Heap (matemáticas) - Heap (mathematics)

En álgebra abstracta , un semiheap es una estructura algebraica que consta de un conjunto H no vacío con una operación ternaria denotada que satisface una propiedad de asociatividad modificada: ${\ Displaystyle [x, y, z] \ in H}$

${\ Displaystyle \ forall a, b, c, d, e \ en H \ \ \ \ [[a, b, c], d, e] = [a, [d, c, b], e] = [ a B C D e]].}$

Un elemento biunitary h de un satisface semiheap [ h, h, k ] = k = [ k, h, h ] para cada k en H .

Un montón es un semi montón en el que cada elemento es biunitario.

El término montón se deriva de груда, ruso para "montón", "pila" o "pila". Anton Sushkevich utilizó el término en su Teoría de los grupos generalizados (1937) que influyó en Viktor Wagner , promulgador de semi-montones, montones y montones generalizados. Груда contrasta con группа ( grupo ) que fue llevado al ruso por transliteración. De hecho, a un montón se le ha llamado groud en el texto en inglés).

Ejemplos de

Montón de dos elementos

Conviértase en el grupo cíclico , definiendo el elemento de identidad, y . Luego produce el siguiente montón: ${\ Displaystyle H = \ {a, b \}}$ ${\ Displaystyle C_ {2}}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle bb = a}$

${\ Displaystyle [a, a, a] = a, \, [a, a, b] = b, \, [b, a, a] = b, \, [b, a, b] = a,}$

${\ Displaystyle [a, b, a] = b, \, [a, b, b] = a, \, [b, b, a] = a, \, [b, b, b] = b.}$

Definiendo como elemento de identidad y habría dado el mismo montón. ${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle aa = b}$

Montón de enteros

Si son enteros, podemos configurar para producir un montón. Luego podemos elegir cualquier número entero para que sea la identidad de un nuevo grupo en el conjunto de números enteros, con la operación ${\ Displaystyle x, y, z}$${\ Displaystyle [x, y, z] = x-y + z}$ ${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle *}$

${\ Displaystyle x * y = x + yk}$

e inversa

${\ Displaystyle x ^ {- 1} = 2k-x}$ .

Montón de un groupoid con dos objetos.

Se puede generalizar la noción del montón de un grupo al caso de un grupoide que tiene dos objetos A y B cuando se ve como una categoría . Los elementos del montón pueden identificarse con los morfismos de A a B, de manera que tres morfismos x , y , z definen una operación de montón de acuerdo con:

${\ Displaystyle [x, y, z] = xy ^ {- 1} z.}$

Esto se reduce al montón de un grupo si se elige como identidad un morfismo particular entre los dos objetos. Esto relaciona intuitivamente la descripción de isomorfismos entre dos objetos como un montón y la descripción de isomorfismos entre múltiples objetos como un grupoide.

Relaciones heterogéneas

Sean A y B conjuntos diferentes y la colección de relaciones heterogéneas entre ellos. Para definir el operador ternario donde q ^T es la relación inversa de q . El resultado de esta composición es también que se ha formado una estructura matemática mediante la operación ternaria. Viktor Wagner fue motivado para formar este montón por su estudio de mapas de transición en un atlas que son funciones parciales . Por lo tanto, un montón es más que un ajuste de un grupo: es un concepto general que incluye a un grupo como un caso trivial. ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (A, B)}$${\ Displaystyle p, q, r \ in {\ mathcal {B}} (A, B)}$${\ Displaystyle [p, q, r] = pq ^ {T} r}$${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (A, B)}$

Teoremas

Teorema : Un semiheap con un elemento biunitario e puede considerarse un semigrupo involucionado con operación dada por ab = [ a , e , b ] e involución por a ^–1 = [ e , a , e ].

Teorema : Cada semi-montón puede estar incrustado en un semigrupo involucionado .

Como en el estudio de los semigrupos , la estructura de los semigrupos se describe en términos de ideales, siendo un "semi-montículo i-simple" uno sin ideales propios. Mustafaeva tradujo las relaciones de Green de la teoría de semigrupos a semi-montones y definió una clase ρ como aquellos elementos que generan el mismo principio ideal bilateral. Luego demostró que ningún semi-montón i-simple puede tener más de dos clases ρ.

También describió las clases de regularidad de un semiheap S :

${\ Displaystyle D (m, n) = \ {a \ mid \ existe x \ en S: a = a ^ {n} xa ^ {m} \}}$ donde n y m tienen el mismo paridad y la operación ternaria de la semiheap aplica a la izquierda de una cadena de S .

Demuestra que S puede tener como máximo 5 clases de regularidad. Mustafaev llama a un ideal B "aislado" cuando luego demuestra que cuando S = D (2,2), entonces todo ideal está aislado y viceversa. ${\ Displaystyle a ^ {n} \ en B \ implica a \ en B.}$

Al estudiar el semi-montón Z ( A, B ) de las relaciones heterogéneas entre los conjuntos A y B , en 1974 KA Zareckii siguió el ejemplo de Mustafaev para describir la equivalencia ideal, las clases de regularidad y los factores ideales de un semi-montón.

Generalizaciones y conceptos relacionados

• Un pseudoheap o pseudogroud satisface la condición paraasociativa parcial

  ${\ Displaystyle [[a, b, c], d, e] = [a, b, [c, d, e]].}$

• Una operación de Malcev satisface la ley de identidad pero no necesariamente la ley paraasociativa, es decir, una operación ternaria en un conjunto que satisface la identidad . ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle f (x, x, y) = f (y, x, x) = y}$
• Se requiere un semiheap o semigroud para satisfacer solo la ley paraasociativa , pero no es necesario que obedezca la ley de identidad.

  Un ejemplo de semigroud que no es en general un groud viene dado por M un anillo de matrices de tamaño fijo con

  ${\ Displaystyle [x, y, z] = x \ cdot y ^ {\ mathrm {T}} \ cdot z}$

  donde • denota multiplicación de matrices y T denota transposición de matrices .

• Un semiheap idempotente es un semiheap donde para todos a . ${\ Displaystyle [a, a, a] = a}$
• Un montón generalizado o groud generalizado es un semi montón idempotente donde

  ${\ Displaystyle [a, a, [b, b, x]] = [b, b, [a, a, x]]}$ y para todos una y b . ${\ Displaystyle [[x, a, a], b, b] = [[x, b, b], a, a]}$

Un semigroud es un groud generalizado si la relación → definida por

${\ displaystyle a \ rightarrow b \ Leftrightarrow [a, b, a] = a}$

es reflexiva (idempotencia) y antisimétrica . En un groud generalizado, → es una relación de orden .

Ver también

asociatividad n -aria

Notas

Referencias

• Anton Sushkevich (1929) "Sobre una generalización de la ley asociativa", Transactions of the American Mathematical Society 31 (1): 204–14 doi : 10.1090 / S0002-9947-1929-1501476-0 MR 1501476
• Schein, Boris (1979). "Semigrupos inversos y grupos generalizados". En AF Lavrik (ed.). Doce trabajos de lógica y álgebra . Amer. Matemáticas. Soc. Transl. 113 . Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 89-182. ISBN   0-8218-3063-5 .
• Vagner, VV (1968). "Sobre la teoría algebraica de atlas de coordenadas, II". Trudy Sem. Vektor. Tenzor. Anal. (en ruso). 14 : 229-281. Señor   0253970 .

enlaces externos

• Variedad Mal'cev en nLab