Historia de los principios variacionales en física - History of variational principles in physics

Un principio variacional en física es un método alternativo para determinar el estado o la dinámica de un sistema físico, identificándolo como un extremo (mínimo, máximo o punto de silla) de una función o funcional. Este artículo describe el desarrollo histórico de tales principios.

Antes de los tiempos modernos

Los principios de variación se encuentran entre las ideas anteriores en topografía y óptica . Los tensores de cuerda del antiguo Egipto estiraban cuerdas con cables entre dos puntos para medir el camino que minimizaba la distancia de separación, y Claudio Ptolomeo , en su Geographia (Bk 1, Ch 2), enfatizó que uno debe corregir "las desviaciones de un curso recto "; en la antigua Grecia Euclides afirma en su Catóptrica que, para la trayectoria de la luz reflejada en un espejo, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión ; y Hero of Alexandria demostró más tarde que este camino era el más corto y el menos tiempo.

Esto fue generalizado a la refracción por Pierre de Fermat , quien, en el siglo XVII, refinó el principio de "la luz viaja entre dos puntos dados a lo largo del camino de menor tiempo "; ahora conocido como el principio del tiempo mínimo o el principio de Fermat .

Principio de acción extrema

El crédito por la formulación del principio de mínima acción se le da comúnmente a Pierre Louis Maupertuis , quien escribió sobre él en 1744 y 1746, aunque la verdadera prioridad es menos clara, como se analiza a continuación.

Maupertuis consideró que "la naturaleza es ahorrativa en todas sus acciones", y aplicó el principio de manera amplia: "Las leyes del movimiento y del reposo deducidas de este principio son precisamente las mismas que las observadas en la naturaleza, podemos admirar su aplicación a todos El movimiento de los animales, el crecimiento vegetativo de las plantas ... son sólo sus consecuencias; y el espectáculo del universo se vuelve tanto más grandioso, mucho más bello, más digno de su Autor, cuando se sabe que un pequeño número de leyes, sabiamente establecidas, es suficiente para todos los movimientos ".

En aplicación a la física, Maupertuis sugirió que la cantidad a minimizar era el producto de la duración (tiempo) del movimiento dentro de un sistema por la " vis viva ", el doble de lo que ahora llamamos la energía cinética del sistema.

Leonhard Euler dio una formulación del principio de acción en 1744, en términos muy reconocibles, en el Additamentum 2 de su "Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minive Proprietate Gaudentes". Empieza el segundo párrafo:

"Sit massa corporis projecti == M , ejusque, dum spatiolum == ds emetitur, celeritas debita altitudini == v ; erit quantitas motus corporis in hoc loco ==  ; quae per ipsum spatiolum ds multiplicata, dabit motum corporis colectivum per spatiolum ds . Iam dico lineam a corpore descriptam ita fore comparatam, ut, inter omnes alias lineas iisdem terminis contentas, sit , seu, ob M constans, mínimo ".${\ Displaystyle M {\ sqrt {v}}}$${\ Displaystyle M \, ds {\ sqrt {v}}}$${\ Displaystyle \ int Mds {\ sqrt {v}}}$${\ Displaystyle \ int ds {\ sqrt {v}}}$

Una traducción de este pasaje dice:

"Sea M la masa del proyectil , y sea la velocidad al cuadrado resultante de su altura mientras se mueve una distancia ds . El cuerpo tendrá un momento que, multiplicado por la distancia ds , dará el momento de la cuerpo integrado sobre la distancia ds . Ahora afirmo que la curva así descrita por el cuerpo es la curva (entre todas las demás curvas que conectan los mismos puntos finales) que minimiza o, siempre que M sea ​​constante, ".${\ Displaystyle v}$${\ Displaystyle M {\ sqrt {v}}}$${\ Displaystyle Mds {\ sqrt {v}}}$${\ Displaystyle \ int Mds {\ sqrt {v}}}$${\ Displaystyle \ int ds {\ sqrt {v}}}$

Como afirma Euler, es la integral del momento sobre la distancia recorrida (nótese que aquí, contrariamente a la notación habitual, denota la velocidad al cuadrado ) que, en notación moderna, es igual a la acción reducida . Así, Euler hizo una declaración equivalente y (aparentemente) independiente del principio variacional en el mismo año que Maupertuis, aunque un poco más tarde. En términos bastante generales, escribió que "Dado que la estructura del Universo es sumamente perfecta y es obra de un Creador sumamente sabio, nada en absoluto ocurre en el Universo en el que no aparezca alguna relación de máximo y mínimo". Sin embargo, Euler no reclamó ninguna prioridad, como muestra el siguiente episodio. ${\ Displaystyle \ int Mds {\ sqrt {v}}}$${\ Displaystyle v}$ ${\ Displaystyle \ int p \, dq}$

La prioridad de Maupertuis fue disputada en 1751 por el matemático Samuel König , quien afirmó que había sido inventado por Gottfried Leibniz en 1707. Aunque similar a muchos de los argumentos de Leibniz, el principio en sí no ha sido documentado en las obras de Leibniz. El propio König mostró una copia de una carta de 1707 de Leibniz a Jacob Hermann con el principio, pero la carta original se ha perdido. En los procedimientos contenciosos, König fue acusado de falsificación, e incluso el rey de Prusia entró en el debate, defendiendo a Maupertuis, mientras que Voltaire defendió a König. Euler, en lugar de reclamar prioridad, fue un acérrimo defensor de Maupertuis, y el propio Euler procesó a König por falsificación ante la Academia de Berlín el 13 de abril de 1752. Las afirmaciones de falsificación fueron reexaminadas 150 años después, y el trabajo de archivo por CI Gerhardt en 1898. y W. Kabitz en 1913 descubrieron otras copias de la carta, y otras tres citadas por König, en los archivos de Bernoulli .

Nuevos desarrollos

Euler continuó escribiendo sobre el tema; en sus Reflexions sur quelques loix generales de la nature (1748), llamó a la cantidad "esfuerzo". Su expresión corresponde a lo que ahora llamaríamos energía potencial , por lo que su enunciado de mínima acción en estática equivale al principio de que un sistema de cuerpos en reposo adoptará una configuración que minimice la energía potencial total.

La plena importancia del principio para la mecánica fue establecida por Joseph Louis Lagrange en 1760, aunque el principio variacional no se usó para derivar las ecuaciones de movimiento hasta casi 75 años después, cuando William Rowan Hamilton en 1834 y 1835 aplicó el principio variacional a la función para obtener lo que ahora se llama las ecuaciones de movimiento de Lagrange . ${\ displaystyle L = TV}$

Formulaciones alternativas

En 1842, Carl Gustav Jacobi abordó el problema de si el principio variacional encontraba mínimos u otros extremos (por ejemplo, un punto de silla ); la mayor parte de su trabajo se centró en geodésicas en superficies bidimensionales. Las primeras declaraciones generales claras las dio Marston Morse en las décadas de 1920 y 1930, lo que dio lugar a lo que ahora se conoce como teoría Morse . Por ejemplo, Morse mostró que el número de puntos conjugados en una trayectoria era igual al número de valores propios negativos en la segunda variación del Lagrangiano.

Se han formulado otros principios extremos de la mecánica clásica , como el principio de mínima restricción de Gauss y su corolario, el principio de mínima curvatura de Hertz .

Por campo

Electromagnetismo

La acción del electromagnetismo es:

${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} = - \ int {\ frac {1} {4 \ mu _ {0}}} \, \ mathrm {d} ^ {4} x \, F ^ {\ alpha \ beta} F _ {\ alpha \ beta} - \ int \ mathrm {d} ^ {4} x \, j ^ {\ alpha} A _ {\ alpha}}$

En la teoría de la relatividad

La acción de Einstein-Hilbert que da lugar a las ecuaciones de campo de Einstein en el vacío es

${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} [g] = {\ frac {c ^ {4}} {16 \ pi G}} \ int _ {\ mathcal {M}} R {\ sqrt {-g}} \, \ mathrm {d} ^ {4} x}$,

donde es el determinante de una métrica de Lorentz del espacio-tiempo y es la curvatura escalar . ${\ Displaystyle g = \ det (g _ {\ alpha \ beta})}$${\ Displaystyle R}$

Mecánica cuántica

• Suma sobre posibles caminos, enfoque de Feynman. Ver formulación integral de ruta
• Principio variacional de Dirac-Frenkel

Teleología aparente

Aunque es equivalente matemáticamente, existe una diferencia filosófica importante entre las ecuaciones diferenciales de movimiento y su contraparte integral . Las ecuaciones diferenciales son enunciados sobre cantidades localizadas en un solo punto en el espacio o en un solo momento de tiempo. Por ejemplo, la segunda ley de Newton establece que la fuerza instantánea aplicada a una masa produce una aceleración en el mismo instante . Por el contrario, el principio de acción no está localizado en un punto; más bien, involucra integrales sobre un intervalo de tiempo y (para campos) una región extendida del espacio. Además, en la formulación habitual de los principios de acción clásicos , los estados inicial y final del sistema son fijos, por ejemplo, ${\ Displaystyle F = ma}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle a}$

Dado que la partícula comienza en la posición en el tiempo y termina en la posición en el tiempo , la trayectoria física que conecta estos dos puntos finales es un extremo de la integral de acción.${\ Displaystyle x_ {1}}$${\ Displaystyle t_ {1}}$${\ Displaystyle x_ {2}}$${\ Displaystyle t_ {2}}$

En particular, la fijación del estado final parece otorgar al principio de acción un carácter teleológico que ha sido controvertido históricamente. Esta aparente teleología se elimina en la versión mecánica cuántica del principio de acción.

Referencias

• ^ PLN de Maupertuis,Accord de différentes lois de la nature qui avaient jusqu'ici paru incompatibles. (1744) Mém. Como. Carolina del Sur. París p. 417.
• ^ PLN de Maupertuis,Le lois de mouvement et du repos, déduites d'un principe de métaphysique. (1746) Mém. C.A. Berlín, pág. 267.
• ^ Leonhard Euler,Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minive Proprietate Gaudentes. (1744) Bousquet, Lausanne y Ginebra. 320 páginas. Reimpreso enLeonhardi Euleri Opera Omnia: Serie I vol. 24.(1952) C. Cartheodory (ed.) Orell Fuessli, Zurich. copia escaneada del texto completoen The Euler Archive , Dartmouth.
• ^ WR Hamilton, "Sobre un método general en dinámica".Transacciones filosóficas de la Royal Society Part I (1834) p.247-308; Parte II (1835) pág. 95-144. (De la colección Sir William Rowan Hamilton (1805-1865): Mathematical Papers editado por David R. Wilkins, School of Mathematics, Trinity College, Dublin 2, Irlanda. (2000); también revisado como On a General Method in Dynamics )
• ^ GCJ Jacobi,Vorlesungen über Dynamik, gehalten an der Universität Königsberg im Wintersemester 1842-1843. A. Clebsch (ed.) (1866); Reimer; Berlina. 290 páginas, disponibles en líneaŒuvres complètes volumen 8 enGallica-Mathde laGallica Bibliothèque nationale de France.
• ^ Gerhardt CI. (1898) "Über die vier Briefe von Leibniz, die Samuel König in dem Appel au public, Leide MDCCLIII, veröffentlicht hat",Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften,I, 419–427.
• ^ Kabitz W. (1913) "Über realice en Gotha aufgefundene Abschrift des von S. König en seinem Streite mit Maupertius und der Akademie veröffentlichten, Seinerzeit für unecht erklärten Leibnizbriefes",Sitzungsberichte der Akademie der Königlich Preußischen Wissenschaften,II, 632-638.
• ^ Marston Morse (1934). "El cálculo de variaciones en las grandes",Publicación 18 delColoquio de la Sociedad Matemática Estadounidense; Nueva York.
• ^ Chris Davis. Teoría ociosa (1998)
• ^ Euler,Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minive Proprietate Gaudentes: Additamentum II , Ibíd.
• ^ JJ O'Connor y EF Robertson, "La Academia de Berlín y la falsificación", (2003), en el archivo MacTutor History of Mathematics .
• Cassel, Kevin W .: Métodos variacionales con aplicaciones en ciencia e ingeniería, Cambridge University Press, 2013.