Teorema de interpolación de Marcinkiewicz - Marcinkiewicz interpolation theorem

En matemáticas , el teorema de interpolación de Marcinkiewicz , descubierto por Józef Marcinkiewicz  ( 1939 ), es un resultado que limita las normas de los operadores no lineales que actúan sobre L ^p espacios .

El teorema de Marcinkiewicz es similar al teorema de Riesz-Thorin sobre los operadores lineales , pero también se aplica a los operadores no lineales.

Preliminares

Sea f una función medible con valores reales o complejos, definida en un espacio de medida ( X ,  F , ω). La función de distribución de f está definida por

${\ Displaystyle \ lambda _ {f} (t) = \ omega \ left \ {x \ in X \ mid | f (x) |> t \ right \}.}$

Entonces f se llama débil ${\ Displaystyle L ^ {1}}$ si existe una constante C tal que la función de distribución de f satisface la siguiente desigualdad para todo t  > 0:

${\ Displaystyle \ lambda _ {f} (t) \ leq {\ frac {C} {t}}.}$

La constante más pequeña C en la desigualdad anterior se llama norma débil ${\ Displaystyle L ^ {1}}$ y generalmente se denota por o De manera similar, el espacio generalmente se denota por L ^{1, w} o L ^{1, ∞} . ${\ Displaystyle \ | f \ | _ {1, w}}$${\ Displaystyle \ | f \ | _ {1, \ infty}.}$

(Nota: esta terminología es un poco engañosa ya que la norma débil no satisface la desigualdad del triángulo como se puede ver al considerar la suma de las funciones dadas por y , que tiene la norma 4 y no la 2.) ${\ Displaystyle (0,1)}$${\ Displaystyle 1 / x}$${\ Displaystyle 1 / (1-x)}$

Cualquier función pertenece a L ^{1, w} y además una tiene la desigualdad ${\ Displaystyle L ^ {1}}$

${\ Displaystyle \ | f \ | _ {1, w} \ leq \ | f \ | _ {1}.}$

Esto no es más que la desigualdad de Markov (también conocida como Desigualdad de Chebyshev ). Lo contrario no es cierto. Por ejemplo, la función 1 / x pertenece a L ^{1, w} pero no a L ¹ .

De manera similar, se puede definir el espacio débil ${\ Displaystyle L ^ {p}}$ como el espacio de todas las funciones f tales que pertenecen a L ^{1, w} , y la norma débil usando ${\ Displaystyle | f | ^ {p}}$${\ Displaystyle L ^ {p}}$

${\ Displaystyle \ | f \ | _ {p, w} = \ left \ || f | ^ {p} \ right \ | _ {1, w} ^ {\ frac {1} {p}}.}$

Más directamente, la norma L ^{p , w} se define como la mejor constante C en la desigualdad

${\ Displaystyle \ lambda _ {f} (t) \ leq {\ frac {C ^ {p}} {t ^ {p}}}}$

para todo t  > 0.

Formulación

De manera informal, el teorema de Marcinkiewicz es

Teorema. Sea T un operador lineal acotado de a y al mismo tiempo de a . Entonces T es también un operador acotado de a para cualquier r entre p y q . ${\ Displaystyle L ^ {p}}$${\ Displaystyle L ^ {p, w}}$${\ Displaystyle L ^ {q}}$${\ Displaystyle L ^ {q, w}}$${\ Displaystyle L ^ {r}}$${\ Displaystyle L ^ {r}}$

En otras palabras, incluso si sólo necesita acotación débil en el extremo p y q , sigue recibiendo el interior de la acotación regular. Para hacer esto más formal, uno tiene que explicar que T está limitado solo a un subconjunto denso y se puede completar. Consulte el teorema de Riesz-Thorin para conocer estos detalles.

Donde el teorema de Marcinkiewicz es más débil que el teorema de Riesz-Thorin es en las estimaciones de la norma. El teorema da límites para la norma de T, pero este límite aumenta hasta el infinito cuando r converge hacia p o q . Específicamente ( DiBenedetto 2002 , Teorema VIII.9.2), suponga que ${\ Displaystyle L ^ {r}}$

${\ Displaystyle \ | Tf \ | _ {p, w} \ leq N_ {p} \ | f \ | _ {p},}$

${\ Displaystyle \ | Tf \ | _ {q, w} \ leq N_ {q} \ | f \ | _ {q},}$

de modo que la norma del operador de T de L ^p a L ^{p , w} es como máximo N _p , y la norma del operador de T de L ^q a L ^{q , w} es como máximo N _q . A continuación, la siguiente desigualdad interpolación se mantiene para todos los r entre p y q y todo f  ∈  L ^r :

${\ Displaystyle \ | Tf \ | _ {r} \ leq \ gamma N_ {p} ^ {\ delta} N_ {q} ^ {1- \ delta} \ | f \ | _ {r}}$

dónde

${\ Displaystyle \ delta = {\ frac {p (qr)} {r (qp)}}}$

y

${\ Displaystyle \ gamma = 2 \ left ({\ frac {r (qp)} {(rp) (qr)}} \ right) ^ {1 / r}.}$

Las constantes δ y γ también se pueden dar para q  = ∞ pasando al límite.

Una versión del teorema también se cumple de manera más general si solo se supone que T es un operador cuasilineal en el siguiente sentido: existe una constante C  > 0 tal que T satisface

${\ Displaystyle | T (f + g) (x) | \ leq C (| Tf (x) | + | Tg (x) |)}$

para casi cada x . El teorema se cumple exactamente como se indica, excepto con γ reemplazado por

${\ Displaystyle \ gamma = 2C \ left ({\ frac {r (qp)} {(rp) (qr)}} \ right) ^ {1 / r}.}$

Un operador T (posiblemente cuasilineal) que satisface una estimación de la forma

${\ Displaystyle \ | Tf \ | _ {q, w} \ leq C \ | f \ | _ {p}}$

se dice que es de tipo débil ( p , q ) . Un operador es simplemente de tipo ( p , q ) si T es una transformación acotada de L ^p a L ^q :

${\ Displaystyle \ | Tf \ | _ {q} \ leq C \ | f \ | _ {p}.}$

Una formulación más general del teorema de interpolación es la siguiente:

• Si T es un operador cuasilineal de tipo débil ( p ₀ , q ₀ ) y de tipo débil ( p ₁ , q ₁ ) donde q ₀  ≠  q ₁ , entonces para cada θ ∈ (0,1), T es de tipo ( p , q ), para p y q con p ≤ q de la forma

${\ Displaystyle {\ frac {1} {p}} = {\ frac {1- \ theta} {p_ {0}}} + {\ frac {\ theta} {p_ {1}}}, \ quad {\ frac {1} {q}} = {\ frac {1- \ theta} {q_ {0}}} + {\ frac {\ theta} {q_ {1}}}.}$

La última formulación se deriva de la primera mediante una aplicación de la desigualdad de Hölder y un argumento de dualidad.

Aplicaciones y ejemplos

Un ejemplo de aplicación famoso es la transformación de Hilbert . Considerada como un multiplicador , la transformada de Hilbert de una función f se puede calcular tomando primero la transformada de Fourier de f , luego multiplicándola por la función de signo y finalmente aplicando la transformada de Fourier inversa .

Por tanto, el teorema de Parseval muestra fácilmente que la transformada de Hilbert está acotada de a . Un hecho mucho menos obvio es que está limitado de a . Por tanto, el teorema de Marcinkiewicz muestra que está acotado de a para cualquier 1 < p <2. Los argumentos de dualidad muestran que también está acotado para 2 < p <∞. De hecho, la transformada de Hilbert es realmente ilimitada para p igual a 1 o ∞. ${\ Displaystyle L ^ {2}}$${\ Displaystyle L ^ {2}}$${\ Displaystyle L ^ {1}}$${\ Displaystyle L ^ {1, w}}$${\ Displaystyle L ^ {p}}$${\ Displaystyle L ^ {p}}$

Otro ejemplo famoso es la función máxima de Hardy-Littlewood , que es solo un operador sublineal en lugar de lineal. Mientras que los límites máximos se pueden derivar inmediatamente de la estimación débil mediante un cambio inteligente de variables, la interpolación de Marcinkiewicz es un enfoque más intuitivo. Dado que la función máxima de Hardy-Littlewood está limitada trivialmente de a , una fuerte delimitación para todos se sigue inmediatamente de la estimación e interpolación débil (1,1). La estimación débil (1,1) se puede obtener del lema de cobertura de Vitali . ${\ Displaystyle L ^ {p}}$${\ Displaystyle L ^ {p}}$${\ Displaystyle L ^ {1}}$${\ Displaystyle L ^ {1}}$${\ Displaystyle L ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle L ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle p> 1}$

Historia

El teorema fue anunciado por primera vez por Marcinkiewicz (1939) , quien mostró este resultado a Antoni Zygmund poco antes de morir en la Segunda Guerra Mundial. El teorema casi fue olvidado por Zygmund y estuvo ausente en sus trabajos originales sobre la teoría de los operadores integrales singulares . Más tarde, Zygmund (1956) se dio cuenta de que el resultado de Marcinkiewicz podría simplificar enormemente su trabajo, momento en el que publicó el teorema de su antiguo alumno junto con una generalización propia.

En 1964, Richard A. Hunt y Guido Weiss publicaron una nueva prueba del teorema de interpolación de Marcinkiewicz.

Ver también

• Espacio de interpolación

Referencias

• DiBenedetto, Emmanuele (2002), Análisis real , Birkhäuser, ISBN   3-7643-4231-5 .
• Gilbarg, David ; Trudinger, Neil S. (2001), Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden , Springer-Verlag, ISBN   3-540-41160-7 .
• Marcinkiewicz, J. (1939), "Sur l'interpolation d'operations" , CR Acad. Sci. París , 208 : 1272–1273
• Stein, Elias ; Weiss, Guido (1971), Introducción al análisis de Fourier sobre espacios euclidianos , Princeton University Press, ISBN   0-691-08078-X .
• Zygmund, A. (1956), "Sobre un teorema de Marcinkiewicz sobre la interpolación de operaciones", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , Neuvième Série, 35 : 223–248, ISSN   0021-7824 , MR   0080887