Punto de silla - Saddle point

Un punto de silla (en rojo) en la gráfica de z = x ² −y ² ( paraboloide hiperbólico )

Punto de silla entre dos colinas (la intersección del contorno en forma de ocho )${\ Displaystyle z}$

En matemáticas , un punto silla o punto minimax es un punto en la superficie de la gráfica de una función donde las pendientes (derivadas) en direcciones ortogonales son todas cero (un punto crítico ), pero que no es un extremo local de la función. Un ejemplo de un punto silla es cuando hay un punto crítico con un mínimo relativo a lo largo de una dirección axial (entre picos) y un máximo relativo a lo largo del eje de cruce. Sin embargo, no es necesario que una punta de silla tenga esta forma. Por ejemplo, la función tiene un punto crítico en el que es un punto silla, ya que no es un máximo relativo ni un mínimo relativo, pero no tiene un máximo relativo ni un mínimo relativo en la dirección-. ${\ Displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {3}}$${\ displaystyle (0,0)}$${\ Displaystyle y}$

El nombre deriva del hecho de que el ejemplo prototípico en dos dimensiones es una superficie que se curva hacia arriba en una dirección y se curva hacia abajo en una dirección diferente, asemejándose a una silla de montar o un paso de montaña entre dos picos formando una forma de relieve . En términos de curvas de nivel , un punto de silla en dos dimensiones da lugar a un gráfico de contorno o trazo en el que el contorno correspondiente al valor del punto de silla parece cruzarse.

El punto de silla en la gráfica de contorno es el punto donde se cruzan las curvas de nivel

Discusión matemática

Un criterio simple para verificar si un punto estacionario dado de una función de valor real F ( x , y ) de dos variables reales es un punto silla es calcular la matriz hessiana de la función en ese punto: si el hessiano es indefinido , entonces ese punto es un punto de silla de montar. Por ejemplo, la matriz de Hesse de la función en el punto estacionario es la matriz ${\ Displaystyle z = x ^ {2} -y ^ {2}}$${\ Displaystyle (x, y, z) = (0,0,0)}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \\\ end {bmatrix}}}$

que es indefinido. Por lo tanto, este punto es un punto silla. Este criterio proporciona solo una condición suficiente. Por ejemplo, el punto es un punto silla para la función, pero la matriz hessiana de esta función en el origen es la matriz nula , que no es indefinida. ${\ displaystyle (0,0,0)}$${\ Displaystyle z = x ^ {4} -y ^ {4},}$

En términos más generales, un punto silla para una función suave (cuyo gráfico es una curva , superficie o hipersuperficie ) es un punto estacionario tal que la curva / superficie / etc. en la vecindad de ese punto no está completamente en ningún lado del espacio tangente en ese punto.

La gráfica de y  =  x ³ con un punto silla en 0

En un dominio de una dimensión, un punto silla es un punto que es tanto un punto estacionario como un punto de inflexión . Dado que es un punto de inflexión, no es un extremo local .

Superficie de la silla de montar

Paraboloide hiperbólico

Un modelo de un hiperboloide elíptico de una hoja.

Una silla de montar de mono

Una superficie de silla es una superficie lisa que contiene uno o más puntos de silla.

Ejemplos clásicos de bidimensionales superficies de silla de montar en el espacio euclidiano son superficies de segundo orden, el paraboloide hiperbólico (que se refiere a menudo como " la superficie de la silla de montar" o "la superficie en silla estándar") y el hiperboloide de una hoja . La patata frita o crujiente de Pringles es un ejemplo cotidiano de forma de paraboloide hiperbólico. ${\ Displaystyle z = x ^ {2} -y ^ {2}}$

Las superficies en silla de montar tienen una curvatura gaussiana negativa que las distingue de las superficies convexas / elípticas que tienen una curvatura gaussiana positiva. Una superficie clásica de silla de montar de tercer orden es la silla de montar mono .

Ejemplos de

En un juego de suma cero para dos jugadores definido en un espacio continuo, el punto de equilibrio es un punto silla.

Para un sistema autónomo lineal de segundo orden, un punto crítico es un punto silla si la ecuación característica tiene un valor propio real positivo y uno negativo.

En la optimización sujeta a restricciones de igualdad, las condiciones de primer orden describen un punto de silla del Lagrangiano .

Otros usos

En sistemas dinámicos , si la dinámica está dada por un mapa diferenciable f, entonces un punto es hiperbólico si y solo si el diferencial de ƒ ⁿ (donde n es el período del punto) no tiene valor propio en el círculo unitario (complejo) cuando se calcula en el punto. Entonces, un punto silla es un punto periódico hiperbólico cuyas variedades estables e inestables tienen una dimensión que no es cero.

Un punto de silla de una matriz es un elemento que es tanto el elemento más grande en su columna como el elemento más pequeño en su fila.

Ver también

• El método del punto de silla es una extensión del método de Laplace para aproximar integrales
• Extremum
• Prueba de la derivada
• Punto de equilibrio hiperbólico
• Teorema de minimax
• Desigualdad máxima-mínima
• Sillín de mono
• Teorema del paso de montaña

Referencias

Citas

Fuentes

Otras lecturas

• Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952). La geometría y la imaginación (2ª ed.). Chelsea. ISBN 0-8284-1087-9.

enlaces externos

• Medios relacionados con Saddle Point en Wikimedia Commons