo, la definición "ser richardiano" podría asignarse al número 92. Finalmente, la paradoja se convierte en: ¿92 es richardiano? Suponga que 92 es richardiano. Esto solo es posible si 92 no tiene la propiedad designada por la expresión definitoria con la que está correlacionado. En otras palabras, esto significa que 92 no es richardiano, lo que contradice nuestra suposición. Sin embargo, si suponemos que 92 no es richardiano, entonces tiene la propiedad definitoria a la que corresponde. Esto, por definición, significa que es Richardiano, nuevamente contrario a la suposición. Por tanto, el enunciado "92 es richardiano" no se puede designar consistentemente como verdadero o falso.

Relación con el predicativismo

Otra opinión sobre la paradoja de Richard se relaciona con el predicativismo matemático . Según este punto de vista, los números reales se definen en etapas, y cada etapa solo hace referencia a etapas anteriores y otras cosas que ya se han definido. Desde un punto de vista predicativo, no es válido cuantificar todos los números reales en el proceso de generar un nuevo número real, porque se cree que esto da como resultado un problema de circularidad en las definiciones. Las teorías de conjuntos como ZFC no se basan en este tipo de marco predicativo y permiten definiciones impredicativas.

Richard (1905) presentó una solución a la paradoja desde el punto de vista del predicativisim. Richard afirmó que el defecto de la construcción paradójica era que la expresión para la construcción del número real r no define en realidad un número real sin ambigüedades, porque el enunciado se refiere a la construcción de un conjunto infinito de números reales, de los cuales r en sí mismo es una parte. Por lo tanto, dice Richard, el número real r no se incluirá como cualquier r _n , porque la definición de r no cumple con los criterios para ser incluida en la secuencia de definiciones utilizadas para construir la secuencia r _n . Los matemáticos contemporáneos están de acuerdo en que la definición de r no es válida, pero por una razón diferente. Creen que la definición de r no es válida porque no existe una noción bien definida de cuándo una frase en inglés define un número real, por lo que no hay una forma inequívoca de construir la secuencia r _n .

Aunque la solución de Richard a la paradoja no ganó el favor de los matemáticos, el predicativismo es una parte importante del estudio de los fundamentos de las matemáticas . El predicativismo fue estudiado en detalle por primera vez por Hermann Weyl en Das Kontinuum , donde mostró que gran parte del análisis real elemental se puede realizar de manera predicativa comenzando solo con los números naturales . Más recientemente, el predicativismo ha sido estudiado por Solomon Feferman , quien ha utilizado la teoría de la prueba para explorar la relación entre los sistemas predicativo e impredicativo.

Ver también

• Teoría algorítmica de la información
• Paradoja de Berry , que también utiliza números definibles por idioma.
• La paradoja de Curry
• Paradoja de Grelling-Nelson
• Paradoja de Kleene-Rosser
• Lista de paradojas
• Teorema de Löb
• Conjunto definible ordinal , un concepto de definibilidad de la teoría de conjuntos que se puede definir en el lenguaje de la teoría de conjuntos.
• Paradoja de Russell : ¿El conjunto de todos esos conjuntos que no se contienen a sí mismos se contiene a sí mismo?

Referencias

• Fraenkel, Abraham; Bar-Hillel, Yehoshua y Levy, Azriel (1973). Fundamentos de la teoría de conjuntos . Con la colaboración de Dirk van Dalen (Segunda ed.). Ámsterdam: Noord-Hollandsche. ISBN 0-7204-2270-1.
• Bueno, IJ (1966). "Una nota sobre la paradoja de Richard". Mente . 75 (299): 431. doi : 10.1093 / mind / LXXV.299.431 .
• Richard, Jules (1905). Les Principes des Mathématiques et le Problème des Ensembles . Revue Générale des Sciences Pures et Appliquées.Traducido en Heijenoort, J. van, ed. (1964). Libro de consulta en lógica matemática 1879-1931 . Cambridge, MA: Harvard University Press.

enlaces externos

• " Paradojas y lógica contemporánea ", Enciclopedia de Filosofía de Stanford