Función de Green - Green's function

Si se conoce la solución de una ecuación diferencial sujeta a una fuente puntual y el operador diferencial es lineal, entonces se pueden superponer para encontrar la solución de una fuente general .${\ textstyle {\ hat {L}} (x) G (x, y) = \ delta (xy)}$${\ textstyle {\ hat {L}} (x)}$${\ estilo de texto u (x) = \ int f (y) G (x, y) \, \ mathrm {d} y}$${\ textstyle {\ hat {L}} (x) u (x) = f (x)}$

En matemáticas , la función de Green es la respuesta al impulso de un operador diferencial lineal no homogéneo definido en un dominio con condiciones iniciales o condiciones de contorno específicas.

Esto significa que si L es el operador diferencial lineal, entonces

• la función de Green G es la solución de la ecuación LG  =  δ , donde δ es la función delta de Dirac ;
• la solución del problema de valor inicial Ly  =  f es la convolución  ( G  *  f ), donde G es la función de Green.

A través del principio de superposición , dada una ecuación diferencial ordinaria lineal (EDO), L (solución) = fuente, primero se puede resolver L (verde) = δ _s , para cada s , y teniendo en cuenta que, dado que la fuente es una suma de delta funciones , la solución es una suma de funciones de Green, así, por linealidad de L .

Las funciones de Green llevan el nombre del matemático británico George Green , quien desarrolló el concepto por primera vez en la década de 1820. En el estudio moderno de ecuaciones diferenciales parciales lineales , las funciones de Green se estudian en gran medida desde el punto de vista de las soluciones fundamentales .

En la teoría de muchos cuerpos , el término también se usa en física , específicamente en teoría cuántica de campos , aerodinámica , aeroacústica , electrodinámica , sismología y teoría de campos estadísticos , para referirse a varios tipos de funciones de correlación , incluso aquellas que no se ajustan a la definición matemática. . En la teoría cuántica de campos, las funciones de Green asumen el papel de propagadores .

Definición y usos

Una función de Green, G ( x , s ) , de un operador diferencial lineal que actúa sobre distribuciones sobre un subconjunto del espacio euclidiano , en un punto s , es cualquier solución de ${\ Displaystyle \ operatorname {L} = \ operatorname {L} (x)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {L} \, G (x, s) = \ delta (sx) \ ,,}$

( 1 )

donde δ es la función delta de Dirac . Esta propiedad de la función de Green se puede aprovechar para resolver ecuaciones diferenciales de la forma

${\ Displaystyle \ operatorname {L} \, u (x) = f (x) ~.}$

( 2 )

Si el núcleo de L no es trivial, entonces la función de Green no es única. Sin embargo, en la práctica, alguna combinación de simetría , condiciones de contorno y / u otros criterios impuestos externamente darán una función de Green única. Las funciones de Green pueden clasificarse, por el tipo de condiciones de contorno satisfechas, por un número de función de Green . Además, las funciones de Green en general son distribuciones , no necesariamente funciones de una variable real.

Las funciones de Green también son herramientas útiles para resolver ecuaciones de onda y ecuaciones de difusión . En mecánica cuántica , la función de Green del hamiltoniano es un concepto clave con vínculos importantes con el concepto de densidad de estados .

La función de Green, tal como se usa en física, generalmente se define con el signo opuesto. Es decir,

${\ Displaystyle \ operatorname {L} \, G (x, s) = \ delta (xs) ~.}$

Esta definición no cambia significativamente ninguna de las propiedades de la función de Green debido a la uniformidad de la función delta de Dirac.

Si el operador es invariante a la traslación , es decir, cuando tiene coeficientes constantes con respecto a x , entonces la función de Green puede tomarse como un núcleo de convolución , es decir, ${\ Displaystyle \ operatorname {L}}$

${\ Displaystyle G (x, s) = G (xs) ~.}$

En este caso, la función de Green es la misma que la respuesta al impulso de la teoría del sistema lineal invariante en el tiempo .

Motivación

En términos generales, si se puede encontrar dicha función G para el operador , entonces, si multiplicamos la ecuación ( 1 ) para la función de Green por f ( s ) , y luego integramos con respecto a s , obtenemos, ${\ Displaystyle \ operatorname {L}}$

${\ Displaystyle \ int \ operatorname {L} \, G (x, s) \, f (s) \, ds = \ int \ delta (xs) \, f (s) \, ds = f (x) ~ .}$

Debido a que el operador es lineal y actúa solo sobre la variable x (y no sobre la variable de integración s ), se puede sacar al operador de la integración, lo que produce ${\ Displaystyle \ operatorname {L} = \ operatorname {L} (x)}$${\ Displaystyle \ operatorname {L}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {L} \, \ left (\ int G (x, s) \, f (s) \, ds \ right) = f (x) ~.}$

Esto significa que

${\ Displaystyle u (x) = \ int G (x, s) \, f (s) \, ds}$

( 3 )

es una solución a la ecuación ${\ Displaystyle \ operatorname {L} u (x) = f (x) ~.}$

Por lo tanto, se puede obtener la función u ( x ) mediante el conocimiento de la función de Green en la ecuación ( 1 ) y el término fuente en el lado derecho en la ecuación ( 2 ). Este proceso se basa en la linealidad del operador . ${\ Displaystyle \ operatorname {L}}$

En otras palabras, la solución de la ecuación ( 2 ), u ( x ) , se puede determinar mediante la integración dada en la ecuación ( 3 ). Aunque se conoce f ( x ) , esta integración no se puede realizar a menos que también se conozca G. El problema ahora radica en encontrar la función G de Green que satisfaga la ecuación ( 1 ). Por esta razón, la función de Green también se denomina a veces la solución fundamental asociada al operador . ${\ Displaystyle \ operatorname {L}}$

No todos los operadores admiten la función de Green. La función de Green también se puede considerar como un inverso a la derecha de . Aparte de las dificultades de encontrar la función de Green para un operador en particular, la integral en la ecuación ( 3 ) puede ser bastante difícil de evaluar. Sin embargo, el método da un resultado teóricamente exacto. ${\ Displaystyle \ operatorname {L}}$${\ Displaystyle \ operatorname {L}}$

Esto se puede pensar como una expansión de f de acuerdo con una función delta base de Dirac (proyectando f sobre ; y una superposición de la solución en cada proyección . Esta ecuación integral se conoce como una ecuación integral de Fredholm , cuyo estudio constituye Fredholm teoría . ${\ Displaystyle \ delta (xs) \,}$

Funciones de Green para resolver problemas de valores de frontera no homogéneos

El uso principal de las funciones de Green en matemáticas es resolver problemas de valores de frontera no homogéneos . En la física teórica moderna , las funciones de Green también se utilizan normalmente como propagadores en los diagramas de Feynman ; el término función de Green se usa a menudo para cualquier función de correlación .

Estructura

Sea el operador de Sturm-Liouville , un operador diferencial lineal de la forma ${\ Displaystyle \ operatorname {L}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {L} = {\ dfrac {d} {dx}} \ left [p (x) {\ dfrac {d} {dx}} \ right] + q (x)}$

y sea ​​el operador de condiciones de contorno con valores vectoriales${\ displaystyle {\ vec {\ operatorname {D}}}}$

${\ displaystyle {\ vec {\ operatorname {D}}} \, u = {\ begin {bmatrix} \ alpha _ {1} u '(0) + \ beta _ {1} u (0) \\\ alpha _ {2} u '(\ ell) + \ beta _ {2} u (\ ell) \ end {bmatrix}} ~.}$

Sea una función continua en Supongamos además que el problema ${\ Displaystyle f (x)}$${\ displaystyle [0, \ ell] ~.}$

${\ displaystyle {\ begin {alineado} \ operatorname {L} \, u & = f \\ {\ vec {\ operatorname {D}}} \, u & = {\ vec {0}} \ end {alineado}}}$

es "regular", es decir, la única solución para todo x es . ${\ Displaystyle f (x) = 0}$${\ Displaystyle u (x) = 0}$

Teorema

Hay una y solo una solución que satisface ${\ Displaystyle u (x)}$

${\ displaystyle {\ begin {alineado} \ operatorname {L} \, u & = f \\ {\ vec {\ operatorname {D}}} \, u & = {\ vec {0}} \ end {alineado}}}$

y está dado por

${\ Displaystyle u (x) = \ int _ {0} ^ {\ ell} f (s) \, G (x, s) \, ds ~,}$

donde es una función de Green que satisface las siguientes condiciones: ${\ Displaystyle G (x, s)}$

1. ${\ Displaystyle G (x, s)}$es continuo en y .${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle s}$
2. Para , .${\ Displaystyle x \ neq s ~}$${\ Displaystyle \ quad \ operatorname {L} \, G (x, s) = 0 ~}$
3. Para , .${\ Displaystyle s \ neq 0 ~}$${\ Displaystyle \ quad {\ vec {\ operatorname {D}}} \, G (x, s) = {\ vec {0}} ~}$
4. Derivado de "salto": .${\ Displaystyle \ quad G '(s_ {0 +}, s) -G' (s_ {0 -}, s) = 1 / p (s) ~}$
5. Simetría: .${\ Displaystyle \ quad G (x, s) = G (s, x) ~}$

Funciones de Green avanzadas y retardadas

A veces, la función de Green se puede dividir en una suma de dos funciones. Uno con la variable positiva (+) y el otro con la variable negativa (-). Estas son las funciones de Green avanzadas y retardadas, y cuando la ecuación en estudio depende del tiempo, una de las partes es causal y la otra anticausal. En estos problemas, por lo general, la parte causal es la importante. Estas son con frecuencia las soluciones a la ecuación de ondas electromagnéticas no homogénea .

Encontrar las funciones de Green

Unidades

Si bien no fija de manera única la forma que tomará la función de Green, realizar un análisis dimensional para encontrar las unidades que debe tener la función de Green es una importante verificación de cordura en cualquier función de Green encontrada por otros medios. Un examen rápido de la ecuación definitoria,

${\ Displaystyle LG (x, s) = \ delta (xs),}$

muestra que las unidades de dependen no sólo de las unidades de sino también del número y las unidades del espacio del cual los vectores de posición y son elementos. Esto conduce a la relación: ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle s}$

${\ Displaystyle [[G]] = [[L]] ^ {- 1} [[\ mathrm {d} x]] ^ {- 1},}$

donde se define como "las unidades físicas de ", y es el elemento de volumen del espacio (o espacio-tiempo ). ${\ Displaystyle [[G]]}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ mathrm {d} x}$

Por ejemplo, si y el tiempo es la única variable, entonces: ${\ Displaystyle L = \ partial _ {t} ^ {2}}$

${\ displaystyle [[L]] = [[\ mathrm {tiempo}]] ^ {- 2},}$

${\ displaystyle [[\ mathrm {d} x]] = [[\ mathrm {tiempo}]], \ \ mathrm {y}}$

${\ Displaystyle [[G]] = [[\ mathrm {tiempo}]].}$

Si , el operador de d'Alembert , y el espacio tiene 3 dimensiones, entonces: ${\ Displaystyle L = \ cuadrado = {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ parcial _ {t} ^ {2} - \ nabla ^ {2}}$

${\ displaystyle [[L]] = [[\ mathrm {longitud}]] ^ {- 2},}$

${\ displaystyle [[\ mathrm {d} x]] = [[\ mathrm {tiempo}]] [[\ mathrm {longitud}]] ^ {3}, \ \ mathrm {y}}$

${\ displaystyle [[G]] = [[\ mathrm {tiempo}]] ^ {- 1} [[\ mathrm {longitud}]] ^ {- 1}.}$

Expansiones de valores propios

Si un operador diferencial L admite un conjunto de vectores propios Ψ _n ( x ) (es decir, un conjunto de funciones Ψ _n y escalares λ _n tales que L Ψ _n = λ _n Ψ _n ) que está completo, entonces es posible construir un Función de Green a partir de estos autovectores y autovalores .

"Completo" significa que el conjunto de funciones {Ψ _n } satisface la siguiente relación de completitud ,

${\ Displaystyle \ delta (x-x ') = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ Psi _ {n} ^ {\ dagger} (x) \ Psi _ {n} (x'). }$

Entonces lo siguiente es válido,

donde representa la conjugación compleja. ${\ Displaystyle \ dagger}$

La aplicación del operador L a cada lado de esta ecuación da como resultado la relación de completitud, que se asumió.

El estudio general de la función de Green escrito en la forma anterior, y su relación con los espacios funcionales formados por los vectores propios, se conoce como teoría de Fredholm .

Hay varios otros métodos para encontrar las funciones de Green, incluido el método de imágenes , la separación de variables y las transformadas de Laplace .

Combinando las funciones de Green

Si el operador diferencial se puede factorizar como, entonces la función de Green se puede construir a partir de las funciones de Green para y : ${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle L = L_ {1} L_ {2}}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle L_ {1}}$${\ Displaystyle L_ {2}}$

${\ Displaystyle G (x, s) = \ int G_ {2} (x, s_ {1}) \, G_ {1} (s_ {1}, s) \, \ mathrm {d} s_ {1}. }$

La identidad anterior se sigue inmediatamente de tomar como la representación del operador derecho inverso de , de forma análoga a cómo el operador lineal invertible , definido por , está representado por sus elementos de matriz . ${\ Displaystyle G (x, s)}$${\ Displaystyle L}$ ${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle C = (AB) ^ {- 1} = B ^ {- 1} A ^ {- 1}}$${\ Displaystyle C_ {i, j}}$

Una identidad más sigue para los operadores diferenciales que son polinomios escalares de la derivada, . El teorema fundamental del álgebra , combinado con el hecho de que conmuta consigo mismo , garantiza que el polinomio se pueda factorizar, poniéndolo en la forma: ${\ Displaystyle L = P_ {N} (\ partial _ {x})}$${\ estilo de visualización \ parcial _ {x}}$ ${\ Displaystyle L}$

${\ Displaystyle L = \ prod _ {i = 1} ^ {N} (\ partial _ {x} -z_ {i}),}$

donde están los ceros de . Tomando la transformada de Fourier de con respecto a ambos y da: ${\ Displaystyle z_ {i}}$${\ Displaystyle P_ {N} (z)}$${\ Displaystyle LG (x, s) = \ delta (xs)}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle s}$

${\ Displaystyle {\ widehat {G}} (k_ {x}, k_ {s}) = {\ frac {\ delta (k_ {x} -k_ {s})} {\ prod _ {i = 1} ^ {N} (ik_ {x} -z_ {i})}}.}$

La fracción entonces se puede dividir en una suma usando una descomposición en fracciones parciales antes de volver de transformación de Fourier a y espacio. Este proceso produce identidades que relacionan integrales de las funciones de Green y sumas de las mismas. Por ejemplo, si entonces una forma de la función de Green es: ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle s}$${\ displaystyle L = (\ parcial _ {x} + \ gamma) (\ parcial _ {x} + \ alpha) ^ {2}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} G (x, s) & = {\ frac {1} {(\ alpha - \ gamma) ^ {2}}} \ Theta (xs) e ^ {- \ gamma (xs )} - {\ frac {1} {(\ alpha - \ gamma) ^ {2}}} \ Theta (xs) e ^ {- \ alpha (xs)} + {\ frac {1} {\ gamma - \ alpha}} \ Theta (xs) \, (xs) e ^ {- \ alpha (xs)} \\ [5pt] & = \ int \ Theta (x-s_ {1}) (x-s_ {1}) e ^ {- \ alpha (x-s_ {1})} \ Theta (s_ {1} -s) e ^ {- \ gamma (s_ {1} -s)} \, \ mathrm {d} s_ {1 }. \ end {alineado}}}$

Si bien el ejemplo presentado es manejable analíticamente, ilustra un proceso que funciona cuando la integral no es trivial (por ejemplo, cuando es el operador en el polinomio). ${\ Displaystyle \ nabla ^ {2}}$

Tabla de funciones de Green

La siguiente tabla ofrece un resumen de las funciones de Green de los operadores diferenciales que aparecen frecuentemente, en donde , , es la función escalón de Heaviside , es una función de Bessel , es una función de Bessel modificada de primera clase , y es una función de Bessel modificada del segundo tipo . Donde aparece el tiempo ( t ) en la primera columna, se enumera la función de Green avanzada (causal). ${\ textstyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}$${\ textstyle \ rho = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$${\ estilo de texto \ Theta (t)}$${\ textstyle J _ {\ nu} (z)}$${\ textstyle I _ {\ nu} (z)}$${\ textstyle K _ {\ nu} (z)}$

Operador diferencial L	Función de Green G	Ejemplo de aplicacion
${\ estilo de visualización \ parcial _ {t} ^ {n + 1}}$	${\ Displaystyle {\ frac {t ^ {n}} {n!}} \ Theta (t)}$
${\ Displaystyle \ parcial _ {t} + \ gamma}$	${\ Displaystyle \ Theta (t) \ mathrm {e} ^ {- \ gamma t}}$
${\ Displaystyle \ left (\ parcial _ {t} + \ gamma \ right) ^ {2}}$	${\ Displaystyle \ Theta (t) t \ mathrm {e} ^ {- \ gamma t}}$
${\ estilo de visualización \ parcial _ {t} ^ {2} +2 \ gamma \ parcial _ {t} + \ omega _ {0} ^ {2}}$ dónde ${\ Displaystyle \ gamma <\ omega _ {0}}$	${\ Displaystyle \ Theta (t) \ mathrm {e} ^ {- \ gamma t} ~ {\ frac {\ sin (\ omega t)} {\ omega}}}$   con   ${\ Displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ omega _ {0} ^ {2} - \ gamma ^ {2}}}}$	Oscilador armónico subamortiguado 1D
${\ estilo de visualización \ parcial _ {t} ^ {2} +2 \ gamma \ parcial _ {t} + \ omega _ {0} ^ {2}}$ dónde ${\ Displaystyle \ gamma> \ omega _ {0}}$	${\ Displaystyle \ Theta (t) \ mathrm {e} ^ {- \ gamma t} ~ {\ frac {\ sinh (\ omega t)} {\ omega}}}$   con   ${\ Displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ gamma ^ {2} - \ omega _ {0} ^ {2}}}}$	Oscilador armónico sobreamortiguado 1D
${\ estilo de visualización \ parcial _ {t} ^ {2} +2 \ gamma \ parcial _ {t} + \ omega _ {0} ^ {2}}$ dónde ${\ Displaystyle \ gamma = \ omega _ {0}}$	${\ Displaystyle \ Theta (t) \ mathrm {e} ^ {- \ gamma t} t}$	Oscilador armónico 1D críticamente amortiguado
Operador de Laplace 2D ${\ Displaystyle \ nabla _ {\ text {2D}} ^ {2} = \ partial _ {x} ^ {2} + \ partial _ {y} ^ {2}}$	${\ Displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} \ ln \ rho}$   con   ${\ Displaystyle \ rho = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$	Ecuación de Poisson 2D
Operador de Laplace 3D ${\ Displaystyle \ nabla _ {\ text {3D}} ^ {2} = \ parcial _ {x} ^ {2} + \ parcial _ {y} ^ {2} + \ parcial _ {z} ^ {2} }$	${\ Displaystyle {\ frac {-1} {4 \ pi r}}}$   con   ${\ Displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}$	Ecuación de poisson
Operador de Helmholtz ${\ Displaystyle \ nabla _ {\ text {3D}} ^ {2} + k ^ {2}}$	${\ Displaystyle {\ frac {- \ mathrm {e} ^ {- ikr}} {4 \ pi r}} = i {\ sqrt {\ frac {k} {32 \ pi r}}}}$${\ Displaystyle H_ {1/2} ^ {(2)} (kr)}$${\ Displaystyle = i {\ frac {k} {4 \ pi}} \,}$${\ Displaystyle h_ {0} ^ {(2)} (kr)}$	Ecuación 3D estacionaria de Schrödinger para partículas libres
${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} -k ^ {2}}$en dimensiones${\ Displaystyle n}$	${\ Displaystyle - (2 \ pi) ^ {- n / 2} \ left ({\ frac {k} {r}} \ right) ^ {n / 2-1} K_ {n / 2-1} (kr )}$	Potencial de Yukawa , propagador de Feynman
${\ estilo de visualización \ parcial _ {t} ^ {2} -c ^ {2} \ parcial _ {x} ^ {2}}$	${\ Displaystyle {\ frac {1} {2c}} \ Theta (t- | x / c |)}$	Ecuación de onda 1D
${\ estilo de visualización \ parcial _ {t} ^ {2} -c ^ {2} \, \ nabla _ {\ text {2D}} ^ {2}}$	${\ Displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi c {\ sqrt {c ^ {2} t ^ {2} - \ rho ^ {2}}}}} \ Theta (t- \ rho / c)}$	Ecuación de onda 2D
Operador D'Alembert ${\ Displaystyle \ cuadrado = {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ parcial _ {t} ^ {2} - \ nabla _ {\ text {3D}} ^ {2}}$	${\ Displaystyle {\ frac {\ delta (t - {\ frac {r} {c}})} {4 \ pi r}}}$	Ecuación de onda 3D
${\ estilo de visualización \ parcial _ {t} -k \ parcial _ {x} ^ {2}}$	${\ Displaystyle \ Theta (t) \ left ({\ frac {1} {4 \ pi kt}} \ right) ^ {1/2} \ mathrm {e} ^ {- x ^ {2} / 4kt}}$	Difusión 1D
${\ Displaystyle \ parcial _ {t} -k \, \ nabla _ {\ text {2D}} ^ {2}}$	${\ Displaystyle \ Theta (t) \ left ({\ frac {1} {4 \ pi kt}} \ right) \ mathrm {e} ^ {- \ rho ^ {2} / 4kt}}$	Difusión 2D
${\ Displaystyle \ parcial _ {t} -k \, \ nabla _ {\ text {3D}} ^ {2}}$	${\ Displaystyle \ Theta (t) \ left ({\ frac {1} {4 \ pi kt}} \ right) ^ {3/2} \ mathrm {e} ^ {- r ^ {2} / 4kt}}$	Difusión 3D
${\ Displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ parcial _ {t} ^ {2} - \ parcial _ {x} ^ {2} + \ mu ^ {2}}$	${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} \ left [\ left (1- \ sin {\ mu ct} \ right) (\ delta (ct-x) + \ delta (ct + x)) + \ mu \ Theta (ct- | x |) J_ {0} (\ mu u) \ derecha]}$   con   ${\ Displaystyle u = {\ sqrt {c ^ {2} t ^ {2} -x ^ {2}}}}$	Ecuación 1D de Klein-Gordon
${\ Displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ parcial _ {t} ^ {2} - \ nabla _ {\ text {2D}} ^ {2} + \ mu ^ {2}}$	${\ Displaystyle {\ frac {1} {4 \ pi}} \ left [(1+ \ cos (\ mu ct)) {\ frac {\ delta (ct- \ rho)} {\ rho}} + \ mu ^ {2} \ Theta (ct- \ rho) \ operatorname {sinc} (\ mu u) \ right]}$   con   ${\ Displaystyle u = {\ sqrt {c ^ {2} t ^ {2} - \ rho ^ {2}}}}$	Ecuación 2D de Klein-Gordon
${\ Displaystyle \ cuadrado + \ mu ^ {2}}$	${\ Displaystyle {\ frac {1} {4 \ pi}} \ left [{\ frac {\ delta \ left (t - {\ frac {r} {c}} \ right)} {r}} + \ mu c \ Theta (ct-r) {\ frac {J_ {1} \ left (\ mu u \ right)} {u}} \ right]}$   con   ${\ Displaystyle u = {\ sqrt {c ^ {2} t ^ {2} -r ^ {2}}}}$	Ecuación 3D de Klein-Gordon
${\ estilo de visualización \ parcial _ {t} ^ {2} +2 \ gamma \ parcial _ {t} -c ^ {2} \ parcial _ {x} ^ {2}}$	${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} e ^ {- \ gamma t} \ left [\ delta (ct-x) + \ delta (ct + x) + \ Theta (ct- | x |) \ izquierda ({\ frac {\ gamma} {c}} I_ {0} \ left ({\ frac {\ gamma u} {c}} \ right) + {\ frac {\ gamma t} {u}} I_ { 1} \ left ({\ frac {\ gamma u} {c}} \ right) \ right) \ right]}$   con   ${\ Displaystyle u = {\ sqrt {c ^ {2} t ^ {2} -x ^ {2}}}}$	ecuación del telegrafista
${\ estilo de visualización \ parcial _ {t} ^ {2} +2 \ gamma \ parcial _ {t} -c ^ {2} \, \ nabla _ {\ text {2D}} ^ {2}}$	${\ Displaystyle {\ frac {e ^ {- \ gamma t}} {4 \ pi}} \ left [(1 + e ^ {- \ gamma t} +3 \ gamma t) {\ frac {\ delta (ct - \ rho)} {\ rho}} + \ Theta (ct- \ rho) \ left ({\ frac {\ gamma \ sinh \ left ({\ frac {\ gamma u} {c}} \ right)} { cu}} + {\ frac {3 \ gamma t \ cosh \ left ({\ frac {\ gamma u} {c}} \ right)} {u ^ {2}}} - {\ frac {3ct \ sinh \ izquierda ({\ frac {\ gamma u} {c}} \ right)} {u ^ {3}}} \ right) \ right]}$   con   ${\ Displaystyle u = {\ sqrt {c ^ {2} t ^ {2} - \ rho ^ {2}}}}$	Conducción de calor relativista 2D
${\ estilo de visualización \ parcial _ {t} ^ {2} +2 \ gamma \ parcial _ {t} -c ^ {2} \, \ nabla _ {\ text {3D}} ^ {2}}$	${\ displaystyle {\ frac {e ^ {- \ gamma t}} {20 \ pi}} \ left [\ left (8-3e ^ {- \ gamma t} +2 \ gamma t + 4 \ gamma ^ {2 } t ^ {2} \ right) {\ frac {\ delta (ct-r)} {r ^ {2}}} + {\ frac {\ gamma ^ {2}} {c}} \ Theta (ct- r) \ left ({\ frac {1} {cu}} I_ {1} \ left ({\ frac {\ gamma u} {c}} \ right) + {\ frac {4t} {u ^ {2} }} I_ {2} \ left ({\ frac {\ gamma u} {c}} \ right) \ right) \ right]}$   con   ${\ Displaystyle u = {\ sqrt {c ^ {2} t ^ {2} -r ^ {2}}}}$	Conducción de calor relativista 3D

Funciones de Green para el laplaciano

Las funciones de Green para operadores diferenciales lineales que involucran al laplaciano pueden usarse fácilmente usando la segunda de las identidades de Green .

Para derivar el teorema de Green, comience con el teorema de divergencia (también conocido como teorema de Gauss ),

${\ Displaystyle \ int _ {V} \ nabla \ cdot {\ vec {A}} \ dV = \ int _ {S} {\ vec {A}} \ cdot d {\ widehat {\ sigma}} ~.}$

Dejemos y sustituya en la ley de Gauss. ${\ Displaystyle {\ vec {A}} = \ varphi \, \ nabla \ psi - \ psi \, \ nabla \ varphi}$

Calcule y aplique la regla del producto para el operador ∇, ${\ Displaystyle \ nabla \ cdot {\ vec {A}}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ nabla \ cdot {\ vec {A}} & = \ nabla \ cdot (\ varphi \, \ nabla \ psi \; - \; \ psi \, \ nabla \ varphi) \ \ & = (\ nabla \ varphi) \ cdot (\ nabla \ psi) \; + \; \ varphi \, \ nabla ^ {2} \ psi \; - \; (\ nabla \ varphi) \ cdot (\ nabla \ psi) \; - \; \ psi \ nabla ^ {2} \ varphi \\ & = \ varphi \, \ nabla ^ {2} \ psi \; - \; \ psi \, \ nabla ^ {2} \ varphi. \ end {alineado}}}$

Conectando esto al teorema de divergencia produce el teorema de Green ,

${\ Displaystyle \ int _ {V} (\ varphi \, \ nabla ^ {2} \ psi - \ psi \, \ nabla ^ {2} \ varphi) \, dV = \ int _ {S} (\ varphi \ , \ nabla \ psi - \ psi \ nabla \, \ varphi) \ cdot d {\ widehat {\ sigma}}.}$

Suponga que el operador diferencial lineal L es el laplaciano , ∇², y que existe una función de Green G para el laplaciano. La propiedad definitoria de la función de Green todavía se mantiene,

${\ Displaystyle LG (x, x ') = \ nabla ^ {2} G (x, x') = \ delta (x-x ').}$

Deje entrar la segunda identidad de Green , vea las identidades de Green . Luego, ${\ Displaystyle \ psi = G}$

${\ Displaystyle \ int _ {V} \ left [\ varphi (x ') \ delta (x-x') - G (x, x ') \, {\ nabla'} ^ {2} \, \ varphi ( x ') \ right] \ d ^ {3} x' = \ int _ {S} \ left [\ varphi (x ') \, {\ nabla'} G (x, x ') - G (x, x ') \, {\ nabla'} \ varphi (x ') \ right] \ cdot d {\ widehat {\ sigma}}'.}$

Usando esta expresión, es posible resolver la ecuación de Laplace ∇ ² φ ( x ) = 0 o la ecuación de Poisson ∇ ² φ ( x ) = - ρ ( x ), sujeto a las condiciones de frontera de Neumann o Dirichlet . En otras palabras, podemos resolver para φ ( x ) en todas partes dentro de un volumen donde (1) el valor de φ ( x ) se especifica en la superficie límite del volumen (condiciones de frontera de Dirichlet), o (2) la derivada normal de φ ( x ) se especifica en la superficie delimitante (condiciones de contorno de Neumann).

Suponga que el problema consiste en resolver φ ( x ) dentro de la región. Entonces la integral

${\ Displaystyle \ int _ {V} \ varphi (x ') \ delta (x-x') \, d ^ {3} x '}$

se reduce a simplemente φ ( x ) debido a la propiedad definitoria de la función delta de Dirac y tenemos

${\ Displaystyle \ varphi (x) = - \ int _ {V} G (x, x ') \ rho (x') \ d ^ {3} x '+ \ int _ {S} \ left [\ varphi ( x ') \, \ nabla' G (x, x ') - G (x, x') \, \ nabla '\ varphi (x') \ right] \ cdot d {\ widehat {\ sigma}} '. }$

Esta forma expresa la propiedad bien conocida de las funciones armónicas , que si el valor o la derivada normal se conoce en una superficie límite, entonces el valor de la función dentro del volumen se conoce en todas partes .

En electrostática , φ ( x ) se interpreta como potencial eléctrico , ρ ( x ) como densidad de carga eléctrica y la derivada normal como componente normal del campo eléctrico. ${\ Displaystyle \ nabla \ varphi (x ') \ cdot d {\ widehat {\ sigma}}'}$

Si el problema es resolver un problema de valor límite de Dirichlet, la función de Green debe elegirse de manera que G ( x , x ′) desaparezca cuando x o x ′ está en la superficie límite. Por tanto, sólo queda uno de los dos términos de la integral de superficie . Si el problema es resolver un problema de valor en la frontera de Neumann, la función de Green se elige de manera que su derivada normal se desvanezca en la superficie limítrofe, ya que parecería ser la opción más lógica. (Ver Electrodinámica clásica de Jackson JD, página 39). Sin embargo, la aplicación del teorema de Gauss a la ecuación diferencial que define la función de Green produce

${\ Displaystyle \ int _ {S} \ nabla 'G (x, x') \ cdot d {\ widehat {\ sigma}} '= \ int _ {V} \ nabla' ^ {2} G (x, x ') d ^ {3} x' = \ int _ {V} \ delta (x-x ') d ^ {3} x' = 1 ~,}$

lo que significa que la derivada normal de G ( x , x ′) no puede desaparecer en la superficie, porque debe integrarse a 1 en la superficie. (Nuevamente, vea Electrodinámica clásica de Jackson JD, página 39 para este y el siguiente argumento).

La forma más simple que puede tomar la derivada normal es la de una constante, a saber, 1 / S , donde S es el área de la superficie. El término superficial en la solución se convierte en

${\ Displaystyle \ int _ {S} \ varphi (x ') \, \ nabla' G (x, x ') \ cdot d {\ widehat {\ sigma}}' = \ langle \ varphi \ rangle _ {S} }$

donde es el valor medio del potencial en la superficie. Este número no se conoce en general, pero a menudo no es importante, ya que el objetivo suele ser obtener el campo eléctrico dado por el gradiente del potencial, en lugar del potencial en sí. ${\ Displaystyle \ langle \ varphi \ rangle _ {S}}$

Sin condiciones de contorno, la función de Green para el Laplaciano ( función de Green para la ecuación de Laplace de tres variables ) es

${\ Displaystyle G (x, x ') = - {\ dfrac {1} {4 \ pi | x-x' |}}.}$

Suponiendo que la superficie limítrofe llega al infinito y conectando esta expresión para la función de Green, finalmente se obtiene la expresión estándar para el potencial eléctrico en términos de densidad de carga eléctrica como

Ejemplo

Encuentre la función de Green para el siguiente problema, cuyo número de función de Green es X11:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} Lu & = u '' + k ^ {2} u = f (x) \\ u (0) & = 0, \ quad u \ left ({\ tfrac {\ pi} { 2k}} \ right) = 0. \ End {alineado}}}$

Primer paso: la función de Green para el operador lineal en cuestión se define como la solución a

${\ Displaystyle G '' (x, s) + k ^ {2} G (x, s) = \ delta (xs).}$

(Ec. * )

Si , entonces la función delta da cero y la solución general es ${\ Displaystyle x \ neq s}$

${\ Displaystyle G (x, s) = c_ {1} \ cos kx + c_ {2} \ sin kx.}$

Porque , la condición de frontera en implica ${\ Displaystyle x <s}$${\ Displaystyle x = 0}$

${\ Displaystyle G (0, s) = c_ {1} \ cdot 1 + c_ {2} \ cdot 0 = 0, \ quad c_ {1} = 0}$

si y . ${\ Displaystyle x <s}$${\ Displaystyle s \ neq {\ tfrac {\ pi} {2k}}}$

Porque , la condición de frontera en implica ${\ Displaystyle x> s}$${\ Displaystyle x = {\ tfrac {\ pi} {2k}}}$

${\ Displaystyle G \ left ({\ tfrac {\ pi} {2k}}, s \ right) = c_ {3} \ cdot 0 + c_ {4} \ cdot 1 = 0, \ quad c_ {4} = 0 }$

La ecuación de se omite por razones similares. ${\ Displaystyle G (0, s) = 0}$

Para resumir los resultados hasta ahora:

${\ Displaystyle G (x, s) = {\ begin {cases} c_ {2} \ sin kx, & {\ text {para}} x <s, \\ c_ {3} \ cos kx, & {\ text {para}} s <x. \ end {cases}}}$

Segundo paso: la siguiente tarea es determinar y . ${\ Displaystyle c_ {2}}$${\ Displaystyle c_ {3}}$

Asegurar la continuidad en la función del Green en implica ${\ Displaystyle x = s}$

${\ Displaystyle c_ {2} \ sin ks = c_ {3} \ cos ks}$

Uno puede garantizar discontinuidad apropiada en la primera derivada mediante la integración de la ecuación diferencial que define (es decir, la Ec. * ) A partir de a y tomando el límite cuando tiende a cero. Tenga en cuenta que solo integramos la segunda derivada ya que el término restante será continuo por construcción. ${\ Displaystyle x = s- \ varepsilon}$${\ Displaystyle x = s + \ varepsilon}$${\ Displaystyle \ varepsilon}$

${\ Displaystyle c_ {3} \ cdot (-k \ sin ks) -c_ {2} \ cdot (k \ cos ks) = 1}$

Las dos ecuaciones de (dis) continuidad se pueden resolver y obtener ${\ Displaystyle c_ {2}}$${\ Displaystyle c_ {3}}$

${\ Displaystyle c_ {2} = - {\ frac {\ cos ks} {k}} \ quad; \ quad c_ {3} = - {\ frac {\ sin ks} {k}}}$

Entonces, la función de Green para este problema es:

${\ Displaystyle G (x, s) = {\ begin {cases} - {\ frac {\ cos ks} {k}} \ sin kx, & x <s, \\ - {\ frac {\ sin ks} {k }} \ cos kx, & s <x. \ end {cases}}}$

Más ejemplos

• Deje que n = 1 y dejar que el subconjunto sea todos R . Deje que L sea . Entonces, la función escalón de Heaviside H ( x - x ₀ ) es una función de Green de L en x ₀ .${\ Displaystyle \ mathrm {d} / \ mathrm {d} x}$
• Sea n = 2 y sea el subconjunto el cuarto de plano {( x , y ): x , y ≥ 0} y L el laplaciano . Además, suponga que se impone una condición de límite de Dirichlet en x = 0 y que se impone una condición de límite de Neumann en y = 0 . Entonces la función del X10Y20 Green es

  ${\ Displaystyle {\ begin {alineado} G (x, y, x_ {0}, y_ {0}) = {\ dfrac {1} {2 \ pi}} & \ left [\ ln {\ sqrt {(x -x_ {0}) ^ {2} + (y-y_ {0}) ^ {2}}} - \ ln {\ sqrt {(x + x_ {0}) ^ {2} + (y-y_ { 0}) ^ {2}}} \ right. \\ [5pt] & \ left. {} + \ Ln {\ sqrt {(x-x_ {0}) ^ {2} + (y + y_ {0} ) ^ {2}}} - \ ln {\ sqrt {(x + x_ {0}) ^ {2} + (y + y_ {0}) ^ {2}}} \, \ right]. \ End { alineado}}}$

• Sea , y los tres son elementos de los números reales. Entonces, para cualquier función de reales a reales , con una derivada -ésima que sea integrable en el intervalo :${\ Displaystyle a <x <b}$${\ Displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle [a, b]}$
  $${\ Displaystyle {\ begin {alineado} f (x) & = \ sum _ {m = 0} ^ {n-1} {\ frac {(xa) ^ {m}} {m!}} \ left [{ \ frac {\ mathrm {d} ^ {m} f} {\ mathrm {d} x ^ {m}}} \ right] _ {x = a} + \ int _ {a} ^ {b} \ left [ {\ frac {(xs) ^ {n-1}} {(n-1)!}} \ Theta (xs) \ right] \ left [{\ frac {\ mathrm {d} ^ {n} f} { \ mathrm {d} x ^ {n}}} \ right] _ {x = s} \ mathrm {d} s \ end {alineado}} ~.}$$

  
  La función de Green en la ecuación anterior , no es única. ¿Cómo se modifica la ecuación si se suma a , donde satisface para todos (por ejemplo, con )? Además, compare la ecuación anterior con la forma de una serie de Taylor centrada en .${\ Displaystyle G (x, s) = {\ frac {(xs) ^ {n-1}} {(n-1)!}} \ Theta (xs)}$${\ Displaystyle g (xs)}$${\ Displaystyle G (x, s)}$${\ Displaystyle g (x)}$${\ textstyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {n} g} {\ mathrm {d} x ^ {n}}} = 0}$${\ Displaystyle x \ in [a, b]}$${\ Displaystyle g (x) = - x / 2}$${\ Displaystyle n = 2}$${\ Displaystyle x = a}$

Ver también

Notas al pie

Referencias

enlaces externos

• "Función verde" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Función de Green" . MathWorld .
• Función de Green para el operador diferencial en PlanetMath .
• Función de Green en PlanetMath .
• Funciones verdes y mapeo conforme en PlanetMath .
• Introducción a la técnica de función verde sin equilibrio de Keldysh por AP Jauho
• Biblioteca de funciones de Green
• Tutorial sobre las funciones de Green
• Método de elemento de límite (para tener una idea de cómo se pueden usar las funciones de Green con el método de elemento de límite para resolver problemas potenciales numéricamente)
• En Citizendium
• Videoconferencia del MIT sobre la función de Green
• Bowley, Roger. "Funciones de George Green & Green" . Sesenta símbolos . Brady Haran para la Universidad de Nottingham .