Criterio de reducción - Reduction criterion

En la teoría de la información cuántica , el criterio de reducción es una condición necesaria que debe satisfacer un estado mixto para que sea separable . En otras palabras, el criterio de reducción es un criterio de separabilidad . Se probó por primera vez y se formuló de forma independiente en 1999. La violación del criterio de reducción está estrechamente relacionada con la destilabilidad del estado en cuestión.

Detalles

Deje H ₁ y H ₂ sea los espacios de Hilbert de dimensiones finitas n y m , respectivamente. L ( H _i ) denotará el espacio de operadores lineales que actúan sobre H _i . Considere un sistema cuántico bipartito cuyo espacio de estados es el producto tensorial

${\ Displaystyle H = H_ {1} \ otimes H_ {2}.}$

Un estado (no normalizado) mixto ρ es un operador lineal positiva (matriz de densidad) que actúa sobre H .

Un mapa lineal Φ: L ( H ₂ ) → L ( H ₁ ) se dice que es positivo si conserva el cono de elementos positivos, es decir, A es positivo implícito que Φ ( A ) también lo es.

De la correspondencia uno a uno entre mapas positivos y testigos de entrelazamiento , tenemos que un estado ρ está entrelazado si y solo si existe un mapa positivo Φ tal que

${\ Displaystyle (I \ otimes \ Phi) (\ rho)}$

no es positivo. Por lo tanto, si ρ es separable, entonces para todo mapa positivo Φ,

${\ Displaystyle (I \ otimes \ Phi) (\ rho) \ geq 0.}$

Así, todo mapa positivo, pero no completamente positivo , Φ da lugar a una condición necesaria para la separabilidad de esta manera. El criterio de reducción es un ejemplo particular de esto.

Suponga que H ₁ = H ₂ . Defina el mapa positivo Φ: L ( H ₂ ) → L ( H ₁ ) por

${\ Displaystyle \ Phi (A) = \ operatorname {Tr} AA.}$

Se sabe que Φ es positivo pero no completamente positivo. Entonces, un estado mixto ρ separable implica

${\ Displaystyle (I \ otimes \ Phi) (\ rho) \ geq 0.}$

El cálculo directo muestra que la expresión anterior es la misma que

${\ Displaystyle I \ otimes \ rho _ {1} - \ rho \ geq 0}$

donde ρ ₁ es la traza parcial de ρ con respecto al segundo sistema. La relación dual

${\ Displaystyle \ rho _ {2} \ a veces I- \ rho \ geq 0}$

se obtiene de forma análoga. El criterio de reducción consta de las dos desigualdades anteriores.

Conexión con los límites de Fréchet

Las dos últimas desigualdades anteriores junto con los límites inferiores para ρ se pueden ver como desigualdades cuánticas de Fréchet , es decir, como el análogo cuántico de los límites probabilísticos de Fréchet clásicos , que se cumplen para estados cuánticos separables . Los límites superiores son los anteriores , y los límites inferiores son la limitación obvia junto con , donde son matrices identidad de dimensiones adecuadas. Los límites inferiores se han obtenido en. Estos límites se satisfacen mediante matrices de densidad separables, mientras que los estados entrelazados pueden violarlos . Los estados entrelazados exhiben una forma de dependencia estocástica más fuerte que la dependencia clásica más fuerte y de hecho violan los límites de Fréchet. También vale la pena mencionar que es posible dar una interpretación bayesiana de estos límites. ${\ Displaystyle I \ otimes \ rho _ {1} \ geq \ rho}$${\ Displaystyle \ rho _ {2} \ a veces I \ geq \ rho}$${\ Displaystyle \ rho \ geq 0}$${\ Displaystyle \ rho \ geq I \ otimes \ rho _ {1} + \ rho _ {2} \ otimes II}$${\ Displaystyle I}$

Referencias