Función máxima de Hardy-Littlewood - Hardy–Littlewood maximal function

En matemáticas , el operador máximo M de Hardy-Littlewood es un operador no lineal significativo que se utiliza en el análisis real y el análisis armónico . Toma una función localmente integrable f  : R ^d → C y devuelve otra función Mf que, en cada punto x ∈ R ^d , da el valor promedio máximo que puede tener f en bolas centradas en ese punto. Más precisamente,

${\ Displaystyle Mf (x) = \ sup _ {r> 0} {\ frac {1} {| B (x, r) |}} \ int _ {B (x, r)} | f (y) | \, dy}$

donde B ( x , r ) es la bola de radio r centrada en x , y | E | denota la medida d- dimensional de Lebesgue de E ⊂ R ^d .

Los promedios son conjuntamente continua en x y r , por lo tanto la función de máxima Mf , siendo el supremo sobre r  > 0, es medible . No es obvio que Mf sea ​​finito en casi todas partes. Este es un corolario de la desigualdad máxima de Hardy-Littlewood .

Desigualdad máxima de Hardy-Littlewood

Este teorema de GH Hardy y JE Littlewood establece que M está acotado como un operador sublineal de L ^p ( R ^d ) a sí mismo para p > 1. Es decir, si f ∈ L ^p ( R ^d ) entonces la función máxima Mf es débil L ¹ limitado y Mf ∈ L ^p ( R ^d ). Antes de enunciar el teorema con más precisión, por simplicidad, sea { f > t } el conjunto { x | f ( x )> t }. Ahora tenemos:

Teorema (estimación de tipo débil). Para d  ≥ 1, hay una constante C _d  > 0 tal que para todo λ> 0 y f  ∈  L ¹ ( R ^d ), tenemos:

${\ Displaystyle \ left | \ {Mf> \ lambda \} \ right | <{\ frac {C_ {d}} {\ lambda}} \ Vert f \ Vert _ {L ^ {1} (\ mathbf {R} ^ {d})}.}$

Con la desigualdad máxima de Hardy-Littlewood en la mano, la siguiente estimación de tipo fuerte es una consecuencia inmediata del teorema de interpolación de Marcinkiewicz :

Teorema (Estimación de tipo fuerte). Para d  ≥ 1, 1 <  p  ≤ ∞, yf  ∈  L ^p ( R ^d ),

hay una constante C _{p, d}  > 0 tal que

${\ Displaystyle \ Vert Mf \ Vert _ {L ^ {p} (\ mathbf {R} ^ {d})} \ leq C_ {p, d} \ Vert f \ Vert _ {L ^ {p} (\ mathbf {R} ^ {d})}.}$

En la estimación de tipo fuerte _, se desconocen los mejores límites para C _{p, d} . Sin embargo, posteriormente, Elias M. Stein utilizó el método de rotaciones Calderón-Zygmund para demostrar lo siguiente:

Teorema (independencia de las dimensiones). Para 1 <  p  ≤ ∞ se puede elegir C _{p, d} = C _p independiente de d .

Prueba

Si bien hay varias demostraciones de este teorema, a continuación se da una común: Para p  = ∞, la desigualdad es trivial (ya que el promedio de una función no es mayor que su supremo esencial ). Para 1 <  p  <∞, primero usaremos la siguiente versión del lema de cobertura de Vitali para probar la estimación de tipo débil. (Vea el artículo para la prueba del lema).

Lema. Sea X un espacio métrico separable y una familia de bolas abiertas con diámetro acotado. Luego tiene una subfamilia contable que consta de bolas disjuntas de tal manera que ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} '}$

${\ Displaystyle \ bigcup _ {B \ in {\ mathcal {F}}} B \ subconjunto \ bigcup _ {B \ in {\ mathcal {F '}}} 5B}$

donde 5 B es B con 5 veces el radio.

Si Mf ( x )> t , entonces, por definición, podemos encontrar una bola B _x centrada en x tal que

${\ Displaystyle \ int _ {B_ {x}} | f | dy> t | B_ {x} |.}$

Por el lema, podemos encontrar, entre tales bolas, una secuencia de bolas disjuntas B _j tal que la unión de 5 B _j cubre { Mf > t }. Sigue:

${\ Displaystyle | \ {Mf> t \} | \ leq 5 ^ {d} \ sum _ {j} | B_ {j} | \ leq {5 ^ {d} \ over t} \ int | f | dy. }$

Esto completa la prueba de la estimación de tipo débil. A continuación, deducimos de esto los límites de L ^p . Defina b por b ( x ) = f ( x ) si | f ( x ) | > t / 2 y 0 en caso contrario. Por la estimación de tipo débil aplicada a b , tenemos:

${\ Displaystyle | \ {Mf> t \} | \ leq {2C \ over t} \ int _ {| f |> {\ frac {t} {2}}} | f | dx,}$

con C = 5 ^d . Luego

${\ Displaystyle \ | Mf \ | _ {p} ^ {p} = \ int \ int _ {0} ^ {Mf (x)} pt ^ {p-1} dtdx = p \ int _ {0} ^ { \ infty} t ^ {p-1} | \ {Mf> t \} | dt}$

Según la estimación anterior tenemos:

${\ Displaystyle \ | Mf \ | _ {p} ^ {p} \ leq p \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {p-1} \ left ({2C \ over t} \ int _ { | f |> {\ frac {t} {2}}} | f | dx \ right) dt = 2Cp \ int _ {0} ^ {\ infty} \ int _ {| f |> {\ frac {t} {2}}} t ^ {p-2} | f | dxdt = C_ {p} \ | f \ | _ {p} ^ {p}}$

donde la constante C _p sólo depende de p y d . Esto completa la demostración del teorema.

Tenga en cuenta que la constante en la demostración se puede mejorar utilizando la regularidad interna de la medida de Lebesgue y la versión finita del lema de cobertura de Vitali . Consulte la sección Discusión a continuación para obtener más información sobre cómo optimizar la constante. ${\ Displaystyle C = 5 ^ {d}}$${\ Displaystyle 3 ^ {d}}$

Aplicaciones

Algunas aplicaciones de la Desigualdad máxima de Hardy-Littlewood incluyen probar los siguientes resultados:

• Teorema de diferenciación de Lebesgue
• Teorema de diferenciación de Rademacher
• Teorema de Fatou sobre la convergencia no tangencial.
• Teorema de integración fraccional

Aquí usamos un truco estándar que involucra la función máxima para dar una prueba rápida del teorema de diferenciación de Lebesgue. (Pero recuerde que en la demostración del teorema del máximo, usamos el lema de cobertura de Vitali). Sea f ∈ L ¹ ( R ⁿ ) y

${\ Displaystyle \ Omega f (x) = \ limsup _ {r \ to 0} f_ {r} (x) - \ liminf _ {r \ to 0} f_ {r} (x)}$

dónde

${\ Displaystyle f_ {r} (x) = {\ frac {1} {| B (x, r) |}} \ int _ {B (x, r)} f (y) dy.}$

Escribimos f = h + g donde h es continua y tiene soporte compacto y g ∈ L ¹ ( R ⁿ ) con norma que puede hacerse arbitrariamente pequeña. Luego

${\ Displaystyle \ Omega f \ leq \ Omega g + \ Omega h = \ Omega g}$

por continuidad. Ahora, Ω g ≤ 2 Mg y entonces, por el teorema, tenemos:

${\ Displaystyle \ left | \ {\ Omega g> \ varepsilon \} \ right | \ leq {\ frac {2A} {\ varepsilon}} \ | g \ | _ {1}}$

Ahora, podemos hacer y concluir que Ω f = 0 casi en todas partes; es decir, existe para casi todo x . Queda por mostrar que el límite en realidad es igual a f ( x ). Pero esto es fácil: se sabe que ( aproximación de la identidad ) y por lo tanto hay una subsecuencia en casi todas partes. Por la unicidad del límite, f _r → f casi en todas partes entonces. ${\ Displaystyle \ | g \ | _ {1} \ to 0}$${\ Displaystyle \ lim _ {r \ to 0} f_ {r} (x)}$${\ Displaystyle \ | f_ {r} -f \ | _ {1} \ to 0}$${\ Displaystyle f_ {r_ {k}} \ to f}$

Discusión

Todavía se desconoce cuáles son las constantes más pequeñas C _{p, d} y C _d en las desigualdades anteriores. Sin embargo, un resultado de Elias Stein sobre las funciones máximas esféricas puede usarse para mostrar que, para 1 <  p  <∞, podemos eliminar la dependencia de C _{p, d} de la dimensión, es decir, C _{p, d}  =  C _p para alguna constante C _p  > 0 solo dependiendo de p . Se desconoce si existe un límite débil que sea independiente de la dimensión.

Hay varias variantes comunes del operador máximo de Hardy-Littlewood que reemplazan los promedios sobre bolas centradas con promedios sobre diferentes familias de series. Por ejemplo, se puede definir el operador máximo HL no centrado (usando la notación de Stein-Shakarchi)

${\ Displaystyle f ^ {*} (x) = \ sup _ {x \ in B_ {x}} {\ frac {1} {| B_ {x} |}} \ int _ {B_ {x}} | f (y) | dy}$

donde se requiere que las bolas B _x contengan simplemente x, en lugar de estar centradas en x. También existe el operador máximo diádico HL

${\ Displaystyle M _ {\ Delta} f (x) = \ sup _ {x \ in Q_ {x}} {\ frac {1} {| Q_ {x} |}} \ int _ {Q_ {x}} | f (y) | dy}$

donde Q _{x se} extiende sobre todos los cubos diádicos que contienen el punto x . Ambos operadores satisfacen la desigualdad máxima de HL.

Referencias

• John B. Garnett , Funciones analíticas limitadas . Springer-Verlag, 2006
• Antonios D. Melas, La mejor constante para la desigualdad máxima centrada de Hardy-Littlewood , Annals of Mathematics, 157 (2003), 647–688
• Rami Shakarchi y Elias M. Stein , Princeton Lectures in Analysis III: Real Analysis . Prensa de la Universidad de Princeton, 2005
• Elias M. Stein, Funciones máximas: medios esféricos , Proc. Natl. Acad. Sci. Estados Unidos 73 (1976), 2174–2175
• Elias M. Stein, Integrales singulares y propiedades de diferenciación de funciones . Prensa de la Universidad de Princeton, 1971
• Gerald Teschl , Temas de análisis real y funcional (notas de la conferencia)