Principio de Fermat - Fermat's principle

Fig. 1 :  Principio de Fermat en el caso de la refracción de la luz en una superficie plana entre (digamos) aire y agua. Dado un objeto-punto A en el aire, y un punto de observación B en el agua, el punto de refracción P es el que minimiza el tiempo que tarda la luz en recorrer la trayectoria APB . Si buscamos el valor requerido de x , encontramos que los ángulos α y β satisfacen la ley de Snell .

El principio de Fermat , también conocido como el principio del tiempo mínimo , es el vínculo entre la óptica de rayos y la óptica de ondas . En su forma "fuerte" original, el principio de Fermat establece que el camino que toma un rayo entre dos puntos dados es el camino que se puede recorrer en el menor tiempo. Para que sea cierta en todos los casos, esta afirmación debe debilitarse reemplazando el tiempo "mínimo" por un tiempo " estacionario " con respecto a las variaciones de la ruta, de modo que una desviación en la ruta provoque, como máximo, una cambio de segundo orden en el tiempo de recorrido. En pocas palabras, un camino de rayo está rodeado por caminos cercanos que se pueden atravesar en tiempos muy cercanos. EsoSe puede demostrar que esta definición técnica corresponde a nociones más intuitivas de un rayo, como una línea de visión o la trayectoria de un rayo estrecho .

Propuesto por primera vez por el matemático francés Pierre de Fermat en 1662, como un medio para explicar la ley ordinaria de refracción de la luz (Fig. 1), el principio de Fermat fue inicialmente controvertido porque parecía atribuir conocimiento e intención a la naturaleza. Hasta el siglo XIX no se comprendió que la capacidad de la naturaleza para probar caminos alternativos es simplemente una propiedad fundamental de las ondas. Si se dan los puntos A y B , un frente de onda que se expande desde A barre todas las posibles trayectorias de rayos que irradian desde A , pasen por B o no. Si el frente de onda alcanza el punto B , barre no solo la (s) trayectoria (s) del rayo de A a B , sino también una infinidad de trayectorias cercanas con los mismos puntos finales. El principio de Fermat describe cualquier rayo que llega al punto  B ; no hay ninguna implicación de que el rayo "conocía" el camino más rápido o "tenía la intención" de tomar ese camino.

Fig. 2 :  dos puntos P y P ' en un camino de A a B . A los efectos del principio de Fermat, el tiempo de propagación de P a P ' se toma como un punto de código en P , no (por ejemplo) para un frente de onda arbitraria W pasa a través de P . La superficie Σ   (con normal unitaria n̂ en P ′ ) es el lugar geométrico de los puntos que una perturbación en P puede alcanzar en el mismo tiempo que tarda en llegar a P ′ ; en otras palabras, Σ es el frente de onda secundario con radio PP ′ . ( No se supone que el medio sea homogéneo o isótropo ).

Con el fin de comparar los tiempos de recorrido, el tiempo desde un punto hasta el siguiente punto designado se toma como si el primer punto fuera una fuente puntual . Sin esta condición, el tiempo de recorrido sería ambiguo; por ejemplo, si el tiempo de propagación de P a P ' se calculara a partir de un frente de onda arbitrario W que contenga P   (figura 2), ese tiempo podría hacerse arbitrariamente pequeño inclinando adecuadamente el frente de onda.

Tratar un punto del camino como fuente es el requisito mínimo del principio de Huygens y es parte de la explicación del principio de Fermat. Pero también se puede demostrar que la construcción geométrica mediante la cual Huygens intentó aplicar su propio principio (a diferencia del principio mismo) es simplemente una invocación del principio de Fermat. De ahí que todas las conclusiones que Huygens extrajo de esa construcción, incluidas, entre otras, las leyes de la propagación rectilínea de la luz, la reflexión ordinaria, la refracción ordinaria y la refracción extraordinaria del " cristal de Islandia " (calcita), también son consecuencias del principio de Fermat.

Derivación

Condiciones suficientes

Supongamos que:

(1) Una perturbación se propaga secuencialmente a través de un medio (un vacío o algún material, no necesariamente homogéneo o isótropo ), sin acción a distancia ;
(2) Durante la propagación, la influencia de la perturbación en cualquier punto intermedio P sobre los puntos circundantes tiene una extensión angular distinta de cero (como si P fuera una fuente), de modo que una perturbación que se origina en cualquier punto A llega a cualquier otro punto B a través de una infinidad de caminos, por los cuales B recibe una infinidad de versiones retardadas de la perturbación en A ; y
(3) Estas versiones retrasadas de la perturbación se reforzarán entre sí en B si están sincronizadas dentro de cierta tolerancia.

Entonces, las diversas rutas de propagación de A a B se ayudarán mutuamente si sus tiempos de recorrido coinciden dentro de dicha tolerancia. Para una pequeña tolerancia (en el caso límite), el rango permisible de variaciones de la ruta se maximiza si la ruta es tal que su tiempo de recorrido es estacionario con respecto a las variaciones, de modo que una variación de la ruta causa como máximo un segundo -Cambio de orden en el tiempo de recorrido.

El ejemplo más obvio de una estacionariedad en el tiempo transversal es un mínimo (local o global), es decir, un camino de tiempo mínimo , como en la forma "fuerte" del principio de Fermat. Pero esa condición no es esencial para el argumento.

Habiendo establecido que un camino de tiempo de recorrido estacionario está reforzado por un corredor de caminos vecinos de ancho máximo, todavía necesitamos explicar cómo este refuerzo corresponde a las nociones intuitivas de un rayo. Pero, por brevedad en las explicaciones, definamos primero una trayectoria de rayo como una trayectoria de tiempo transversal estacionario.

Un rayo como camino de señal (línea de visión)

Si el corredor de caminos que refuerza la trayectoria de un rayo de A a B está sustancialmente obstruido, esto alterará significativamente la perturbación que llega a B desde A , a diferencia de una obstrucción de tamaño similar fuera de dicho corredor, bloqueando caminos que no se refuerzan entre sí. La primera obstrucción interrumpirá significativamente la señal que llega a B desde A , mientras que la última no lo hará; por tanto, la trayectoria del rayo marca una trayectoria de señal . Si la señal es luz visible, la primera obstrucción afectará significativamente la apariencia de un objeto en A como lo ve un observador en B , mientras que el segundo no lo hará; por lo que la trayectoria del rayo marca una línea de visión .

En los experimentos ópticos, se asume rutinariamente que una línea de visión es una trayectoria de rayos.

Un rayo como camino de energía (haz)

Fig.3 :  Un experimento que demuestra la refracción (y la reflexión parcial) de los rayos , aproximados o contenidos en haces estrechos.

Si el corredor de caminos que refuerza la trayectoria de un rayo de A a B está sustancialmente obstruido, esto afectará significativamente la energía que llega a B desde A , a diferencia de una obstrucción de tamaño similar fuera de dicho corredor. Por tanto, la trayectoria del rayo marca una trayectoria de energía , al igual que un rayo.

Supongamos que un frente de onda en expansión desde el punto A pasa el punto P , que se encuentra en una trayectoria del rayo desde el punto A al punto B . Por definición, todos los puntos del frente de onda tienen el mismo tiempo de propagación de una . Ahora el frente de onda ser bloqueada excepto por una ventana, centrada en P , y lo suficientemente pequeña como para encuentran dentro del corredor de caminos que refuerzan la trayectoria del rayo de A a B . Entonces, todos los puntos en la parte no obstruida del frente de onda tendrán, casi lo suficiente, tiempos de propagación iguales a B , pero no a puntos en otras direcciones, de modo que B estará en la dirección de la intensidad máxima del haz admitido a través de la ventana. Entonces, la trayectoria del rayo marca el rayo. Y en los experimentos ópticos, un rayo se considera habitualmente como una colección de rayos o (si es estrecho) como una aproximación a un rayo (Fig. 3).

Analogías

Según la forma "fuerte" del principio de Fermat, el problema de encontrar el camino de un rayo de luz desde el punto A en un medio de propagación más rápida, hasta el punto B en un medio de propagación más lenta ( Fig. 1 ), es análogo al Problema al que se enfrenta un salvavidas para decidir dónde entrar al agua para llegar lo antes posible a un nadador que se está ahogando, dado que el salvavidas puede correr más rápido de lo que él puede nadar. Pero esa analogía no llega a explicar el comportamiento de la luz, porque el salvavidas puede pensar en el problema (aunque sea solo por un instante) mientras que la luz presumiblemente no puede. El descubrimiento de que las hormigas son capaces de realizar cálculos similares no cierra la brecha entre lo animado y lo inanimado.

En contraste, los supuestos anteriores (1) a (3) son válidos para cualquier perturbación en forma de onda y explican el principio de Fermat en términos puramente mecanicistas , sin ninguna imputación de conocimiento o propósito.

El principio se aplica a las ondas en general, incluidas (por ejemplo) ondas sonoras en fluidos y ondas elásticas en sólidos. En una forma modificada, incluso funciona para ondas de materia : en mecánica cuántica , la ruta clásica de una partícula se puede obtener aplicando el principio de Fermat a la onda asociada, excepto que, debido a que la frecuencia puede variar con la ruta, la estacionariedad está en el cambio de fase (o número de ciclos) y no necesariamente en el tiempo.

El principio de Fermat es más familiar, sin embargo, en el caso de la luz visible : es el vínculo entre la óptica geométrica , que describe ciertos fenómenos ópticos en términos de rayos , y la teoría ondulatoria de la luz , que explica los mismos fenómenos sobre la hipótesis de que la luz consta de ondas .

Equivalencia a la construcción de Huygens

Fig. 4 :  Dos iteraciones de la construcción de Huygens. En la primera iteración, la posterior de frente de onda W ' se deriva de la anterior frente de onda W mediante la adopción de la envolvente de todos los frentes de onda secundarios (arcos grises) expandir en un tiempo dado desde todos los puntos (por ejemplo, P ) en W . Las flechas muestran las direcciones de los rayos.

En este artículo distinguimos entre el principio de Huygens , que establece que cada punto atravesado por una onda viajera se convierte en la fuente de una onda secundaria, y la construcción de Huygens , que se describe a continuación.

Sea la superficie W un frente de onda en el tiempo t , y sea la superficie W ′ el mismo frente de onda en el tiempo posterior  t + Δt   (Fig. 4). Deje que P sea un punto general sobre W . Entonces, de acuerdo con la construcción de Huygens,

(a)  W ′ es la envolvente (superficie tangente común), en el lado delantero de W , de todos los frentes de onda secundarios, cada uno de los cuales se expandiría en el tiempo Δt desde un punto en W , y
(b) si el frente de onda secundario que se expande desde el punto P en el tiempo Δt toca la superficie W ′ en el punto P ′ , entonces P y P ′ se encuentran en un rayo .

La construcción puede repetirse para encontrar posiciones sucesivas del frente de onda primario y puntos sucesivos en el rayo.

La dirección del rayo dada por esta construcción es la dirección radial del frente de onda secundario y puede diferir de la normal del frente de onda secundario (ver  Fig. 2 ), y por lo tanto de la normal del frente de onda primario en el punto de tangencia. Por lo tanto, la velocidad del rayo , en magnitud y dirección, es la velocidad radial de un frente de onda secundario infinitesimal, y generalmente es una función de la ubicación y la dirección.

Ahora sea Q un punto en W cerca de P , y sea Q ′ un punto en W ′ cerca de P ′ . Entonces, por la construcción,

(i) el tiempo necesario para que un frente de onda secundario desde P alcance Q ′ tiene como máximo una dependencia de segundo orden del desplazamiento P′Q ′ , y
(ii) el tiempo que tarda un frente de onda secundario en llegar a P ' desde Q tiene como máximo una dependencia de segundo orden del desplazamiento PQ .

Por (i), la trayectoria del rayo es una trayectoria de tiempo de recorrido estacionario de P a W ′ ; y por (ii), es una trayectoria de tiempo de recorrido estacionario desde un punto en W a P ' .

Por tanto, la construcción de Huygens define implícitamente una trayectoria de rayos como una trayectoria de tiempo de recorrido estacionario entre posiciones sucesivas de un frente de onda , contando el tiempo desde una fuente puntual en el frente de onda anterior. Esta conclusión sigue siendo válida si los frentes de onda secundarios son reflejados o refractados por superficies de discontinuidad en las propiedades del medio, siempre que la comparación se limite a las trayectorias afectivas y las porciones afectadas de los frentes de onda.

El principio de Fermat, sin embargo, se expresa convencionalmente en términos de punto a punto , no en términos de frente de onda a frente de onda. En consecuencia, modifiquemos el ejemplo suponiendo que el frente de onda que se convierte en la superficie W en el tiempo t , y que se convierte en la superficie W ' en el tiempo posterior t + Δt , se emite desde el punto A en el tiempo  0 . Sea P un punto en W (como antes) y B un punto en W ′ . Y dejar que A, W, W ', y B se dará, por lo que el problema es encontrar P .

Si P satisface Huygens construcción, de modo que el frente de onda secundaria de P es tangencial a W ' en B , a continuación, PB es un camino de tiempo de recorrido estacionaria de W a B . Sumando el tiempo fijo de A a W , encontramos que APB es la trayectoria del tiempo de recorrido estacionario de A a B (posiblemente con un dominio de comparación restringido, como se señaló anteriormente), de acuerdo con el principio de Fermat. El argumento funciona igual de bien en la dirección inversa, a condición de que W ' tiene un plano tangente bien definido en B . Por tanto, la construcción de Huygens y el principio de Fermat son geométricamente equivalentes.

A través de esta equivalencia, el principio de Fermat sustenta la construcción de Huygens y de ahí todas las conclusiones que Huygens pudo sacar de esa construcción. En resumen, "Las leyes de la óptica geométrica pueden derivarse del principio de Fermat". Con la excepción del propio principio de Fermat-Huygens, estas leyes son casos especiales en el sentido de que dependen de supuestos adicionales sobre los medios de comunicación. Dos de ellos se mencionan en el siguiente título.

Casos especiales

Medios isotrópicos: Rayos normales a los frentes de onda.

En un medio isotrópico, debido a que la velocidad de propagación es independiente de la dirección, los frentes de onda secundarios que se expanden desde puntos en un frente de onda primario en un tiempo infinitesimal dado son esféricos, por lo que sus radios son normales a su superficie tangente común en los puntos de tangencia. Pero sus radios marcan las direcciones de los rayos y su superficie tangente común es un frente de onda general. Por tanto, los rayos son normales (ortogonales) a los frentes de onda.

Debido a que gran parte de la enseñanza de la óptica se concentra en medios isotrópicos, tratando los medios anisotrópicos como un tema opcional, la suposición de que los rayos son normales a los frentes de onda puede llegar a ser tan omnipresente que incluso el principio de Fermat se explica bajo esa suposición, aunque de hecho el principio de Fermat es mas general.

Medios homogéneos: propagación rectilínea

En un medio homogéneo (también llamado medio uniforme ), todos los frentes de onda secundarios que se expanden desde un frente de onda primario dado W en un tiempo dado Δt son congruentes y están orientados de manera similar, por lo que su envolvente W ′ puede considerarse como la envolvente de un solo frente de onda secundaria que conserva su orientación mientras mueve su centro (fuente) más de W . Si P es su centro, mientras que P ' es su punto de tangencia con W' , entonces P ' se mueve paralelamente a P , de modo que el tangencial avión a W' en P ' es paralela a la tangencial avión a W en P . Sea otro frente de onda secundario (congruente y orientado de manera similar) centrado en P ′ , moviéndose con P , y deje que se encuentre con su envolvente W ″ en el punto P ″ . Entonces, por el mismo razonamiento, el plano tangencial a W ″ en P ″ es paralelo a los otros dos planos. Por lo tanto, debido a la congruencia y orientaciones similares, las direcciones de los rayos PP ′ y P′P ″ son las mismas (pero no necesariamente normales a los frentes de onda, ya que los frentes de onda secundarios no son necesariamente esféricos). Esta construcción puede repetirse tantas veces como desee, dando un rayo recto de cualquier longitud. Así, un medio homogéneo admite rayos rectilíneos.

Versión moderna

Formulación en términos de índice de refracción

Deje un camino Γ se extienden desde el punto A al punto B . Sea s la longitud del arco medida a lo largo de la trayectoria desde A , y sea t el tiempo necesario para atravesar la longitud del arco a la velocidad del rayo (es decir, a la velocidad radial del frente de onda secundario local, para cada ubicación y dirección en el sendero). Entonces el tiempo de recorrido de todo el camino Γ es

 

 

 

 

(1)

(donde A y B simplemente denotan los puntos finales y no son para ser interpretados como valores de t o s ). La condición para que Γ sea ​​una trayectoria de rayos es que el cambio de primer orden en T debido a un cambio en Γ sea ​​cero; es decir,

.

Ahora definamos la longitud óptica de una trayectoria dada ( longitud de trayectoria óptica , OPL ) como la distancia recorrida por un rayo en un medio de referencia isotrópico homogéneo (por ejemplo, un vacío) en el mismo tiempo que se tarda en atravesar la trayectoria dada en la velocidad del rayo local. Entonces, si c denota la velocidad de propagación en el medio de referencia (por ejemplo, la velocidad de la luz en el vacío), la longitud óptica de un camino atravesado en el tiempo dt   es dS = c dt , y la longitud óptica de un camino atravesado en el tiempo T   es S = cT . Entonces, multiplicando la ecuación  (1) por c  , obtenemos ‍  ‍‍  

donde está el índice del rayo , es decir, el índice de refracción calculado sobre la velocidad del rayo en lugar de la velocidad de fase habitual (velocidad normal de onda). Para una trayectoria infinitesimal, tenemos que indicar que la longitud óptica es la longitud física multiplicada por el índice de rayos: el OPL es una cantidad geométrica teórica , a partir de la cual se ha factorizado el tiempo. En términos de OPL, la condición para que Γ sea ​​una trayectoria de rayos (principio de Fermat) se convierte en  

.

 

 

 

 

(2)

Esto tiene la forma del principio de Maupertuis en la mecánica clásica (para una sola partícula), con el índice de rayos en la óptica tomando el papel de la cantidad de movimiento o la velocidad en la mecánica.

En un medio isotrópico, para el cual la velocidad del rayo es también la velocidad de fase, podemos sustituir el índice de refracción habitual n por  n r . 

Relación con el principio de Hamilton

Si x, y, z son coordenadas cartesianas y un overdot denota diferenciación con respecto a s  , el principio de Fermat (2) puede escribirse

En el caso de un medio isotrópico, podemos reemplazar n r con el índice de refracción normal  n ( x, y, z ) , que es simplemente un campo escalar . Si luego definimos el lagrangiano óptico como

El principio de Fermat se convierte en

.

Si la dirección de propagación es siempre tal que podemos usar z en lugar de s como parámetro de la ruta (y el overdot para denotar la diferenciación wrt  z en lugar de s ), el lagrangiano óptico se puede escribir en su lugar

para que el principio de Fermat se convierta en

.

Esto tiene la forma del principio de Hamilton en la mecánica clásica, excepto que falta la dimensión del tiempo: la tercera coordenada espacial en la óptica toma el papel del tiempo en la mecánica. El lagrangiano óptico es la función que, cuando se integra con el parámetro de la ruta, produce el OPL; es la base de la óptica lagrangiana y hamiltoniana .

Historia

Fermat contra los cartesianos

Pierre de Fermat (1607-1665)

Si un rayo sigue una línea recta, obviamente toma el camino de menor longitud . Hero of Alexandria , en su Catoptrics (siglo I d.C.), mostró que la ley ordinaria de reflexión en una superficie plana se deriva de la premisa de que la longitud total de la trayectoria del rayo es mínima. En 1657, Pierre de Fermat recibió de Marin Cureau de la Chambre una copia de un tratado recién publicado, en el que La Chambre notó el principio de Hero y se quejó de que no funcionaba para la refracción.

Fermat respondió que la refracción se podría colocar en el mismo marco suponiendo que la luz toma el camino de menor resistencia y que diferentes medios ofrecen diferentes resistencias. Su eventual solución, descrita en una carta a La Chambre fechada el 1 de enero de 1662, interpretó la "resistencia" como inversamente proporcional a la velocidad, de modo que la luz tomó el camino del menor tiempo . Esa premisa dio lugar a la ley ordinaria de refracción , siempre que la luz viajara más lentamente en el medio ópticamente más denso.

La solución de Fermat fue un hito ya que unificó las leyes entonces conocidas de la óptica geométrica bajo un principio variacional o principio de acción , sentando el precedente para el principio de mínima acción en la mecánica clásica y los principios correspondientes en otros campos (ver Historia de los principios variacionales en física ). Fue el más notable porque utilizó el método de la adecuación , que puede entenderse retrospectivamente como encontrar el punto donde la pendiente de una cuerda infinitesimalmente corta es cero, sin el paso intermedio de encontrar una expresión general para la pendiente (la derivada ). .

También fue inmediatamente controvertido. La ley ordinaria de la refracción se atribuyó en ese momento a René Descartes († 1650), quien había intentado explicarla suponiendo que la luz era una fuerza que se propagaba instantáneamente , o que la luz era análoga a una pelota de tenis que viajaba más rápido en el campo. medio más denso, cualquiera de las dos premisas es incompatible con la de Fermat. El defensor más destacado de Descartes, Claude Clerselier , criticó a Fermat por atribuir aparentemente el conocimiento y la intención a la naturaleza, y por no explicar por qué la naturaleza debería preferir economizar el tiempo en lugar de la distancia. Clerselier escribió en parte:

1. El principio que tomas como base de tu demostración, es decir, que la naturaleza siempre actúa de la manera más breve y sencilla, es meramente un principio moral y no físico; no es, ni puede ser, la causa de ningún efecto en la naturaleza ... Porque de otro modo atribuiríamos conocimiento a la naturaleza; pero aquí, por "naturaleza", entendemos sólo este orden y esta ley establecida en el mundo tal cual es, que actúa sin previsión, sin elección y por una determinación necesaria.

2. Este mismo principio haría que la naturaleza sea irresoluta ... Porque les pregunto ... cuando un rayo de luz debe pasar de un punto en un medio raro a un punto en uno denso, ¿no hay razón para que la naturaleza vacile si , según su principio, debe elegir la recta tan pronto como la doblada, ya que si esta última resulta más corta en el tiempo, ¿la primera es más corta y más simple en longitud? ¿Quién decidirá y quién se pronunciará? 

Fermat, desconociendo los fundamentos mecanicistas de su propio principio, no estaba bien situado para defenderlo, excepto como una proposición puramente geométrica y cinemática . La teoría ondulatoria de la luz , propuesta por primera vez por Robert Hooke en el año de la muerte de Fermat, y rápidamente mejorada por Ignace-Gaston Pardies y (especialmente) Christiaan Huygens , contenía los fundamentos necesarios; pero el reconocimiento de este hecho fue sorprendentemente lento.

Supervisión de Huygens

Christiaan Huygens (1629-1695)

Huygens se refirió repetidamente a la envolvente de sus frentes de onda secundarios como la terminación del movimiento, lo que significa que el último frente de onda era el límite exterior que la perturbación podía alcanzar en un tiempo dado, que por lo tanto era el tiempo mínimo en el que cada punto del frente de onda posterior podría ser alcanzado. Pero no argumentó que la dirección del tiempo mínimo fuera la que va desde la fuente secundaria hasta el punto de tangencia; en cambio, dedujo la dirección del rayo a partir de la extensión de la superficie tangente común correspondiente a una extensión dada del frente de onda inicial. Su único respaldo al principio de Fermat fue de alcance limitado: habiendo derivado la ley de la refracción ordinaria, para la cual los rayos son normales a los frentes de onda, Huygens dio una prueba geométrica de que un rayo refractado de acuerdo con esta ley toma el camino de menor tiempo. Difícilmente habría pensado que esto era necesario si hubiera sabido que el principio del tiempo mínimo se deriva directamente de la misma construcción de tangente común mediante la cual había deducido no solo la ley de la refracción ordinaria, sino también las leyes de la propagación rectilínea y la reflexión ordinaria ( que también se sabía que se seguían del principio de Fermat), y una ley previamente desconocida de refracción extraordinaria : la última por medio de frentes de onda secundarios que eran esferoidales en lugar de esféricos, con el resultado de que los rayos eran generalmente oblicuos a los frentes de onda. Era como si Huygens no se hubiera dado cuenta de que su construcción implicaba el principio de Fermat, e incluso como si pensara que había encontrado una excepción a ese principio. La evidencia manuscrita citada por Alan E.  Shapiro tiende a confirmar que Huygens creía que el principio del tiempo mínimo era inválido "en doble refracción , donde los rayos no son normales a los frentes de onda".

Shapiro informa además que las únicas tres autoridades que aceptaron el "principio de Huygens" en los siglos XVII y XVIII, a saber, Philippe de La Hire , Denis Papin y Gottfried Wilhelm Leibniz , lo hicieron porque explicaban la extraordinaria refracción del " cristal de Islandia ". (calcita) de la misma manera que las leyes previamente conocidas de la óptica geométrica. Pero, por el momento, la correspondiente extensión del principio de Fermat pasó desapercibida.

Laplace, Young, Fresnel y Lorentz

Pierre-Simon Laplace (1749-1827)

El 30 de enero de 1809, Pierre-Simon Laplace , informando sobre el trabajo de su protegido Étienne-Louis Malus , afirmó que la extraordinaria refracción de la calcita podría explicarse bajo la teoría corpuscular de la luz con la ayuda del principio de mínima acción de Maupertuis : que el La integral de la velocidad con respecto a la distancia era mínima. La velocidad corpuscular que satisfacía este principio era proporcional al recíproco de la velocidad del rayo dada por el radio del esferoide de Huygens. Laplace continuó:

Según Huygens, la velocidad del rayo extraordinario, en el cristal, se expresa simplemente por el radio del esferoide; en consecuencia, su hipótesis no concuerda con el principio de la mínima acción: pero es notable que concuerde con el principio de Fermat, que es que la luz pasa, desde un punto dado sin el cristal, a un punto dado dentro de él, en el menor tiempo posible; pues es fácil ver que este principio coincide con el de mínima acción, si invertimos la expresión de la velocidad.

Thomas Young (1773-1829)

El informe de Laplace fue objeto de una amplia refutación de Thomas Young , quien escribió en parte:

El principio de Fermat, aunque fue asumido por ese matemático sobre bases hipotéticas, o incluso imaginarias, es de hecho una ley fundamental con respecto al movimiento ondulatorio, y es explícitamente [ sic ] la base de toda determinación en la teoría huygeniana ... El Sr. Laplace parece no estar familiarizado con este principio esencial de una de las dos teorías que compara; porque dice que "es notable" que la ley de Huygenian de refracción extraordinaria concuerde con el principio de Fermat; lo que difícilmente habría observado si hubiera sabido que la ley es una consecuencia inmediata del principio.

De hecho, Laplace era consciente de que el principio de Fermat se deriva de la construcción de Huygens en el caso de la refracción de un medio isótropo a uno anisótropo; una prueba geométrica estaba contenida en la versión larga del informe de Laplace, impreso en 1810.

La afirmación de Young era más general que la de Laplace, y también defendía el principio de Fermat incluso en el caso de una refracción extraordinaria, en la que los rayos generalmente no son perpendiculares a los frentes de onda. Desafortunadamente, sin embargo, la oración intermedia omitida del párrafo citado por Young comenzaba "El movimiento de cada ondulación debe necesariamente estar en una dirección perpendicular a su superficie ..." (énfasis agregado), y por lo tanto estaba destinado a sembrar confusión en lugar de claridad. .

Augustin-Jean Fresnel (1788-1827)

Esa confusión no subsiste en la "Segunda memoria" de Augustin-Jean Fresnel sobre la doble refracción ( Fresnel, 1827 ), que aborda el principio de Fermat en varios lugares (sin nombrar a Fermat), partiendo del caso especial en el que los rayos son normales a los frentes de onda, al caso general en el que los rayos son trayectorias de menor tiempo o tiempo estacionario. (En el siguiente resumen, los números de página se refieren a la traducción de Alfred W.  Hobson ).

  • Para la refracción de una onda plana con incidencia paralela en una cara de una cuña cristalina anisotrópica (págs. 291-2), para encontrar el "primer rayo llegado" a un punto de observación más allá de la otra cara de la cuña, basta con trate los rayos fuera del cristal como normales a los frentes de onda, y dentro del cristal para considerar solo los frentes de onda paralelos (cualquiera que sea la dirección del rayo). Entonces, en este caso, Fresnel no intenta rastrear la trayectoria completa del rayo.
  • A continuación, Fresnel considera un rayo refractado desde una fuente puntual M dentro de un cristal, a través de un punto A en la superficie, hasta un punto de observación B en el exterior (págs. 294–6). La superficie que pasa por B y está dada por el "lugar de las perturbaciones que llegan primero" es, según la construcción de Huygens, normal al "rayo AB de llegada más rápida". Pero esta construcción requiere el conocimiento de la "superficie de la onda" (es decir, el frente de onda secundario) dentro del cristal.
  • Luego considera un frente de onda plano que se propaga en un medio con frentes de onda secundarios no esféricos, orientado de modo que la trayectoria del rayo dada por la construcción de Huygens, desde la fuente del frente de onda secundario hasta su punto de tangencia con el frente de onda primario posterior, no es normal. a los frentes de onda primarios (p. 296). Muestra que esta ruta es, sin embargo, "la ruta de llegada más rápida de la perturbación" desde el frente de onda primario anterior hasta el punto de tangencia.
  • En un encabezado posterior (p. 305) declara que "La construcción de Huygens, que determina el camino de la llegada más rápida", es aplicable a frentes de onda secundarios de cualquier forma. Luego señala que cuando aplicamos la construcción de Huygens a la refracción en un cristal con un frente de onda secundario de dos láminas, y dibujamos las líneas desde los dos puntos de tangencia al centro del frente de onda secundario, "tendremos las direcciones de los dos. senderos de llegada más rápida, y en consecuencia del rayo ordinario y extraordinario ".
  • Bajo el título "Definición de la palabra Ray " (p. 309), concluye que este término debe aplicarse a la línea que une el centro de la onda secundaria a un punto de su superficie, cualquiera que sea la inclinación de esta línea a la superficie.
  • Como una "nueva consideración" (págs. 310-11), señala que si un frente de onda plano pasa a través de un pequeño orificio centrado en el punto E , entonces la dirección ED de máxima intensidad del haz resultante será aquella en la que el secundario la onda que comienza en E "llegará allí la primera", y los frentes de onda secundarios de lados opuestos del agujero (equidistantes de E ) "llegarán a D al mismo tiempo" entre sí. Esta dirección se no supone que es normal a cualquier frente de onda.

Así, Fresnel demostró, incluso para medios anisotrópicos, que la trayectoria de los rayos dada por la construcción de Huygens es la trayectoria de menor tiempo entre posiciones sucesivas de un plano o frente de onda divergente, que las velocidades de los rayos son los radios de la "superficie de onda" secundaria después de la unidad. tiempo, y que un tiempo de recorrido estacionario representa la dirección de máxima intensidad de un haz. Sin embargo, establecer la equivalencia general entre la construcción de Huygens y el principio de Fermat habría requerido una mayor consideración del principio de Fermat en términos de punto a punto.

Hendrik Lorentz , en un artículo escrito en 1886 y republicado en 1907, dedujo el principio del tiempo mínimo en forma de punto a punto de la construcción de Huygens. Pero la esencia de su argumento estaba algo oscurecida por una aparente dependencia del éter y el éter arrastrado .

El trabajo de Lorentz fue citado en 1959 por Adriaan J. de Witte, quien luego ofreció su propio argumento, que "aunque en esencia es el mismo, se cree que es más convincente y más general". El tratamiento de De Witte es más original de lo que sugiere esa descripción, aunque se limita a dos dimensiones; utiliza el cálculo de variaciones para mostrar que la construcción de Huygens y el principio de Fermat conducen a la misma ecuación diferencial para la trayectoria del rayo, y que en el caso del principio de Fermat, se cumple lo contrario. De Witte también señaló que "el asunto parece haber escapado al tratamiento en los libros de texto".

Ver también

Notas

Referencias

Bibliografía

  • M. Born y E. Wolf, 1970, Principles of Optics , 4ª Ed., Oxford: Pergamon Press.
  • J. Chaves, 2016, Introducción a la óptica sin imágenes , 2da edición, Boca Raton, FL: CRC Press , ISBN  978-1-4822-0674-6 .
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  • AJ de Witte, 1959, "Equivalencia del principio de Huygens y el principio de Fermat en geometría de rayos", American Journal of Physics , vol. 27, no. 5 (mayo de 1959), págs. 293-301, doi : 10.1119 / 1.1934839 .  Errata : En la Fig. 7 (b), cada instancia de "rayo" debe ser "normal" (anotado en el vol. 27, no. 6, p. 387).
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