Teorema de no comunicación - No-communication theorem

En física , el teorema de no comunicación o el principio de no señalización es un teorema de no ir de la teoría de la información cuántica que establece que, durante la medición de un estado cuántico entrelazado , no es posible para un observador, haciendo una medición de un subsistema. del estado total, para comunicar información a otro observador. El teorema es importante porque, en la mecánica cuántica , el entrelazamiento cuántico es un efecto mediante el cual ciertos eventos ampliamente separados pueden correlacionarse de maneras que sugieren la posibilidad de una comunicación más rápida que la luz . El teorema de la no comunicación da condiciones bajo las cuales tal transferencia de información entre dos observadores es imposible. Estos resultados pueden aplicarse para comprender las llamadas paradojas de la mecánica cuántica , como la paradoja EPR , o las violaciones del realismo local obtenidas en las pruebas del teorema de Bell . En estos experimentos, el teorema de la no comunicación muestra que el fracaso del realismo local no conduce a lo que podría denominarse "comunicación espeluznante a distancia" (en analogía con el etiquetado de Einstein del entrelazamiento cuántico que requiere "acción espeluznante a distancia" en el supuesto de que QM esté completo).

Resumen informal

El teorema de la no comunicación establece que, dentro del contexto de la mecánica cuántica, no es posible transmitir bits clásicos de información por medio de estados puros o mixtos cuidadosamente preparados , ya sea entrelazados o no. El teorema no permite toda comunicación, no solo la comunicación más rápida que la luz, por medio de estados cuánticos compartidos. El teorema no solo permite la comunicación de bits enteros, sino incluso fracciones de bit. Es importante tener en cuenta esto, ya que hay muchas técnicas clásicas de codificación de comunicaciones por radio que pueden enviar fracciones de bit arbitrariamente pequeñas a través de canales de comunicaciones ruidosos y arbitrariamente estrechos . En particular, uno puede imaginar que hay algún conjunto que se puede preparar, con pequeñas porciones del conjunto comunicando una fracción de bit; esto tampoco es posible.

El teorema se basa en la presunción básica de que se cumplen las leyes de la mecánica cuántica. Teoremas similares pueden o no ser válidos para otras teorías relacionadas, como las teorías de variables ocultas . El teorema de la no comunicación no pretende restringir otras teorías no mecánicas cuánticas.

El supuesto básico de entrar en el teorema es que un sistema mecánico-cuántico se prepara en un estado inicial, y que este estado inicial es descriptible como un estado mixto o puro en un espacio de Hilbert H . Luego, el sistema evoluciona con el tiempo de tal manera que hay dos partes espacialmente distintas, A y B , enviadas a dos observadores distintos, Alice y Bob , que son libres de realizar mediciones de mecánica cuántica en su parte del sistema total (es decir, A y B). La pregunta es: ¿hay alguna acción que Alice pueda realizar en A que Bob pueda detectar al hacer una observación de B? El teorema responde "no".

Una suposición importante que entra en el teorema es que ni Alice ni Bob pueden, de ninguna manera, afectar la preparación del estado inicial. Si a Alice se le permitiera participar en la preparación del estado inicial, sería trivialmente fácil para ella codificar un mensaje en él; por tanto, ni Alice ni Bob participan en la preparación del estado inicial. El teorema no requiere que el estado inicial sea de alguna manera "aleatorio", "equilibrado" o "uniforme": de hecho, un tercero que prepare el estado inicial podría codificar fácilmente mensajes en él, recibidos por Alice y Bob. Simplemente, el teorema establece que, dado algún estado inicial, preparado de alguna manera, no hay ninguna acción que Alice pueda realizar que pueda ser detectada por Bob.

La demostración procede definiendo cómo el espacio total de Hilbert H se puede dividir en dos partes, H _A y H _B , describiendo los subespacios accesibles para Alice y Bob. Se supone que el estado total del sistema se describe mediante una matriz de densidad σ. Esto parece ser una suposición razonable, ya que una matriz de densidad es suficiente para describir estados puros y mixtos en mecánica cuántica. Otra parte importante del teorema es que la medición se realiza aplicando un operador de proyección generalizado P al estado σ. De nuevo, esto es razonable, ya que los operadores de proyección dan la descripción matemática apropiada de las mediciones cuánticas . Después de una medición realizada por Alice, se dice que el estado del sistema total ha colapsado a un estado P (σ).

El objetivo del teorema es demostrar que Bob no puede de ninguna manera distinguir el estado previo a la medición σ del estado posterior a la medición P (σ). Esto se logra matemáticamente mediante la comparación de la huella de σ y la traza de P (σ), con la traza siendo tomado el subespacio H _A . Dado que la traza es solo sobre un subespacio, técnicamente se denomina traza parcial . La clave de este paso es la suposición de que la traza (parcial) resume adecuadamente el sistema desde el punto de vista de Bob. Es decir, todo lo que Bob tiene acceso, o podría tener acceso, medir o detectar, se describe completamente mediante una traza parcial sobre H _A del sistema σ. Nuevamente, esta es una suposición razonable, ya que es parte de la mecánica cuántica estándar. El hecho de que este rastro nunca cambie mientras Alice realiza sus mediciones es la conclusión de la prueba del teorema de no comunicación.

Formulación

La prueba del teorema se ilustra comúnmente para la configuración de las pruebas de Bell en las que dos observadores, Alice y Bob, realizan observaciones locales en un sistema bipartito común y utilizan la maquinaria estadística de la mecánica cuántica, a saber, estados de densidad y operaciones cuánticas .

Alice y Bob realizan mediciones en el sistema S cuyo espacio de Hilbert subyacente es

{\ Displaystyle H = H_ {A} \ otimes H_ {B}.}

También se asume que todo es de dimensión finita para evitar problemas de convergencia. El estado del sistema compuesto es dada por un operador densidad en H . Cualquier operador de densidad σ en H es una suma de la forma:

{\ Displaystyle \ sigma = \ sum _ {i} T_ {i} \ otimes S_ {i}}

donde T _i y S _i son operadores en H _A y H _B respectivamente. Para lo siguiente, no es necesario suponer que T _i y S _i son operadores de proyección de estado: es decir, no tienen por qué ser necesariamente no negativos ni tener rastros de uno. Es decir, σ puede tener una definición algo más amplia que la de una matriz de densidad; el teorema aún se mantiene. Tenga en cuenta que el teorema es trivial para estados separables . Si el estado compartido σ es separable, está claro que cualquier operación local de Alice dejará intacto el sistema de Bob. Por lo tanto, el punto del teorema es que no se puede lograr comunicación a través de un estado entrelazado compartido.

Alice realiza una medición local en su subsistema. En general, esto se describe mediante una operación cuántica, en el estado del sistema, del siguiente tipo

{\ Displaystyle P (\ sigma) = \ sum _ {k} (V_ {k} \ a veces I_ {H_ {B}}) ^ {*} \ \ sigma \ (V_ {k} \ a veces I_ {H_ {B }}),}

donde V _k se denominan matrices de Kraus que satisfacen

{\ Displaystyle \ sum _ {k} V_ {k} V_ {k} ^ {*} = I_ {H_ {A}}.}

El término

{\ Displaystyle I_ {H_ {B}}}

de la expresión

{\ Displaystyle (V_ {k} \ a veces I_ {H_ {B}})}

significa que el aparato de medición de Alice no interactúa con el subsistema de Bob.

Suponiendo que el sistema combinado se prepara en el estado σ y asumiendo, a los efectos de la argumentación, una situación no relativista, inmediatamente (sin retraso de tiempo) después de que Alice realiza su medición, el estado relativo del sistema de Bob viene dado por la traza parcial de la estado general con respecto al sistema de Alice. En símbolos, el estado relativo del sistema de Bob después de la operación de Alice es

{\ Displaystyle \ operatorname {tr} _ {H_ {A}} (P (\ sigma))}

donde está el mapeo de seguimiento parcial con respecto al sistema de Alice. ${\ Displaystyle \ operatorname {tr} _ {H_ {A}}}$

Se puede calcular directamente este estado:

{\ Displaystyle \ operatorname {tr} _ {H_ {A}} (P (\ sigma)) = \ operatorname {tr} _ {H_ {A}} \ left (\ sum _ {k} (V_ {k} \ a veces I_ {H_ {B}}) ^ {*} \ sigma (V_ {k} \ a veces I_ {H_ {B}}) \ right)}

{\ Displaystyle = \ operatorname {tr} _ {H_ {A}} \ left (\ sum _ {k} \ sum _ {i} V_ {k} ^ {*} T_ {i} V_ {k} \ otimes S_ {i} \ right)}

{\ Displaystyle = \ sum _ {i} \ sum _ {k} \ operatorname {tr} (V_ {k} ^ {*} T_ {i} V_ {k}) S_ {i}}

{\ Displaystyle = \ sum _ {i} \ sum _ {k} \ operatorname {tr} (T_ {i} V_ {k} V_ {k} ^ {*}) S_ {i}}

{\ Displaystyle = \ sum _ {i} \ operatorname {tr} \ left (T_ {i} \ sum _ {k} V_ {k} V_ {k} ^ {*} \ right) S_ {i}}

{\ Displaystyle = \ sum _ {i} \ operatorname {tr} (T_ {i}) S_ {i}}

{\ Displaystyle = \ operatorname {tr} _ {H_ {A}} (\ sigma).}

A partir de esto, se argumenta que, estadísticamente, Bob no puede diferenciar entre lo que hizo Alice y una medición aleatoria (o si hizo algo en absoluto).

Algunos comentarios

Si se permite que el operador de densidad evolucione bajo la influencia de interacciones no locales entre A y B, entonces, en general, el cálculo en la prueba ya no es válido, a menos que se asuman relaciones de conmutación adecuadas. ${\ Displaystyle P (\ sigma)}$
El teorema de no comunicación, por lo tanto, dice que el entrelazamiento compartido por sí solo no se puede utilizar para transmitir ninguna información. Compare esto con el teorema de no teletransportación , que establece que un canal de información clásico no puede transmitir información cuántica. (Por transmisión , nos referimos a la transmisión con total fidelidad). Sin embargo, los esquemas de teletransportación cuántica utilizan ambos recursos para lograr lo que es imposible para cualquiera de ellos por sí solo.
El teorema de no comunicación implica el teorema de no clonación , que establece que los estados cuánticos no se pueden copiar (perfectamente). Es decir, la clonación es condición suficiente para que se produzca la comunicación de información clásica. Para ver esto, suponga que los estados cuánticos se pueden clonar. Suponga que las partes de un estado de Bell con entrelazamiento máximo se distribuyen a Alice y Bob. Alice podría enviar bits a Bob de la siguiente manera: si Alice desea transmitir un "0", mide el giro de su electrón en la dirección z , colapsando el estado de Bob a o . Para transmitir "1", Alice no hace nada con su qubit . Bob crea muchas copias del estado de su electrón y mide el giro de cada copia en la dirección z . Bob sabrá que Alice ha transmitido un "0" si todas sus mediciones producirán el mismo resultado; de lo contrario, sus mediciones tendrán resultados o con igual probabilidad. Esto permitiría a Alice y Bob comunicar bits clásicos entre sí (posiblemente a través de separaciones espaciales , violando la causalidad ). ${\ Displaystyle | z + \ rangle _ {B}}$ ${\ Displaystyle | z- \ rangle _ {B}}$ ${\ Displaystyle | z + \ rangle _ {B}}$ ${\ Displaystyle | z- \ rangle _ {B}}$
La versión del teorema de no comunicación discutida en este artículo asume que el sistema cuántico compartido por Alice y Bob es un sistema compuesto, es decir, que su espacio de Hilbert subyacente es un producto tensorial cuyo primer factor describe la parte del sistema con la que Alice puede interactuar. con y cuyo segundo factor describe la parte del sistema con la que Bob puede interactuar. En la teoría cuántica de campos , esta suposición puede ser reemplazada por la suposición de que Alice y Bob están separados como un espacio . Esta versión alternativa del teorema de no comunicación muestra que la comunicación más rápida que la luz no se puede lograr utilizando procesos que obedezcan las reglas de la teoría cuántica de campos.
La prueba del teorema de no comunicación supone que todas las propiedades medibles del sistema de Bob se pueden calcular a partir de su matriz de densidad reducida, lo cual es cierto dada la regla de Born para calcular la probabilidad de realizar varias mediciones. Pero esta equivalencia con la regla de Born también se puede derivar esencialmente en la dirección opuesta, ya que es posible demostrar que la regla de Born se sigue de la suposición de que los eventos separados de tipo espacial no pueden violar la causalidad al afectarse entre sí.

Ver también

Referencias

Hall, Michael JW (1987). "Medidas imprecisas y no localidad en mecánica cuántica". Physics Letters A . Elsevier BV. 125 (2-3): 89-91. doi : 10.1016 / 0375-9601 (87) 90127-7 . ISSN 0375-9601 .
Ghirardi, GC ; Grassi, R; Rimini, A; Weber, T (15 de mayo de 1988). "Los experimentos del tipo EPR que involucran la violación de CP no permiten una comunicación más rápida que la luz entre observadores distantes". Cartas de Europhysics (EPL) . Publicación de IOP. 6 (2): 95–100. doi : 10.1209 / 0295-5075 / 6/2/001 . ISSN 0295-5075 .
Florig, Martin; Summers, Stephen J. (1997). "Sobre la independencia estadística de las álgebras de observables". Revista de Física Matemática . Publicaciones AIP. 38 (3): 1318-1328. doi : 10.1063 / 1.531812 . ISSN 0022-2488 .

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