Homología relativa - Relative homology

En topología algebraica , una rama de las matemáticas , la homología (singular) de un espacio topológico en relación con un subespacio es una construcción en homología singular , para pares de espacios . La homología relativa es útil e importante de varias formas. Intuitivamente, ayuda a determinar qué parte de un grupo de homología absoluta proviene de qué subespacio.

Definición

Dado un subespacio , se puede formar la breve secuencia exacta ${\ Displaystyle A \ subseteq X}$

{\ Displaystyle 0 \ to C _ {\ bullet} (A) \ to C _ {\ bullet} (X) \ to C _ {\ bullet} (X) / C _ {\ bullet} (A) \ to 0,}

donde denota las cadenas singulares en el espacio X . El mapa de límites en hojas invariantes y, por lo tanto, desciende a un mapa de límites en el cociente. Si denotamos este cociente por , entonces tenemos un complejo ${\ Displaystyle C _ {\ bullet} (X)}$ ${\ Displaystyle C _ {\ bullet} (X)}$ ${\ Displaystyle C _ {\ bullet} (A)}$ ${\ estilo de visualización \ parcial '_ {\ viñeta}}$ ${\ Displaystyle C_ {n} (X, A): = C_ {n} (X) / C_ {n} (A)}$

{\ Displaystyle \ cdots \ longrightarrow C_ {n} (X, A) \ xrightarrow {\ partial '_ {n}} C_ {n-1} (X, A) \ longrightarrow \ cdots.}

Por definición, el n- ^ésimo grupo de homología relativa del par de espacios es ${\ Displaystyle (X, A)}$

{\ Displaystyle H_ {n} (X, A): = \ ker \ partial '_ {n} / \ operatorname {im} \ partial' _ {n + 1}.}

Se dice que la homología relativa está dada por los ciclos relativos , cadenas cuyos límites son cadenas en A , módulo los límites relativos (cadenas que son homólogas a una cadena en A , es decir, cadenas que serían límites, módulo A nuevamente).

Propiedades

Las secuencias exactas cortas anteriores que especifican los grupos de cadenas relativos dan lugar a un complejo de cadenas de secuencias exactas cortas. Una aplicación del lema de la serpiente produce una secuencia larga y exacta.

{\ Displaystyle \ cdots \ to H_ {n} (A) {\ stackrel {i _ {*}} {\ to}} H_ {n} (X) {\ stackrel {j _ {*}} {\ to}} H_ {n} (X, A) {\ stackrel {\ partial} {\ to}} H_ {n-1} (A) \ to \ cdots.}

El mapa de conexión toma un ciclo relativo, que representa una clase de homología en , a su límite (que es un ciclo en A ). ${\ estilo de visualización \ parcial}$ ${\ Displaystyle H_ {n} (X, A)}$

De ello se desprende que , donde es un punto en X , es el n -ésimo reduce homología grupo de X . En otras palabras, para todos . Cuando , es el módulo gratuito de un rango menor que . El componente conectado que contiene se vuelve trivial en relativa homología. ${\ Displaystyle H_ {n} (X, x_ {0})}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$ ${\ Displaystyle H_ {i} (X, x_ {0}) = H_ {i} (X)}$ ${\ Displaystyle i> 0}$ ${\ Displaystyle i = 0}$ ${\ Displaystyle H_ {0} (X, x_ {0})}$ ${\ Displaystyle H_ {0} (X)}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$

El teorema de la escisión dice que eliminar un subconjunto suficientemente bueno deja los grupos de homología relativa sin cambios. Usando la secuencia larga exacta de pares y el teorema de la escisión, se puede demostrar que es lo mismo que el n -ésimo grupo de homología reducido del espacio del cociente . ${\ Displaystyle Z \ subconjunto A}$ ${\ Displaystyle H_ {n} (X, A)}$ ${\ Displaystyle H_ {n} (X, A)}$ ${\ Displaystyle X / A}$

La homología relativa se extiende fácilmente al triple de . ${\ Displaystyle (X, Y, Z)}$ ${\ Displaystyle Z \ subconjunto Y \ subconjunto X}$

Se puede definir la característica de Euler para un par por ${\ Displaystyle Y \ subconjunto X}$

{\ Displaystyle \ chi (X, Y) = \ sum _ {j = 0} ^ {n} (- 1) ^ {j} \ operatorname {rank} H_ {j} (X, Y).}

La exactitud de la secuencia implica que la característica de Euler es aditiva , es decir, si uno tiene ${\ Displaystyle Z \ subconjunto Y \ subconjunto X}$

{\ Displaystyle \ chi (X, Z) = \ chi (X, Y) + \ chi (Y, Z).}

Homología local

El -ésimo grupo de homología local de un espacio en un punto , denotado ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$

{\ Displaystyle H_ {n, \ {x_ {0} \}} (X)}

se define como el grupo de homología relativa . De manera informal, esta es la homología "local" de cerca de . ${\ Displaystyle H_ {n} (X, X \ setminus \ {x_ {0} \})}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$

Homología local del cono CX en el origen

Un ejemplo sencillo de homología local es calcular la homología local del cono (topología) de un espacio en el origen del cono. Recuerda que el cono se define como el espacio del cociente.

{\ Displaystyle CX = (X \ times I) / (X \ times \ {0 \}),}

donde tiene la topología del subespacio. Entonces, el origen es la clase de equivalencia de puntos . El uso de la intuición de que el grupo de homología local de al capturas de la homología de "cerca" el origen, debemos esperar que esta es la homología de ya tiene una retracción homotopy a . Luego, se puede calcular la homología local utilizando la secuencia larga exacta en homología ${\ Displaystyle X \ times \ {0 \}}$ ${\ Displaystyle x_ {0} = 0}$ ${\ Displaystyle [X \ times 0]}$ ${\ Displaystyle H _ {*, \ {x_ {0} \}} (CX)}$ ${\ displaystyle CX}$ ${\ Displaystyle x_ {0}}$ ${\ displaystyle CX}$ ${\ Displaystyle H _ {*} (X)}$ ${\ Displaystyle CX \ setminus \ {x_ {0} \}}$ ${\ Displaystyle X}$

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ to & H_ {n} (CX \ setminus \ {x_ {0} \}) \ to H_ {n} (CX) \ to H_ {n, \ {x_ {0} \ }} (CX) \\\ a & H_ {n-1} (CX \ setminus \ {x_ {0} \}) \ a H_ {n-1} (CX) \ a H_ {n-1, \ {x_ {0} \}} (CX). \ End {alineado}}}

Debido a que el cono de un espacio es contráctil , los grupos de homología medios son todos cero, lo que da el isomorfismo

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} H_ {n, \ {x_ {0} \}} (CX) & \ cong H_ {n-1} (CX \ setminus \ {x_ {0} \}) \\ & \ cong H_ {n-1} (X), \ end {alineado}}}

ya que se puede contraer . ${\ Displaystyle CX \ setminus \ {x_ {0} \}}$ ${\ Displaystyle X}$

En geometría algebraica

Tenga en cuenta que la construcción anterior se puede probar en geometría algebraica usando el cono afín de una variedad proyectiva usando cohomología local . ${\ Displaystyle X}$

Homología local de un punto en una variedad suave

Se puede calcular otro cálculo para la homología local en un punto de un colector . Entonces, sea una vecindad compacta de isomorfo a un disco cerrado y sea . Usando el teorema de la escisión hay un isomorfismo de grupos de homología relativa ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle K}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {D} ^ {n} = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n}: | x | \ leq 1 \}}$ ${\ Displaystyle U = M \ setminus K}$

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} H_ {n} (M, M \ setminus \ {p \}) & \ cong H_ {n} (M \ setminus U, M \ setminus (U \ cup \ {p \} )) \\ & = H_ {n} (K, K \ setminus \ {p \}), \ end {alineado}}}

por tanto, la homología local de un punto se reduce a la homología local de un punto en una bola cerrada . Debido a la equivalencia de homotopía ${\ Displaystyle \ mathbb {D} ^ {n}}$

{\ Displaystyle \ mathbb {D} ^ {n} \ setminus \ {0 \} \ simeq S ^ {n-1}}

y el hecho

{\ Displaystyle H_ {k} (\ mathbb {D} ^ {n}) \ cong {\ begin {cases} \ mathbb {Z} & k = 0 \\ 0 & k \ neq 0, \ end {cases}}}

la única parte no trivial de la larga secuencia exacta del par es ${\ Displaystyle (\ mathbb {D}, \ mathbb {D} \ setminus \ {0 \})}$

{\ Displaystyle 0 \ to H_ {n, \ {0 \}} (\ mathbb {D} ^ {n}) \ to H_ {n-1} (S ^ {n-1}) \ to 0,}

por tanto, el único grupo de homología local distinto de cero es . ${\ Displaystyle H_ {n, \ {0 \}} (\ mathbb {D} ^ {n})}$

Functorialidad

Al igual que en la homología absoluta, los mapas continuos entre espacios inducen homomorfismos entre grupos de homología relativa. De hecho, este mapa es exactamente el mapa inducido sobre grupos de homología, pero desciende al cociente.

Sean y sean pares de espacios tales que y , y sea un mapa continuo. Luego hay un mapa inducido en los grupos de cadena (absolutos). Si , entonces . Dejar ${\ Displaystyle (X, A)}$ ${\ Displaystyle (Y, B)}$ ${\ Displaystyle A \ subseteq X}$ ${\ Displaystyle B \ subseteq Y}$ ${\ Displaystyle f \ colon X \ to Y}$ ${\ Displaystyle f _ {\ #} \ dos puntos C_ {n} (X) \ a C_ {n} (Y)}$ ${\ Displaystyle f (A) \ subseteq B}$ ${\ Displaystyle f _ {\ #} (C_ {n} (A)) \ subseteq C_ {n} (B)}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ pi _ {X} &: C_ {n} (X) \ longrightarrow C_ {n} (X) / C_ {n} (A) \\\ pi _ {Y} & : C_ {n} (Y) \ longrightarrow C_ {n} (Y) / C_ {n} (B) \\\ end {alineado}}}$

ser las proyecciones naturales que llevan elementos a sus clases de equivalencia en los grupos cocientes . Entonces el mapa es un homomorfismo de grupo. Dado que , este mapa desciende al cociente, induciendo un mapa bien definido tal que el siguiente diagrama conmuta: ${\ Displaystyle \ pi _ {Y} \ circ f _ {\ #} \ colon C_ {n} (X) \ to C_ {n} (Y) / C_ {n} (B)}$ ${\ Displaystyle f _ {\ #} (C_ {n} (A)) \ subseteq C_ {n} (B) = \ ker \ pi _ {Y}}$ ${\ Displaystyle \ varphi \ colon C_ {n} (X) / C_ {n} (A) \ to C_ {n} (Y) / C_ {n} (B)}$

Los mapas de cadena inducen homomorfismos entre grupos de homología, por lo que induce un mapa de los grupos de homología relativa. ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle f _ {*} \ dos puntos H_ {n} (X, A) \ to H_ {n} (Y, B)}$

Ejemplos de

Un uso importante de la homología relativa es el cálculo de los grupos de homología de espacios de cociente . En el caso de que sea un subespacio que cumpla la condición de regularidad leve de que exista una vecindad que tenga como deformación retraerse, entonces el grupo es isomorfo a . Podemos usar inmediatamente este hecho para calcular la homología de una esfera. Podemos realizar como el cociente de un disco n por su límite, es decir . Al aplicar la secuencia exacta de homología relativa se obtiene lo siguiente: ${\ Displaystyle X / A}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle {\ tilde {H}} _ {n} (X / A)}$ ${\ Displaystyle H_ {n} (X, A)}$ ${\ Displaystyle S ^ {n}}$ ${\ Displaystyle S ^ {n} = D ^ {n} / S ^ {n-1}}$
${\ Displaystyle \ cdots \ to {\ tilde {H}} _ {n} (D ^ {n}) \ rightarrow H_ {n} (D ^ {n}, S ^ {n-1}) \ rightarrow {\ tilde {H}} _ {n-1} (S ^ {n-1}) \ flecha derecha {\ tilde {H}} _ {n-1} (D ^ {n}) \ a \ cdots.}$

Debido a que el disco es contráctil, sabemos que sus grupos de homología reducidos desaparecen en todas las dimensiones, por lo que la secuencia anterior colapsa a la secuencia corta exacta:

${\ displaystyle 0 \ rightarrow H_ {n} (D ^ {n}, S ^ {n-1}) \ rightarrow {\ tilde {H}} _ {n-1} (S ^ {n-1}) \ flecha derecha 0.}$

Por tanto, obtenemos isomorfismos . Ahora podemos proceder por inducción para demostrarlo . Ahora bien, debido a que la deformación se retrae de una vecindad adecuada de sí misma , obtenemos eso . ${\ Displaystyle H_ {n} (D ^ {n}, S ^ {n-1}) \ cong {\ tilde {H}} _ {n-1} (S ^ {n-1})}$ ${\ Displaystyle H_ {n} (D ^ {n}, S ^ {n-1}) \ cong \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle S ^ {n-1}}$ ${\ Displaystyle D ^ {n}}$ ${\ Displaystyle H_ {n} (D ^ {n}, S ^ {n-1}) \ cong {\ tilde {H}} _ {n} (S ^ {n}) \ cong \ mathbb {Z}}$

Otro ejemplo geométrico perspicaz lo da la homología relativa de where . Entonces podemos usar la secuencia larga exacta ${\ Displaystyle (X = \ mathbb {C} ^ {*}, D = \ {1, \ alpha \})}$ ${\ Displaystyle \ alpha \ neq 0,1}$

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} 0 & \ to H_ {1} (D) \ to H_ {1} (X) \ to H_ {1} (X, D) \\ & \ to H_ {0} (D ) \ a H_ {0} (X) \ a H_ {0} (X, D) \ end {alineado}} = {\ begin {alineado} 0 & \ a 0 \ a \ mathbb {Z} \ a H_ {1 } (X, D) \\ & \ to \ mathbb {Z} ^ {\ oplus 2} \ to \ mathbb {Z} \ to 0 \ end {alineado}}}

Usando la exactitud de la secuencia, podemos ver que contiene un bucle en sentido antihorario alrededor del origen. Dado que el cokernel de encaja en la secuencia exacta ${\ Displaystyle H_ {1} (X, D)}$ ${\ Displaystyle \ sigma}$ ${\ Displaystyle \ phi \ colon \ mathbb {Z} \ to H_ {1} (X, D)}$

{\ Displaystyle 0 \ to \ operatorname {coker} (\ phi) \ to \ mathbb {Z} ^ {\ oplus 2} \ to \ mathbb {Z} \ to 0}

debe ser isomorfo a . Un generador para el cokernel es la cadena, ya que su mapa de límites es ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle 1}$ ${\ displaystyle [1, \ alpha]}$

{\ Displaystyle \ partial ([1, \ alpha]) = [\ alpha] - [1]}

Ver también

Notas

^ es decir, losmapas delímitesa ${\ Displaystyle \ parcial \ dos puntos C_ {n} (X) \ a C_ {n-1} (X)}$ ${\ Displaystyle C_ {n} (A)}$ ${\ Displaystyle C_ {n-1} (A)}$