Homología celular - Cellular homology

En matemáticas , la homología celular en topología algebraica es una teoría de homología para la categoría de complejos CW . Está de acuerdo con la homología singular y puede proporcionar un medio eficaz para calcular módulos de homología.

Definición

Si es un complejo CW con n- esqueleto , los módulos de homología celular se definen como los grupos de homología H _i del complejo de cadena celular${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X_ {n}}$

${\ Displaystyle \ cdots \ a {C_ {n + 1}} (X_ {n + 1}, X_ {n}) \ a {C_ {n}} (X_ {n}, X_ {n-1}) \ a {C_ {n-1}} (X_ {n-1}, X_ {n-2}) \ a \ cdots,}$

donde se toma como conjunto vacío. ${\ Displaystyle X _ {- 1}}$

El grupo

${\ Displaystyle {C_ {n}} (X_ {n}, X_ {n-1})}$

es abeliano libre , con generadores que se pueden identificar con las celdas de . Sea una celda de y sea ​​el mapa adjunto. Entonces considera la composición ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle e_ {n} ^ {\ alpha}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ chi _ {n} ^ {\ alpha}: \ e_ parcial {n} ^ {\ alpha} \ cong \ mathbb {S} ^ {n-1} \ to X_ {n-1}}$

${\ Displaystyle \ chi _ {n} ^ {\ alpha \ beta}: \ mathbb {S} ^ {n-1} \, {\ stackrel {\ cong} {\ longrightarrow}} \, \ parcial e_ {n} ^ {\ alpha} \, {\ stackrel {\ chi _ {n} ^ {\ alpha}} {\ longrightarrow}} \, X_ {n-1} \, {\ stackrel {q} {\ longrightarrow}} \ , X_ {n-1} / \ left (X_ {n-1} \ setminus e_ {n-1} ^ {\ beta} \ right) \, {\ stackrel {\ cong} {\ longrightarrow}} \, \ mathbb {S} ^ {n-1},}$

donde el primer mapa se identifica con a través del mapa característico de , el objeto es una -celda de X , el tercer mapa es el mapa del cociente que se colapsa a un punto (envuelto así en una esfera ), y el último mapa se identifica con a través de la característica mapa de . ${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {n-1}}$${\ Displaystyle \ parcial e_ {n} ^ {\ alpha}}$${\ Displaystyle \ Phi _ {n} ^ {\ alpha}}$${\ Displaystyle e_ {n} ^ {\ alpha}}$${\ Displaystyle e_ {n-1} ^ {\ beta}}$${\ Displaystyle (n-1)}$${\ Displaystyle q}$${\ Displaystyle X_ {n-1} \ setminus e_ {n-1} ^ {\ beta}}$${\ Displaystyle e_ {n-1} ^ {\ beta}}$${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {n-1}}$${\ Displaystyle X_ {n-1} / \ left (X_ {n-1} \ setminus e_ {n-1} ^ {\ beta} \ right)}$${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {n-1}}$${\ Displaystyle \ Phi _ {n-1} ^ {\ beta}}$${\ Displaystyle e_ {n-1} ^ {\ beta}}$

El mapa de límites

${\ Displaystyle \ partial _ {n}: {C_ {n}} (X_ {n}, X_ {n-1}) \ a {C_ {n-1}} (X_ {n-1}, X_ {n -2})}$

entonces viene dada por la fórmula

${\ Displaystyle {\ partial _ {n}} (e_ {n} ^ {\ alpha}) = \ sum _ {\ beta} \ deg \ left (\ chi _ {n} ^ {\ alpha \ beta} \ right ) e_ {n-1} ^ {\ beta},}$

donde es el grado de y la suma se toma sobre todas las celdas de , consideradas como generadores de . ${\ Displaystyle \ deg \ left (\ chi _ {n} ^ {\ alpha \ beta} \ right)}$${\ Displaystyle \ chi _ {n} ^ {\ alpha \ beta}}$${\ Displaystyle (n-1)}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle {C_ {n-1}} (X_ {n-1}, X_ {n-2})}$

Ejemplo

La esfera n- dimensional S ⁿ admite una estructura CW con dos celdas, una celda 0 y una celda n . Aquí la n -celda está unida por el mapeo constante de a 0-celda. Dado que los generadores de los grupos de la cadena celular se pueden identificar con las k- células de S ⁿ , tenemos eso para y es, por lo demás, trivial. ${\ Displaystyle S ^ {n-1}}$${\ Displaystyle {C_ {k}} (S_ {k} ^ {n}, S_ {k-1} ^ {n})}$${\ Displaystyle {C_ {k}} (S_ {k} ^ {n}, S_ {k-1} ^ {n}) = \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle k = 0, n,}$

Por tanto , el complejo de cadena resultante es ${\ Displaystyle n> 1}$

${\ displaystyle \ dotsb {\ overset {\ partial _ {n + 2}} {\ longrightarrow \,}} 0 {\ overset {\ partial _ {n + 1}} {\ longrightarrow \,}} \ mathbb {Z } {\ overset {\ partial _ {n}} {\ longrightarrow \,}} 0 {\ overset {\ partial _ {n-1}} {\ longrightarrow \,}} \ dotsb {\ overset {\ partial _ { 2}} {\ longrightarrow \,}} 0 {\ overset {\ partial _ {1}} {\ longrightarrow \,}} \ mathbb {Z} {\ longrightarrow \,} 0,}$

pero luego, como todos los mapas de límites son hacia o desde grupos triviales, todos deben ser cero, lo que significa que los grupos de homología celular son iguales a

${\ Displaystyle H_ {k} (S ^ {n}) = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} & k = 0, n \\\ {0 \} & {\ text {de lo contrario.}} \ end { casos}}}$

Cuando , no es muy difícil verificar que el mapa de límites sea ​​cero, lo que significa que la fórmula anterior es válida para todos los positivos . ${\ Displaystyle n = 1}$${\ estilo de visualización \ parcial _ {1}}$${\ Displaystyle n}$

Como muestra este ejemplo, los cálculos realizados con homología celular son a menudo más eficientes que los calculados utilizando solo la homología singular.

Otras propiedades

Se ve en el complejo de la cadena celular que el esqueleto determina todos los módulos de homología de menor dimensión: ${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle {H_ {k}} (X) \ cong {H_ {k}} (X_ {n})}$

para . ${\ Displaystyle k <n}$

Una consecuencia importante de esta perspectiva celular es que si un complejo CW no tiene células en dimensiones consecutivas, entonces todos sus módulos de homología están libres. Por ejemplo, el espacio proyectivo complejo tiene una estructura de celda con una celda en cada dimensión par; se sigue que para , ${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {n}}$${\ Displaystyle 0 \ leq k \ leq n}$

${\ Displaystyle {H_ {2k}} (\ mathbb {CP} ^ {n}; \ mathbb {Z}) \ cong \ mathbb {Z}}$

y

${\ Displaystyle {H_ {2k + 1}} (\ mathbb {CP} ^ {n}; \ mathbb {Z}) = 0.}$

Generalización

La secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch es el método análogo de calcular la (co) homología de un complejo CW, para una teoría de (co) homología extraordinaria arbitraria .

Característica de Euler

Para un complejo celular , sea ​​su -ésimo esqueleto y sea ​​el número de -celdas, es decir, el rango del módulo libre . La característica de Euler de se define entonces por ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X_ {j}}$${\ Displaystyle j}$${\ Displaystyle c_ {j}}$${\ Displaystyle j}$${\ Displaystyle {C_ {j}} (X_ {j}, X_ {j-1})}$${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle \ chi (X) = \ sum _ {j = 0} ^ {n} (- 1) ^ {j} c_ {j}.}$

La característica de Euler es una homotopía invariante. De hecho, en términos de los números de Betti de , ${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle \ chi (X) = \ sum _ {j = 0} ^ {n} (- 1) ^ {j} \ operatorname {Rank} ({H_ {j}} (X)).}$

Esto se puede justificar de la siguiente manera. Considere la larga secuencia exacta de homología relativa para el triple : ${\ Displaystyle (X_ {n}, X_ {n-1}, \ varnothing)}$

${\ Displaystyle \ cdots \ to {H_ {i}} (X_ {n-1}, \ varnothing) \ to {H_ {i}} (X_ {n}, \ varnothing) \ to {H_ {i}} ( X_ {n}, X_ {n-1}) \ to \ cdots.}$

Persiguiendo la exactitud a través de la secuencia da

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} \ operatorname {Rank} ({H_ {i}} (X_ {n}, \ varnothing)) = \ sum _ { i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} \ operatorname {Rank} ({H_ {i}} (X_ {n}, X_ {n-1})) + \ sum _ {i = 0 } ^ {n} (- 1) ^ {i} \ operatorname {Rank} ({H_ {i}} (X_ {n-1}, \ varnothing)).}$

El mismo cálculo se aplica a los triples , , etc. Por inducción, ${\ Displaystyle (X_ {n-1}, X_ {n-2}, \ varnothing)}$${\ Displaystyle (X_ {n-2}, X_ {n-3}, \ varnothing)}$

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} \; \ operatorname {Rank} ({H_ {i}} (X_ {n}, \ varnothing)) = \ sum _ {j = 0} ^ {n} \ sum _ {i = 0} ^ {j} (- 1) ^ {i} \ operatorname {Rank} ({H_ {i}} (X_ {j}, X_ { j-1})) = \ sum _ {j = 0} ^ {n} (- 1) ^ {j} c_ {j}.}$

Referencias

• Albrecht Dold : Conferencias sobre topología algebraica , Springer ISBN  3-540-58660-1 .
• Allen Hatcher : Topología algebraica , Cambridge University Press ISBN  978-0-521-79540-1 . Una versión electrónica gratuita está disponible en la página de inicio del autor .