Teoría de la representación del grupo simétrico - Representation theory of the symmetric group

En matemáticas , la teoría de la representación del grupo simétrico es un caso particular de la teoría de la representación de grupos finitos , para lo cual se puede obtener una teoría concreta y detallada. Esto tiene una gran área de aplicaciones potenciales, desde la teoría de funciones simétricas hasta problemas de mecánica cuántica para varias partículas idénticas .

El grupo simétrico S _n tiene orden n !. Sus clases de conjugación están etiquetadas por particiones de n . Por lo tanto, de acuerdo con la teoría de la representación de un grupo finito, el número de representaciones irreductibles inequivalentes , sobre los números complejos , es igual al número de particiones de n . A diferencia de la situación general para grupos finitos, de hecho existe una forma natural de parametrizar representaciones irreductibles mediante el mismo conjunto que parametriza clases de conjugación, es decir, mediante particiones de n o diagramas de Young equivalentes de tamaño n .

De hecho, cada una de estas representaciones irreductibles se puede realizar sobre los números enteros (cada permutación actúa mediante una matriz con coeficientes enteros); se puede construir explícitamente calculando los simetrizadores de Young que actúan sobre un espacio generado por los cuadros de forma de Young dados por el diagrama de Young. La dimensión de la representación que corresponde al diagrama de Young viene dada por la fórmula de la longitud del gancho . ${\ Displaystyle d _ {\ lambda}}$ ${\ Displaystyle \ lambda}$

A cada representación irreductible ρ podemos asociar un carácter irreducible, χ ^ρ . Para calcular χ ^ρ (π) donde π es una permutación, se puede usar la regla combinatoria de Murnaghan-Nakayama . Tenga en cuenta que χ ^ρ es constante en las clases de conjugación, es decir, χ ^ρ (π) = χ ^ρ (σ ⁻¹ πσ) para todas las permutaciones σ.

En otros campos, la situación puede volverse mucho más complicada. Si el campo K tiene una característica igual a cero o mayor que n, entonces, según el teorema de Maschke, el álgebra de grupos K S _n es semisimple. En estos casos, las representaciones irreductibles definidas sobre los enteros dan el conjunto completo de representaciones irreducibles (después de la reducción módulo la característica si es necesario).

Sin embargo, las representaciones irreductibles del grupo simétrico no se conocen en característica arbitraria. En este contexto, es más habitual utilizar el lenguaje de módulos en lugar de representaciones. La representación obtenida de una representación irreductible definida sobre los enteros reduciendo módulo la característica no será en general irreductible. Los módulos así construidos se denominan módulos de Specht , y todo irreductible surge dentro de algún módulo de este tipo. Ahora hay menos irreductibles y, aunque se pueden clasificar, se comprenden muy poco. Por ejemplo, incluso sus dimensiones no se conocen en general.

La determinación de los módulos irreductibles para el grupo simétrico sobre un campo arbitrario es ampliamente considerada como uno de los problemas abiertos más importantes en la teoría de la representación.

Representaciones de baja dimensión

Grupos simétricos

Las representaciones de dimensiones más bajas de los grupos simétricos se pueden describir explícitamente, como se hace en ( Burnside 1955 , p. 468). Este trabajo se extendió a los k grados más pequeños (explícitamente para k = 4 y k = 7 ) en ( Rasala 1977 ), y sobre campos arbitrarios en ( James 1983 ). Los dos grados más pequeños en la característica cero se describen aquí:

Cada grupo simétrico tiene una representación unidimensional llamada representación trivial , donde cada elemento actúa como la matriz de identidad uno por uno. Para n ≥ 2 , existe otra representación irreductible de grado 1, llamada representación de signo o carácter alterno , que toma una permutación a la matriz uno por uno con entrada ± 1 basada en el signo de la permutación . Estas son las únicas representaciones unidimensionales de los grupos simétricos, ya que las representaciones unidimensionales son abelianas y la abelianización del grupo simétrico es C ₂ , el grupo cíclico de orden 2.

¡Para todo n , hay una representación n- dimensional del grupo simétrico de orden n! , llamó al representación de permutación natural , que consiste en permutarncoordenadas. Esto tiene la subrepresentación trivial que consiste en vectores cuyas coordenadas son todas iguales. El complemento ortogonal consiste en aquellos vectores cuyas coordenadas suman cero, y cuando n ≥ 2, la representación en este subespacio es unarepresentación irreducible( n - 1)dimensional, llamadarepresentación estándar. Otrarepresentación irreductible( n - 1)dimensional se encuentra tensando con la representación del signo. Unpoder exterior de la representación estándares irreductible proporcionado(Fulton & Harris 2004). ${\ Displaystyle \ Lambda ^ {k} V}$ ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle 0 \ leq k \ leq n-1}$

Para n ≥ 7 , estas son las representaciones irreductibles de menor dimensión de S _n ; todas las demás representaciones irreducibles tienen dimensión al menos n . Sin embargo, para n = 4 , la sobreyección de S ₄ a S ₃ permite que S ₄ herede una representación bidimensional irreducible. Para n = 6 , la incorporación transitiva excepcional de S ₅ en S ₆ produce otro par de representaciones irreductibles de cinco dimensiones.

Representación irreducible de ${\ Displaystyle S_ {n}}$	Dimensión	Diagrama joven de tamaño ${\ Displaystyle n}$
Representación trivial	${\ Displaystyle 1}$	${\ Displaystyle (n)}$
Representación de signos	${\ Displaystyle 1}$	${\ displaystyle (1 ^ {n}) = (1,1, \ dots, 1)}$
Representación estándar ${\ Displaystyle V}$	${\ Displaystyle n-1}$	${\ Displaystyle (n-1,1)}$
Poder exterior ${\ Displaystyle \ Lambda ^ {k} V}$	${\ Displaystyle {\ binom {n-1} {k}}}$	${\ Displaystyle (nk, 1 ^ {k})}$

Grupos alternos

El compuesto de cinco tetraedros , sobre el que actúa A ₅ , da una representación tridimensional.

La teoría de la representación de los grupos alternos es similar, aunque la representación del signo desaparece. Para n ≥ 7 , las representaciones irreductibles de menor dimensión son la representación trivial en la dimensión uno, y la representación ( n - 1) -dimensional del otro sumando de la representación de permutación, con todas las demás representaciones irreductibles que tienen una dimensión superior, pero hay excepciones para n .

Los grupos alternos para n ≥ 5 tienen solo una representación irreducible unidimensional, la representación trivial. Para n = 3, 4 hay dos representaciones irreductibles unidimensionales adicionales, correspondientes a mapas del grupo cíclico de orden 3: A ₃ ≅ C ₃ y A ₄ → A ₄ / V ≅ C ₃ .

Para n ≥ 7 , solo hay una representación irreductible de grado n - 1 , y este es el grado más pequeño de una representación irreducible no trivial.
Para n = 3, el análogo obvio de la representación ( n - 1) -dimensional es reducible: la representación de permutación coincide con la representación regular y, por lo tanto, se divide en las tres representaciones unidimensionales, ya que A ₃ ≅ C ₃ es abeliano; ver la transformada discreta de Fourier para la teoría de representación de grupos cíclicos.
Para n = 4 , solo hay una representación irreducible n - 1 , pero existen las representaciones irreductibles excepcionales de la dimensión 1.
Para n = 5 , hay dos representaciones duales irreducibles de dimensión 3, correspondientes a su acción como simetría icosaédrica .
Para n = 6 , hay una representación irreductible extra de la dimensión 5 correspondiente a la incorporación transitiva excepcional de A ₅ en A ₆ .

Productos tensoriales de representaciones

Coeficientes de Kronecker

El producto tensorial de dos representaciones correspondientes a los diagramas de Young es una combinación de representaciones irreductibles de , ${\ Displaystyle S_ {n}}$ ${\ Displaystyle \ lambda, \ mu}$ ${\ Displaystyle S_ {n}}$

{\ Displaystyle V _ {\ lambda} \ otimes V _ {\ mu} \ cong \ sum _ {\ nu} C _ {\ lambda, \ mu, \ nu} V _ {\ nu}}

Los coeficientes se denominan coeficientes de Kronecker del grupo simétrico. Se pueden calcular a partir de los caracteres de las representaciones ( Fulton y Harris 2004 ): ${\ Displaystyle C _ {\ lambda \ mu \ nu} \ in \ mathbb {N}}$

{\ Displaystyle C _ {\ lambda, \ mu, \ nu} = \ sum _ {\ rho} {\ frac {1} {z _ {\ rho}}} \ chi _ {\ lambda} (C _ {\ rho}) \ chi _ {\ mu} (C _ {\ rho}) \ chi _ {\ nu} (C _ {\ rho})}

La suma es sobre particiones de , con las clases de conjugación correspondientes. Los valores de los caracteres se pueden calcular utilizando la fórmula de Frobenius . Los coeficientes son ${\ Displaystyle \ rho}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle C _ {\ rho}}$ ${\ Displaystyle \ chi _ {\ lambda} (C _ {\ rho})}$ ${\ Displaystyle z _ {\ rho}}$

{\ Displaystyle z _ {\ rho} = \ prod _ {j = 0} ^ {n} j ^ {i_ {j}} i_ {j}! = {\ frac {n!} {| C _ {\ rho} | }}}

donde es el número de veces que aparece , de modo que . ${\ Displaystyle i_ {j}}$ ${\ Displaystyle j}$ ${\ Displaystyle \ rho}$ ${\ Displaystyle \ sum i_ {j} j = n}$

Algunos ejemplos, escritos en términos de diagramas de Young ( Hamermesh 1989 ):

{\ Displaystyle (n-1,1) \ otimes (n-1,1) \ cong (n) + (n-1,1) + (n-2,2) + (n-2,1,1) }

{\ Displaystyle (n-1,1) \ otimes (n-2,2) {\ underset {n> 4} {\ cong}} (n-1,1) + (n-2,2) + (n -2,1,1) + (n-3,3) + (n-3,2,1)}

{\ Displaystyle (n-1,1) \ otimes (n-2,1,1) \ cong (n-1,1) + (n-2,2) + (n-2,1,1) + ( n-3,2,1) + (n-3,1,1,1)}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} (n-2,2) \ otimes (n-2,2) \ cong & (n) + (n-1,1) +2 (n-2,2) + ( n-2,1,1) + (n-3,3) \\ & + 2 (n-3,2,1) + (n-3,1,1,1) + (n-4,4) + (n-4,3,1) + (n-4,2,2) \ end {alineado}}}

Existe una regla simple para calcular cualquier diagrama de Young ( Hamermesh 1989 ): el resultado es la suma de todos los diagramas de Young que se obtienen al eliminar un cuadro y luego agregar un cuadro, donde los coeficientes son uno excepto para él mismo, cuyo coeficiente es , es decir, el número de diferentes longitudes de fila menos uno. ${\ Displaystyle (n-1,1) \ otimes \ lambda}$ ${\ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle \ # \ {\ lambda _ {i} \} - 1}$

Una restricción sobre los componentes irreductibles de es ( James y Kerber 1981 ) ${\ Displaystyle V _ {\ lambda} \ otimes V _ {\ mu}}$

{\ Displaystyle C _ {\ lambda, \ mu, \ nu}> 0 \ implica | d _ {\ lambda} -d _ {\ mu} | \ leq d _ {\ nu} \ leq d _ {\ lambda} + d _ {\ mu }}

donde la profundidad de un diagrama de Young es el número de cajas que no pertenecen a la primera fila. ${\ Displaystyle d _ {\ lambda} = n- \ lambda _ {1}}$

Coeficientes de Kronecker reducidos

Para un diagrama de Young y , es un diagrama de tamaño de Young . Entonces es una función acotada, no decreciente de , y ${\ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle n \ geq \ lambda _ {1}}$ ${\ Displaystyle \ lambda [n] = (n- | \ lambda |, \ lambda)}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle C _ {\ lambda [n], \ mu [n], \ nu [n]}}$ ${\ Displaystyle n}$

{\ displaystyle {\ bar {C}} _ ​​{\ lambda, \ mu, \ nu} = \ lim _ {n \ to \ infty} C _ {\ lambda [n], \ mu [n], \ nu [n ]}}

se denomina coeficiente de Kronecker reducido o coeficiente de Kronecker estable . Hay límites conocidos en el valor de donde alcanza su límite. Los coeficientes de Kronecker reducidos son constantes de estructura de categorías de representaciones de con de Deligne . ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle C _ {\ lambda [n], \ mu [n], \ nu [n]}}$ ${\ Displaystyle S_ {n}}$ ${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {C} - \ mathbb {N}}$

A diferencia de los coeficientes de Kronecker, los coeficientes de Kronecker reducidos se definen para cualquier triple de los diagramas de Young, no necesariamente del mismo tamaño. Si , entonces coincide con el coeficiente de Littlewood-Richardson . Los coeficientes de Kronecker reducidos se pueden escribir como combinaciones lineales de coeficientes de Littlewood-Richardson mediante un cambio de bases en el espacio de funciones simétricas, dando lugar a expresiones que son manifiestamente integrales aunque no manifiestamente positivas. Los coeficientes de Kronecker reducidos también se pueden escribir en términos de los coeficientes de Kronecker y Littlewood-Richardson mediante la fórmula de Littlewood ${\ Displaystyle | \ nu | = | \ lambda | + | \ mu |}$ ${\ displaystyle {\ bar {C}} _ {\ lambda, \ mu, \ nu}}$ ${\ Displaystyle c _ {\ lambda, \ mu} ^ {\ nu}}$ ${\ Displaystyle c _ {\ alpha \ beta \ gamma} ^ {\ lambda}}$

{\ Displaystyle {\ bar {C}} _ ​​{\ lambda, \ mu, \ nu} = \ sum _ {\ lambda ', \ mu', \ nu ', \ alpha, \ beta, \ gamma} C _ {\ lambda ', \ mu', \ nu '} c _ {\ lambda' \ beta \ gamma} ^ {\ lambda} c _ {\ mu '\ alpha \ gamma} ^ {\ mu} c _ {\ nu' \ alpha \ beta } ^ {\ nu}}

Por el contrario, es posible recuperar los coeficientes de Kronecker como combinaciones lineales de coeficientes de Kronecker reducidos.

Los coeficientes de Kronecker reducidos se implementan en el sistema de álgebra computacional SageMath .

Ver también

Notas

Referencias

Burnside, William (1955), Teoría de grupos de orden finito , Nueva York: Dover Publications , MR 0069818
Fulton, William; Harris, Joe (2004). "Teoría de la Representación". Textos de Posgrado en Matemáticas . Nueva York, NY: Springer New York. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-3-540-00539-1. ISSN 0072-5285 .
Hamermesh, M. (1989). Teoría de grupos y su aplicación a problemas físicos . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-66181-4. OCLC 20218471 .
James, Gordon; Kerber, Adalbert (1981), La teoría de la representación del grupo simétrico , Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones, 16 , Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass., ISBN 978-0-201-13515-2, MR 0644144
James, GD (1983), "Sobre las dimensiones mínimas de las representaciones irreductibles de grupos simétricos", Procedimientos matemáticos de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 94 (3): 417–424, Código de Bibliografía : 1983MPCPS..94..417J , doi : 10.1017 / S0305004100000803 , ISSN 0305 hasta 0041 , MR 0720791
Rasala, Richard (1977), "Sobre los grados mínimos de los caracteres de Sn", Journal of Algebra , 45 (1): 132-181, doi : 10.1016 / 0021-8693 (77) 90366-0 , ISSN 0021-8693 , Señor 0427445

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