Axioma de Martin - Martin's axiom

En el campo matemático de la teoría de conjuntos , el axioma de Martin , introducido por Donald A. Martin y Robert M. Solovay , es un enunciado que es independiente de los axiomas habituales de la teoría de conjuntos ZFC . Está implícito en la hipótesis del continuo , pero es consistente con ZFC y la negación de la hipótesis del continuo. De manera informal, se dice que todos los cardenales menor que la cardinalidad del continuo , , se comportan más o menos igual . La intuición detrás de esto puede entenderse estudiando la prueba del lema Rasiowa-Sikorski . Es un principio que se utiliza para controlar ciertos argumentos forzosos . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {c}}}$${\ Displaystyle \ aleph _ {0}}$

Declaración

Para cualquier cardinal 𝛋, definimos una declaración, denotada por MA (𝛋):

Para cualquier orden parcial P que satisfaga la condición de cadena contable (en adelante ccc) y cualquier familia D de conjuntos densos en P tal que | D | ≤ κ, hay un filtro F en P tal que F ∩ d es no vaciar por cada d en D .

Dado que es un teorema de ZFC que falla, el axioma de Martin se establece como: ${\ estilo de texto \ nombre de operador {MA} ({\ mathfrak {c}})}$

Axioma de Martin (MA): Para cada 𝛋 < , se cumple MA (𝛋).${\ Displaystyle {\ mathfrak {c}}}$

En este caso (para la aplicación de ccc), un antichain es un subconjunto A de P tal que dos miembros distintos de A son incompatibles (se dice que dos elementos son compatibles si existe un elemento común debajo de ambos en el orden parcial ). Esto difiere, por ejemplo, de la noción de antichain en el contexto de los árboles .

${\ textstyle \ operatorname {MA} (\ aleph _ {0})}$es simplemente cierto. Esto se conoce como el lema Rasiowa-Sikorski .

${\ textstyle \ operatorname {MA} (2 ^ {\ aleph _ {0}})}$es falso: [0, 1] es un espacio compacto de Hausdorff , que es separable y, por tanto, ccc. No tiene puntos aislados , por lo que los puntos en él no son densos en ninguna parte, pero es la unión de muchos puntos. (Consulte la condición equivalente a la siguiente). ${\ Displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}} = {\ mathfrak {c}}}$${\ Displaystyle \ operatorname {MA} ({\ mathfrak {c}})}$

Formas equivalentes de MA (𝛋)

Las siguientes declaraciones son equivalentes a MA (𝛋):

• Si X es un espacio topológico compacto de Hausdorff que satisface el ccc, entonces X no es la unión de 𝛋 o menos subconjuntos densos en ninguna parte .
• Si P es un poset ccc ascendente no vacío e Y es una familia de subconjuntos cofinales de P con | Y | ≤ κ entonces hay un conjunto dirigido hacia arriba- A de tal manera que A cumple con todos los elementos de Y .
• Sea A un álgebra booleana ccc distinta de cero y F una familia de subconjuntos de A con | F | ≤ 𝛋. Entonces hay un homomorfismo booleano φ: A → Z / 2 Z tal que para cada X en F hay una a en X con φ ( a ) = 1 o hay un límite superior b para X con φ ( b ) = 0.

Consecuencias

El axioma de Martin tiene una serie de interesantes consecuencias combinatorias , analíticas y topológicas :

• La unión de 𝛋 o menos conjuntos nulos en una medida de Borel finita σ sin átomos en un espacio polaco es nula. En particular, la unión de 𝛋 o menos subconjuntos de R de la medida de Lebesgue 0 también tiene la medida de Lebesgue 0.
• Un espacio compacto de Hausdorff X con | X | <2 ^𝛋 es secuencialmente compacto , es decir, cada secuencia tiene una subsecuencia convergente.
• Ningún ultrafiltro no principal en N tiene una base de cardinalidad <𝛋.
• De manera equivalente para cualquier x en β N \ N tenemos 𝜒 ( x ) ≥ 𝛋, donde 𝜒 es el carácter de x , y entonces 𝜒 (β N ) ≥ 𝛋.
• ${\ textstyle \ operatorname {MA} (\ aleph _ {1})}$implica que un producto de espacios topológicos ccc es ccc (esto a su vez implica que no hay líneas de Suslin ).
• MA + ¬CH implica que existe un grupo de Whitehead que no es libre; Shelah usó esto para mostrar que el problema de Whitehead es independiente de ZFC.

Mayor desarrollo

• El axioma de Martin tiene generalizaciones llamadas axioma de forzamiento adecuado y máximo de Martin .
• Sheldon W. Davis ha sugerido en su libro que el axioma de Martin está motivado por el teorema de la categoría de Baire .

Referencias

Otras lecturas

• Fremlin, David H. (1984). Consecuencias del axioma de Martin . Tractos de Cambridge en matemáticas, no. 84. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-25091-9.
• Jech, Thomas , 2003. Teoría de conjuntos: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded . Saltador. ISBN  3-540-44085-2 .
• Kunen, Kenneth , 1980. Teoría de conjuntos: Introducción a las pruebas de independencia . Elsevier. ISBN  0-444-86839-9 .