Homología Morse - Morse homology

En matemáticas , específicamente en el campo de la topología diferencial , la homología de Morse es una teoría de homología definida para cualquier variedad suave . Se construye utilizando la estructura suave y una métrica auxiliar en la variedad, pero resulta ser topológicamente invariante y, de hecho, es isomorfo a la homología singular . La homología de Morse también sirve como modelo para las diversas generalizaciones de dimensión infinita conocidas como teorías de homología de Floer .

Definicion formal

Dado cualquier (compacto) suavizar colector, dejar que f sea una función de Morse y g un métrica de Riemann en el colector. (Estos son auxiliares; al final, la homología de Morse no depende de ninguno). El par nos da un campo de vector de gradiente . Decimos que es Morse-Smale si las variedades estables e inestables asociadas a todos los puntos críticos de f se intersecan transversalmente . ${\ Displaystyle (f, g)}$${\ Displaystyle (f, g)}$

Para cualquiera de estos pares , se puede demostrar que la diferencia de índice entre dos puntos críticos cualesquiera es igual a la dimensión del espacio de módulos de los flujos de gradiente entre esos puntos. Por tanto, existe un espacio de flujos de módulos unidimensionales entre un punto crítico de índice i y uno de índice . Cada flujo puede reparametrizarse mediante una traducción unidimensional en el dominio. Después de modificarse mediante estas reparametrizaciones, el espacio del cociente es de dimensión cero, es decir, una colección de puntos orientados que representan líneas de flujo no parametrizadas. ${\ Displaystyle (f, g)}$${\ Displaystyle i-1}$

Entonces, un complejo de cadena puede definirse como sigue. El conjunto de cadenas es el Z - módulo generado por los puntos críticos. El diferencial d del complejo envía un punto crítico p del índice i a una suma de puntos críticos del índice , con coeficientes correspondientes al número (con signo) de líneas de flujo no parametrizadas desde p a esos puntos críticos del índice . El hecho de que el número de tales líneas de flujo sea finito se deriva de la compacidad del espacio de los módulos. ${\ Displaystyle C _ {*} (M, (f, g))}$${\ Displaystyle (i-1)}$${\ Displaystyle (i-1)}$

El hecho de que esto defina un complejo de cadena (es decir, eso ) se deriva de una comprensión de cómo se compactan los espacios de módulos de los flujos de gradiente . Es decir, en el coeficiente de un punto crítico índice q es el número (con signo) de flujos interrumpidos que consta de un flujo índice-1 desde p hasta algún punto crítico r del índice y otro flujo índice-1 desde r hasta q . Estos flujos interrumpidos constituyen exactamente el límite del espacio de módulos de los flujos índice-2: se puede demostrar que el límite de cualquier secuencia de flujos continuos índice-2 es de esta forma, y ​​todos estos flujos rotos surgen como límites del índice-2 no interrumpido fluye. Los flujos de índice 2 no parametrizados vienen en familias unidimensionales, que se compactan para compactar un colector. El hecho de que el límite de un colector único compacto sea siempre cero lo prueba . ${\ displaystyle d ^ {2} = 0}$${\ Displaystyle d ^ {2} (p)}$${\ Displaystyle (i-2)}$${\ Displaystyle i-1}$${\ Displaystyle d ^ {2} (p) = 0}$

Invarianza de la homología Morse

Se puede demostrar que la homología de este complejo es independiente del par Morse-Smale ( f , g ) utilizado para definirlo. Siempre se puede definir una homotopía de pares ( f _t , g _t ) que se interpola entre dos pares dados ( f ₀ , g ₀ ) y ( f ₁ , g ₁ ). Ya sea a través del análisis de bifurcación o mediante el uso de un mapa de continuación para definir un mapa de cadena de a , se puede demostrar que las dos homologías de Morse son isomórficas. Los argumentos análogos que utilizan una homotopía de homotopías muestran que este isomorfismo es canónico. ${\ Displaystyle C _ {*} (M, (f_ {0}, g_ {0}))}$${\ Displaystyle C _ {*} (M, (f_ {1}, g_ {1}))}$

Otro enfoque para probar la invariancia de la homología de Morse es relacionarla directamente con la homología singular. Se puede definir un mapa de homología singular enviando un punto crítico a la cadena singular asociada a la variedad inestable asociada a ese punto; a la inversa, se envía una cadena singular a los puntos críticos límite alcanzados al hacer fluir la cadena utilizando el campo vectorial de gradiente. La forma más limpia de hacer esto de manera rigurosa es utilizar la teoría de las corrientes .

El isomorfismo con homología singular también se puede demostrar demostrando un isomorfismo con homología celular , viendo una variedad inestable asociada a un punto crítico del índice i como una i- celda, y mostrando que los mapas de límites en Morse y los complejos celulares se corresponden.

Construcciones relacionadas

Este enfoque de la teoría Morse era conocido de alguna forma por René Thom y Stephen Smale . También está implícito en el libro de John Milnor sobre el teorema del h-cobordismo .

Del hecho de que la homología de Morse es isomórfica a la homología singular, las desigualdades de Morse se siguen considerando el número de generadores, es decir, puntos críticos, necesarios para generar los grupos de homología de los rangos apropiados (y considerando truncamientos del complejo de Morse , para obtener las desigualdades más fuertes). La existencia de homología Morse "explica", en el sentido de categorización , las desigualdades Morse.

Edward Witten ideó una construcción relacionada a principios de la década de 1980, a veces conocida como teoría Morse-Witten .

La homología Morse se puede extender a variedades de dimensión finita no compacta o de dimensión infinita donde el índice permanece finito, la métrica es completa y la función satisface la condición de compacidad de Palais-Smale , como la energía funcional para geodésicas en una variedad de Riemann. La generalización a situaciones en las que tanto el índice como el coindex son infinitos, pero el índice relativo de cualquier par de puntos críticos es finito, se conoce como homología de Floer .

Sergei Novikov generalizó esta construcción a una teoría de homología asociada a una forma cerrada cerrada en una variedad. La homología de Morse es un caso especial para el df de una forma . Un caso especial de la teoría de Novikov es la teoría de Morse con valores circulares , que Michael Hutchings y Yi-Jen Lee han relacionado con la torsión de Reidemeister y la teoría de Seiberg-Witten .

Homología Morse-Bott

La homología de Morse se puede llevar a cabo en la configuración de Morse-Bott, es decir, cuando en lugar de puntos críticos no degenerados aislados, una función tiene variedades críticas cuyo espacio tangente en un punto coincide con el núcleo del Hessiano en el punto. Esta situación siempre ocurrirá, si la función considerada es invariante con un grupo de Lie no discreto.

Para describir el complejo de cadena resultante y su homología, introduzca una función Morse genérica en cada subvariedad crítica. Las cadenas consistirán en caminos que comienzan en una variedad crítica en un punto crítico de la función Morse auxiliar, siguiendo una trayectoria de gradiente con respecto a alguna métrica, y luego salen de la subvariedad para seguir el campo vectorial gradiente de la función Morse-Bott hasta que golpea alguna otra variedad crítica; fluye durante un tiempo a lo largo de una trayectoria de gradiente asociada a la función Morse en esa subvarietal crítica y luego fluye a otra subvarietal crítica, etc., o fluye a un punto crítico en la subvarietal original y termina. Ver (Frauenfelder). Este enfoque de la homología de Morse-Bott apareció en el contexto de un trabajo inédito para la homología de contacto de Bourgeois, en el que las subvariedades críticas son los conjuntos de órbitas de Reeb , y los flujos de gradiente entre las subvariedades críticas son curvas pseudoholomórficas en la simplificación de una variedad de contacto asintóticas a las órbitas de Reeb en las variedades críticas relevantes de las órbitas de Reeb. Si ampliamos cada función Morse a una función en toda la variedad soportada cerca de las subvariedades críticas, podemos escribir explícitamente una función Morse-Smale que perturbe la función Morse-Bott original. Es decir, multiplique cada una de las funciones extendidas por alguna pequeña constante positiva, súmelas y sume el resultado a la función Morse-Bott original. Los flujos interrumpidos descritos anteriormente serán C ⁰ cerca de las líneas de flujo de esta función Morse-Smale.

Referencias

• Banyaga, Augustin ; Hurtubise, David (2004). Conferencias sobre homología Morse . Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 1-4020-2695-1.
• Bott, Raoul (1988). "Teoría de Morse indomable" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 68 : 99-114. doi : 10.1007 / BF02698544 . S2CID  54005577 .
• Farber, Michael. Topología de One-Forms cerrados. Sociedad Americana de Matemáticas, 2004.
• Hutchings, Michael. Apuntes de conferencias sobre homología Morse (con miras a la teoría de Floer y las curvas pseudoholomórficas) .
• Kerman, Ely. Notas de la conferencia: de la homología Morse a la homología Floer
• Novikov, Sergei. Funciones y funcionales multivalor. Un análogo de la teoría Morse, la matemática soviética. Dokl. 24 (1981), págs. 222-226. Traducción de "Многозначные функции и функционалы. Аналог теории Морса". Doklady Akademii Nauk SSSR . 270 (1): 31–35.
• J. Jost, Geometría y análisis geométrico de Riemann, cuarta edición, Universitext, Springer, 2005
• Frauenfelder, Urs (2004). "La conjetura de Arnold-Givental y el momento de la homología de Floer" . Avisos internacionales de investigación en matemáticas . 2004 (42): 2179–2269. arXiv : matemáticas.SG / 0309373 . doi : 10.1155 / S1073792804133941 . Señor  2076142 .
• Witten, Edward (1982). "Supersimetría y teoría Morse". Revista de geometría diferencial . 17 (4): 661–692. doi : 10.4310 / jdg / 1214437492 .