Homología reducida - Reduced homology

En matemáticas , la homología reducida es una modificación menor realizada a la teoría de la homología en la topología algebraica , diseñada para hacer que un punto tenga todos sus grupos de homología cero. Este cambio es necesario para hacer declaraciones sin algunos casos excepcionales (la dualidad de Alexander es un ejemplo).

Si P es un espacio de un solo punto, entonces con las definiciones habituales el grupo de homología integral

H ₀ ( P )

es isomorfo a (un grupo cíclico infinito ), mientras que para i ≥ 1 tenemos ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

H _i ( P ) = {0}.

De forma más general, si X es un complejo simplicial o un complejo CW finito , entonces el grupo H ₀ ( X ) es el grupo abeliano libre con los componentes conectados de X como generadores. La homología reducida debería reemplazar este grupo, de rango r , digamos, por uno de rango r - 1. De lo contrario, los grupos de homología deberían permanecer sin cambios. Una forma ad hoc de hacer esto es pensar en una clase de homología 0 no como una suma formal de componentes conectados, sino como una suma formal donde los coeficientes suman cero.

En la definición habitual de homología de un espacio X , consideramos el complejo de cadena

${\ Displaystyle \ dotsb {\ overset {\ partial _ {n + 1}} {\ longrightarrow \,}} C_ {n} {\ overset {\ partial _ {n}} {\ longrightarrow \,}} C_ {n -1} {\ overset {\ partial _ {n-1}} {\ longrightarrow \,}} \ dotsb {\ overset {\ partial _ {2}} {\ longrightarrow \,}} C_ {1} {\ overset {\ partial _ {1}} {\ longrightarrow \,}} C_ {0} {\ overset {\ partial _ {0}} {\ longrightarrow \,}} 0}$

y definir los grupos de homología por . ${\ Displaystyle H_ {n} (X) = \ ker (\ partial _ {n}) / \ mathrm {im} (\ partial _ {n + 1})}$

Para definir la homología reducida, comenzamos con el complejo de cadena aumentada

${\ Displaystyle \ dotsb {\ overset {\ partial _ {n + 1}} {\ longrightarrow \,}} C_ {n} {\ overset {\ partial _ {n}} {\ longrightarrow \,}} C_ {n -1} {\ overset {\ partial _ {n-1}} {\ longrightarrow \,}} \ dotsb {\ overset {\ partial _ {2}} {\ longrightarrow \,}} C_ {1} {\ overset {\ partial _ {1}} {\ longrightarrow \,}} C_ {0} {\ overset {\ epsilon} {\ longrightarrow \,}} \ mathbb {Z} \ to 0}$

donde . Ahora definimos los grupos de homología reducida por ${\ Displaystyle \ epsilon \ left (\ sum _ {i} n_ {i} \ sigma _ {i} \ right) = \ sum _ {i} n_ {i}}$

${\ Displaystyle {\ tilde {H_ {n}}} (X) = \ ker (\ partial _ {n}) / \ mathrm {im} (\ partial _ {n + 1})}$para n positivo y .${\ Displaystyle {\ tilde {H}} _ {0} (X) = \ ker (\ epsilon) / \ mathrm {im} (\ partial _ {1})}$

Uno puede demostrar eso ; evidentemente para todo n positivo . ${\ Displaystyle H_ {0} (X) = {\ tilde {H}} _ {0} (X) \ oplus \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle H_ {n} (X) = {\ tilde {H}} _ {n} (X)}$

Armados con este complejo modificado , se pueden aplicar las formas estándar de obtener homología con coeficientes aplicando el producto tensorial , o grupos de cohomología reducidos del complejo cocadena elaborado mediante el uso de un functor Hom .

Referencias

• Hatcher, A. , (2002) Topología algebraica Cambridge University Press, ISBN  0-521-79540-0 . Discusión detallada de las teorías de homología para complejos y variedades simpliciales, homología singular, etc.