Estado separable - Separable state

En la mecánica cuántica , los estados separables son estados cuánticos que pertenecen a un espacio compuesto que se pueden factorizar en estados individuales que pertenecen a subespacios separados. Se dice que un estado está enredado si no es separable. En general, determinar si un estado es separable no es sencillo y el problema se clasifica como NP-difícil .

Separabilidad de los sistemas bipartitos

Estados puros

Para simplificar, lo siguiente supone que todos los espacios de estados relevantes son de dimensión finita. Primero, considere la separabilidad para estados puros .

Sean y sean espacios de estados de la mecánica cuántica, es decir, espacios de Hilbert de dimensión finita con estados de base y , respectivamente. Por un postulado de la mecánica cuántica , el espacio de estados del sistema compuesto viene dado por el producto tensorial${\ Displaystyle H_ {1}}$${\ Displaystyle H_ {2}}$${\ Displaystyle \ {| {a_ {i}} \ rangle \} _ {i = 1} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ {| {b_ {j}} \ rangle \} _ {j = 1} ^ {m}}$

${\ Displaystyle H_ {1} \ otimes H_ {2}}$

con estados base , o en notación más compacta . Desde la propia definición del producto tensorial, cualquier vector de norma 1, es decir, un estado puro del sistema compuesto, puede escribirse como ${\ Displaystyle \ {| {a_ {i}} \ rangle \ otimes | {b_ {j}} \ rangle \}}$${\ Displaystyle \ {| a_ {i} b_ {j} \ rangle \}}$

${\ Displaystyle | \ psi \ rangle = \ sum _ {i, j} c_ {i, j} (| a_ {i} \ rangle \ otimes | b_ {j} \ rangle) = \ sum _ {i, j} c_ {i, j} | a_ {i} b_ {j} \ rangle,}$

donde es una constante. Si un estado puro se puede escribir en la forma donde es un estado puro del i-ésimo subsistema, se dice que es separable . De lo contrario, se llama entrelazado . Cuando un sistema está en un estado puro entrelazado, no es posible asignar estados a sus subsistemas. Esto será cierto, en el sentido apropiado, también para el caso de estado mixto. ${\ Displaystyle c_ {i, j}}$${\ Displaystyle | \ psi \ rangle \ in H_ {1} \ otimes H_ {2}}$${\ Displaystyle | \ psi \ rangle = | \ psi _ {1} \ rangle \ otimes | \ psi _ {2} \ rangle}$${\ Displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle}$

Formalmente, la incrustación de un producto de estados en el espacio del producto viene dada por la incrustación de Segre . Es decir, un estado puro de mecánica cuántica es separable si y solo si está en la imagen de la incrustación del Segre.

La discusión anterior se puede extender al caso de cuando el espacio de estados es de dimensión infinita sin prácticamente nada cambiado.

Estados mixtos

Considere el caso del estado mixto. Un estado mixto del sistema compuesto se describe mediante una matriz de densidad que actúa sobre él . ρ es separable si existe , y que son estados mixtos de los respectivos subsistemas de manera que ${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle H_ {1} \ otimes H_ {2}}$${\ Displaystyle p_ {k} \ geq 0}$${\ Displaystyle \ {\ rho _ {1} ^ {k} \}}$${\ Displaystyle \ {\ rho _ {2} ^ {k} \}}$

${\ Displaystyle \ rho = \ sum _ {k} p_ {k} \ rho _ {1} ^ {k} \ otimes \ rho _ {2} ^ {k}}$

dónde

${\ Displaystyle \; \ sum _ {k} p_ {k} = 1.}$

De lo contrario, se denomina estado entrelazado. Podemos suponer sin pérdida de generalidad en la expresión anterior que y son todas proyecciones de rango 1, es decir, representan conjuntos puros de los subsistemas apropiados. De la definición se desprende claramente que la familia de estados separables es un conjunto convexo . ${\ Displaystyle \ rho}$${\ Displaystyle \ {\ rho _ {1} ^ {k} \}}$${\ Displaystyle \ {\ rho _ {2} ^ {k} \}}$

Observe que, de nuevo a partir de la definición del producto tensorial, cualquier matriz de densidad, de hecho cualquier matriz que actúe sobre el espacio de estados compuestos, puede escribirse trivialmente en la forma deseada, si descartamos el requisito de que y son estados en sí mismos y Si estos requisitos son satisfecho, entonces podemos interpretar el estado total como una distribución de probabilidad sobre estados de producto no correlacionados . ${\ Displaystyle \ {\ rho _ {1} ^ {k} \}}$${\ Displaystyle \ {\ rho _ {2} ^ {k} \}}$${\ Displaystyle \; \ sum _ {k} p_ {k} = 1.}$

En términos de canales cuánticos , se puede crear un estado separable de cualquier otro estado utilizando acciones locales y comunicación clásica, mientras que un estado entrelazado no puede.

Cuando los espacios de estado son de dimensión infinita, las matrices de densidad se reemplazan por operadores de clase de traza positivos con traza 1, y un estado es separable si se puede aproximar, en la norma de trazas, por estados de la forma anterior.

Si solo hay un único distinto de cero , entonces el estado se puede expresar como y se llama simplemente estado separable o producto . Una propiedad del estado del producto es que, en términos de entropía , ${\ Displaystyle p_ {k}}$${\ textstyle \ rho = \ rho _ {1} \ otimes \ rho _ {2},}$

${\ Displaystyle S (\ rho) = S (\ rho _ {1}) + S (\ rho _ {2}).}$

Extendiéndose al caso multipartito

La discusión anterior se generaliza fácilmente al caso de un sistema cuántico que consta de más de dos subsistemas. Supongamos que un sistema tiene n subsistemas y tiene espacio de estados . Un estado puro es separable si toma la forma ${\ Displaystyle H = H_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes H_ {n}}$${\ Displaystyle | \ psi \ rangle \ in H}$

${\ Displaystyle | \ psi \ rangle = | \ psi _ {1} \ rangle \ otimes \ cdots \ otimes | \ psi _ {n} \ rangle.}$

De manera similar, un estado mixto ρ que actúa sobre H es separable si es una suma convexa

${\ Displaystyle \ rho = \ sum _ {k} p_ {k} \ rho _ {1} ^ {k} \ otimes \ cdots \ otimes \ rho _ {n} ^ {k}.}$

O, en el caso de dimensión infinita, ρ es separable si se puede aproximar en la norma de seguimiento por estados de la forma anterior.

Criterio de separabilidad

El problema de decidir si un estado es separable en general se denomina a veces problema de separabilidad.en la teoría de la información cuántica . Se considera un problema difícil. Se ha demostrado que es NP-duro . Se puede obtener alguna apreciación de esta dificultad si se intenta resolver el problema empleando el enfoque de fuerza bruta directa, para una dimensión fija. Vemos que el problema se vuelve rápidamente intratable, incluso para dimensiones reducidas. Por tanto, se requieren formulaciones más sofisticadas. El problema de la separabilidad es un tema de investigación actual.

Un criterio de separabilidad es una condición necesaria que un estado debe satisfacer para ser separable. En los casos de baja dimensión ( 2 X 2 y 2 X 3 ), el criterio de Peres-Horodecki es en realidad una condición necesaria y suficiente para la separabilidad. Otros criterios de separabilidad incluyen (pero no se limitan a) el criterio de rango , el criterio de reducción y aquellos basados ​​en relaciones de incertidumbre. Ver ref. para una revisión de los criterios de separabilidad en sistemas de variables discretas.

En sistemas de variables continuas, también se aplica el criterio de Peres-Horodecki . Específicamente, Simon formuló una versión particular del criterio de Peres-Horodecki en términos de los momentos de segundo orden de los operadores canónicos y mostró que es necesario y suficiente para los estados gaussianos de modo -modo (ver Ref. Para un enfoque aparentemente diferente pero esencialmente equivalente) . Más tarde se descubrió que la condición de Simon también es necesaria y suficiente para los estados en modo gaussiano, pero ya no es suficiente para los estados en modo gaussiano. La condición de Simon se puede generalizar teniendo en cuenta los momentos de orden superior de los operadores canónicos o utilizando medidas entrópicas. ${\ Displaystyle 1 \ oplus 1}$${\ Displaystyle 1 \ oplus n}$${\ Displaystyle 2 \ oplus 2}$

Caracterización mediante geometría algebraica

La mecánica cuántica puede modelarse en un espacio proyectivo de Hilbert , y el producto categórico de dos de esos espacios es la incrustación de Segre . En el caso bipartito, un estado cuántico es separable si y solo si se encuentra en la imagen de la incrustación de Segre. Jon Magne Leinaas , Jan Myrheim y Eirik Ovrum en su artículo "Aspectos geométricos del entrelazamiento" describen el problema y estudian la geometría de los estados separables como un subconjunto de las matrices de estados generales. Este subconjunto tiene alguna intersección con el subconjunto de estados que mantienen el criterio de Peres-Horodecki . En este artículo, Leinaas et al. también dan un enfoque numérico para probar la separabilidad en el caso general.

Prueba de separabilidad

La prueba de separabilidad en el caso general es un problema NP-difícil . Leinaas et. Alabama. formuló un algoritmo probabilístico iterativo para probar si un estado dado es separable. Cuando el algoritmo tiene éxito, proporciona una representación aleatoria explícita del estado dado como un estado separable. De lo contrario, da la distancia entre el estado dado y el estado separable más cercano que puede encontrar.

Ver también

• Testigo de enredo

Referencias

enlaces externos

• Aplicación web "StateSeparator"