Paradoja de la baya - Berry paradox

La paradoja de Berry es una paradoja autorreferencial que surge de una expresión como "El entero positivo más pequeño no definible en menos de sesenta letras" (una frase con cincuenta y siete letras).

Bertrand Russell , el primero en hablar de la paradoja en la impresión, lo atribuyó a GG Berry (1867-1928), un joven bibliotecario en Oxford 's biblioteca Bodleian . Russell llamó a Berry "la única persona en Oxford que entendía la lógica matemática".

Visión general

Considere la expresión:

"El número entero positivo más pequeño no definible en menos de sesenta letras".

Como sólo hay veintiséis letras en el alfabeto inglés, hay un número finito de frases de menos de sesenta letras y, por tanto, un número finito de enteros positivos que se definen mediante frases de menos de sesenta letras. Dado que hay infinitos números enteros positivos, esto significa que hay números enteros positivos que no se pueden definir con frases de menos de sesenta letras. Si hay enteros positivos que satisfacen una propiedad dada, entonces hay un entero positivo más pequeño que satisface esa propiedad; por lo tanto, hay un número entero positivo más pequeño que satisface la propiedad "no definible en menos de sesenta letras". Este es el número entero al que se refiere la expresión anterior. Pero la expresión anterior tiene solo cincuenta y siete letras, por lo tanto, se puede definir en menos de sesenta letras, y no es el número entero positivo más pequeño que no se puede definir en menos de sesenta letras, y no está definido por esta expresión. Esto es una paradoja: debe haber un número entero definido por esta expresión, pero como la expresión es autocontradictoria (cualquier número entero que defina es definible en menos de sesenta letras), no puede haber ningún número entero definido por ella.

Quizás otra analogía útil de la paradoja de Berry sería la frase "sentimiento indescriptible". Si el sentimiento es realmente indescriptible, entonces ninguna descripción del sentimiento sería cierta. Pero si la palabra "indescriptible" comunica algo sobre el sentimiento, entonces puede considerarse una descripción: esto es contradictorio en sí mismo.

El matemático e informático Gregory J. Chaitin en The Unknowable (1999) agrega este comentario: "Bueno, el historiador matemático mexicano Alejandro Garcidiego se ha tomado la molestia de encontrar esa carta [de Berry de la que Russell escribió sus comentarios], y es más bien una paradoja diferente. La carta de Berry en realidad habla del primer ordinal que no se puede nombrar con un número finito de palabras. Según la teoría de Cantor, dicho ordinal debe existir, pero lo acabamos de nombrar con un número finito de palabras, que es una contradicción ".

Resolución

La paradoja de Berry, como se formuló anteriormente, surge debido a la ambigüedad sistemática en la palabra "definible". En otras formulaciones de la paradoja de Berry, como una que en su lugar dice: "... no nombrable en menos ...", el término "nombrable" es también uno que tiene esta ambigüedad sistemática. Términos de este tipo dan lugar a falacias del círculo vicioso . Otros términos con este tipo de ambigüedad son: satisfactorio, verdadero, falso, función, propiedad, clase, relación, cardinal y ordinal. Resolver una de estas paradojas significa señalar exactamente dónde salió mal nuestro uso del lenguaje y establecer restricciones sobre el uso del lenguaje que puedan evitarlas.

Esta familia de paradojas se puede resolver incorporando estratificaciones de significado en el lenguaje. Los términos con ambigüedad sistemática pueden escribirse con subíndices que denotan que un nivel de significado se considera de mayor prioridad que otro en su interpretación. "El número que no se puede nombrar como 0 en menos de once palabras" puede ser nombrable como 1 en menos de once palabras bajo este esquema.

Análogos formales

Usando programas o pruebas de longitudes limitadas, es posible construir un análogo de la expresión de Berry en un lenguaje matemático formal, como lo ha hecho Gregory Chaitin . Aunque el análogo formal no conduce a una contradicción lógica, sí demuestra ciertos resultados de imposibilidad.

George Boolos (1989) se basó en una versión formalizada de la paradoja de Berry para probar el teorema de incompletitud de Gödel de una manera nueva y mucho más simple. La idea básica de su demostración es que una proposición que se cumple de x si y solo si x = n para algún número natural n puede llamarse una definición de n , y que el conjunto {( n , k ): n tiene una definición que tiene k símbolos de longitud} puede mostrarse como representable (utilizando números de Gödel ). Entonces, la proposición " m es el primer número no definible en menos de k símbolos" puede formalizarse y demostrarse que es una definición en el sentido que se acaba de expresar.

Relación con la complejidad de Kolmogorov

Artículo principal: complejidad de Kolmogorov

En general, no es posible definir de manera inequívoca cuál es el número mínimo de símbolos necesarios para describir una cadena determinada (dado un mecanismo de descripción específico). En este contexto, los términos cadena y número pueden usarse indistintamente, ya que un número es en realidad una cadena de símbolos, por ejemplo, una palabra en inglés (como la palabra "once" usada en la paradoja) mientras que, por otro lado, es posible para hacer referencia a cualquier palabra con un número, por ejemplo, por el número de su posición en un diccionario dado o por una codificación adecuada. Algunas cadenas largas se pueden describir exactamente usando menos símbolos de los requeridos por su representación completa, como a menudo se logra usando la compresión de datos . La complejidad de una cadena dada se define entonces como la longitud mínima que requiere una descripción para (sin ambigüedades) referirse a la representación completa de esa cadena.

La complejidad de Kolmogorov se define utilizando lenguajes formales , o máquinas de Turing, lo que evita ambigüedades sobre qué cadena resulta de una descripción dada. Se puede demostrar que la complejidad de Kolmogorov no es computable. La prueba por contradicción muestra que si fuera posible calcular la complejidad de Kolmogorov, también sería posible generar sistemáticamente paradojas similares a esta, es decir, descripciones más cortas de lo que implica la complejidad de la cadena descrita. Es decir, la definición del número de Berry es paradójica porque en realidad no es posible calcular cuántas palabras se requieren para definir un número, y sabemos que tal cálculo no es posible debido a la paradoja.

Ver también

Notas

Referencias

enlaces externos