Coset doble - Double coset

En la teoría de grupos , un campo de las matemáticas , una doble clase lateral es una colección de elementos de grupo que son equivalentes bajo las simetrías que provienen de dos subgrupos . Más precisamente, sea G un grupo y sean H y K subgrupos. Dejemos que H actúe sobre G mediante la multiplicación por la izquierda y deje que K actúe sobre G mediante la multiplicación por la derecha. Para cada x en G , la clase lateral doble ( H , K ) de x es el conjunto

${\ Displaystyle HxK = \ {hxk \ colon h \ in H, k \ in K \}.}$

Cuando H = K , esto se llama H- doble clase lateral de x . De manera equivalente, HxK es la clase de equivalencia de x bajo la relación de equivalencia

x ~ y si y sólo si existen h en H y k en K tal que HXK = y .

El conjunto de todas las clases laterales dobles se denota por ${\ Displaystyle H \, \ backslash G / K.}$

Propiedades

Suponga que G es un grupo con subgrupos H y K que actúan por multiplicación por izquierda y derecha, respectivamente. Las clases laterales dobles ( H , K ) de G pueden describirse de manera equivalente como órbitas para el grupo de productos H × K que actúan sobre G por ( h , k ) ⋅  x = hxk ⁻¹ . Muchas de las propiedades básicas de las clases laterales dobles se derivan inmediatamente del hecho de que son órbitas. Sin embargo, debido a que G es un grupo y H y K son subgrupos que actúan por multiplicación, las clases laterales dobles están más estructuradas que las órbitas de acciones grupales arbitrarias y tienen propiedades adicionales que son falsas para acciones más generales.

• Dos clases laterales dobles HxK y HyK son disjuntas o idénticas.
• G es la unión disjunta de sus clases laterales dobles.
• Hay una correspondencia de uno-a-uno entre los dos espacios coset dobles H \ G / K y K \ G / H dadas por la identificación de HXK con Kx ^-1 H .
• Si H = {1} , entonces H \ G / K = G / K . Si K = {1} , entonces H \ G / K = H \ G .
• Una clase lateral doble HxK es una unión de las clases laterales derecha de H y las clases laterales izquierdas de K ; específicamente,

  ${\ Displaystyle {\ begin {alineado} HxK & = \ bigcup _ {k \ in K} Hxk = \ coprod _ {Hxk \, \ in \, H \ backslash HxK} Hxk, \\ HxK & = \ bigcup _ {h \ en H} hxK = \ coprod _ {hxK \, \ in \, HxK / K} hxK. \ end {alineado}}}$

• El conjunto de clases laterales dobles ( H , K ) está en biyección con las órbitas H \ ( G / K ) , y también con las órbitas ( H \ G ) / K bajo las asignaciones y respectivamente. ${\ Displaystyle HgK \ to H (gK)}$${\ Displaystyle HgK \ a (Hg) K}$
• Si H es normal , entonces H \ G es un grupo, y la acción correcta de K sobre este grupo se influye a través de la acción correcta de H \ HK . De ello se deduce que H \ G / K = G / HK . Del mismo modo, si K es normal, entonces H \ G / K = HK \ G .
• Si H es un subgrupo normal de G , entonces las clases laterales dobles H están en correspondencia uno a uno con las clases laterales H izquierda (y derecha) .
• Considere HxK como la unión de una órbita K de H -cosetas derechas. El estabilizador de la derecha H -coset Hxk ∈ H \ HxK con respecto a la acción derecha de K es K ∩ ( xk ) ⁻¹ Hxk . De manera similar, el estabilizador de la K -coset izquierda hxK ∈ HxK / K con respecto a la acción izquierda de H es H ∩ hxK ( hx ) ^-1 .
• De ello se deduce que el número de clases laterales derechas de H contenidas en HxK es el índice [ K  : K ∩ x ⁻¹ Hx ] y el número de clases laterales izquierdas de K contenidas en HxK es el índice [ H  : H ∩ xKx ⁻¹ ] . Por lo tanto

  ${\ Displaystyle {\ begin {alineado} | HxK | & = [H: H \ cap xKx ^ {- 1}] | K | = | H | [K: K \ cap x ^ {- 1} Hx], \ \\ izquierda [G: H \ right] & = \ sum _ {HxK \, \ in \, H \ backslash G / K} [K: K \ cap x ^ {- 1} Hx], \\\ left [ G: K \ right] & = \ sum _ {HxK \, \ in \, H \ backslash G / K} [H: H \ cap xKx ^ {- 1}]. \ End {alineado}}}$

• Si G , H y K son finitos, entonces también se sigue que

  ${\ Displaystyle {\ begin {alineado} | HxK | & = {\ frac {| H || K |} {| H \ cap xKx ^ {- 1} |}} = {\ frac {| H || K | } {| K \ cap x ^ {- 1} Hx |}}, \\\ izquierda [G: H \ right] & = \ sum _ {HxK \, \ in \, H \ backslash G / K} {\ frac {| K |} {| K \ cap x ^ {- 1} Hx |}}, \\\ izquierda [G: K \ right] & = \ sum _ {HxK \, \ in \, H \ barra invertida G / K} {\ frac {| H |} {| H \ cap xKx ^ {- 1} |}}. \ End {alineado}}}$

• Fije x en G , y deje que ( H × K ) _x denote el doble estabilizador {( h , k ): hxk = x }. A continuación, el doble estabilizador es un subgrupo de H × K .
• Como G es un grupo, por cada h en H hay precisamente un g en G tal que hxg = x , es decir, g = x ⁻¹ h ⁻¹ x ; sin embargo, g no puede estar en K . Del mismo modo, para cada k en K no es precisamente una g ' en G que tal g ' xk = x , pero g ' puede no estar en H . Por lo tanto, el estabilizador doble tiene las descripciones

  ${\ Displaystyle (H \ times K) _ {x} = \ {(h, x ^ {- 1} h ^ {- 1} x) \ colon h \ in H \} \ cap H \ times K = \ { (xk ^ {- 1} x ^ {- 1}, k) \ colon k \ in K \} \ cap H \ times K.}$

• ( Teorema del estabilizador de órbita ) Existe una biyección entre HxK y ( H × K ) / ( H × K ) _x bajo la cual hxk corresponde a ( h , k ⁻¹ ) ( H × K ) _x . De ello se deduce que si G , H y K son finitos, entonces

  ${\ Displaystyle | HxK | = [H \ times K: (H \ times K) _ {x}] = | H \ times K | / | (H \ times K) _ {x} |.}$

• ( Lema de Cauchy-Frobenius ) Sea G ^{( h , k )} los elementos fijados por la acción de ( h , k ) . Luego

  ${\ Displaystyle | H \, \ backslash G / K | = {\ frac {1} {| H || K |}} \ sum _ {(h, k) \ in H \ times K} | G ^ {( h, k)} |.}$

• En particular, si G , H y K son finitos, entonces el número de clases laterales dobles es igual al número promedio de puntos fijos por par de elementos de grupo.

Existe una descripción equivalente de las clases laterales dobles en términos de clases laterales simples. Deje H y K ambos actúan por multiplicación a la derecha en G . Entonces G actúa por multiplicación izquierda en el producto de espacios coset G / H × G / K . Las órbitas de esta acción son en correspondencia uno-a-uno con H \ G / K . Esta correspondencia identifica ( xH , yK ) con la clase lateral doble Hx ⁻¹ yK . En pocas palabras, esto es debido a que cada G -orbit admite representantes de la forma ( H , xK ) , y el representante x se determina sólo hasta multiplicación izquierda por un elemento de H . Del mismo modo, G actúa por multiplicación a la derecha en H \ G × K \ G , y las órbitas de esta acción están en correspondencia uno-a-uno con las clases laterales dobles H \ G / K . Conceptualmente, esto identifica el espacio de doble clase lateral H \ G / K con el espacio de configuraciones relativas de una H -coset y una K -coset. Además, esta construcción se generaliza al caso de cualquier número de subgrupos. Dados los subgrupos H ₁ , ..., H _n , el espacio de ( H ₁ , ..., H _n ) -multicosets es el conjunto de G -orbitas de G / H ₁ × ... × G / H _n .

El análogo del teorema de Lagrange para clases dobles es falso. Esto significa que el tamaño de una necesidad clase lateral doble no dividen el orden de G . Por ejemplo, sea G = S ₃ el grupo simétrico de tres letras, y sean H y K los subgrupos cíclicos generados por las transposiciones (1 2) y (1 3) , respectivamente. Si e denota la permutación de identidad, entonces

${\ Displaystyle HeK = HK = \ {e, (12), (13), (132) \}.}$

Esto tiene cuatro elementos, y cuatro no divide a seis, el orden de S ₃ . También es falso que diferentes clases laterales dobles tengan el mismo tamaño. Continuando con el mismo ejemplo,

${\ Displaystyle H (23) K = \ {(23), (123) \},}$

que tiene dos elementos, no cuatro.

Sin embargo, suponga que H es normal. Como se señaló anteriormente, en este caso, el espacio de la clase lateral doble es igual al espacio de la clase lateral izquierda G / HK . Del mismo modo, si K es normal, entonces H \ G / K es el espacio clase lateral derecha HK \ G . Los resultados estándar sobre los espacios de clase lateral izquierda y derecha implican los siguientes hechos.

• | HxK | = | HK | para todos x en G . Es decir, todas las clases laterales dobles tienen la misma cardinalidad.
• Si G es finito, entonces | G | = | HK | ⋅ | H \ G / K | . En particular, | HK | y | H \ G / K | dividir | G | .

Ejemplos de

• Sea G = S _n el grupo simétrico, considerado como permutaciones del conjunto {1, ..., n }. Considere el subgrupo H = S _{n −1} que estabiliza n . Entonces S _{n −1} \ S _n / S _{n −1} consta de dos clases laterales dobles. Uno de estos es H = S _{n −1} . Si γ es una permutación que no fija n , entonces la otra clase lateral está representada por S _{n −1} γ S _{n −1} .
• Sea G el grupo GL _n ( R ) y sea B el subgrupo de matrices triangulares superiores . El espacio de doble clase lateral B \ G / B es la descomposición de G en Bruhat . Cada clase doble tiene un BwB representativo , donde w es una matriz de permutación . Por ejemplo, si n = 2 , entonces

  ${\ displaystyle B \, \ backslash \! \ operatorname {GL} _ {2} (\ mathbf {R}) / B = \ left \ {B {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} B, \ B {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} B \ right \}.}$

Productos del grupo abeliano libre en el conjunto de clases laterales dobles

Suponga que G es un grupo y que H , K y L son subgrupos. Bajo ciertas condiciones de finitud, hay un producto en el grupo abeliano libre generado por las clases laterales dobles ( H , K ) y ( K , L ) con valores en el grupo abeliano libre generado por las clases laterales dobles ( H , L ) . Esto significa que hay una función bilineal

${\ Displaystyle \ mathbf {Z} [H \ backslash G / K] \ times \ mathbf {Z} [K \ backslash G / L] \ to \ mathbf {Z} [H \ backslash G / L].}$

Suponga por simplicidad que G es finito. Para definir el producto, reinterprete estos grupos abelianos libres en términos del álgebra de grupos de G de la siguiente manera. Cada elemento de Z [ H \ G / K ] tiene la forma

${\ Displaystyle \ sum _ {HxK \ in H \ backslash G / K} f_ {HxK} \ cdot [HxK],}$

donde { f _HXK } es un conjunto de números enteros indexados por los elementos de H \ G / K . Este elemento puede interpretarse como una función con valor Z en H \ G / K , específicamente, HxK ↦ f _HxK . Esta función puede retroceder a lo largo de la proyección G → H \ G / K que envía x a la doble clase lateral HxK . Esto da como resultado una función x ↦ f _HxK . Por la forma en que se construyó esta función, es invariante izquierda bajo H e invariante justo debajo de K . El elemento correspondiente del álgebra de grupos Z [ G ] es

${\ Displaystyle \ sum _ {x \ in G} f_ {HxK} \ cdot [x],}$

y este elemento es invariante bajo la multiplicación izquierda por H y multiplicación derecha por K . Conceptualmente, este elemento se obtiene reemplazando HxK por los elementos que contiene, y la finitud de G asegura que la suma sea aún finita. A la inversa, cada elemento de Z [ G ] que se deja invariante bajo H e invariante a la derecha bajo K es el retroceso de una función en Z [ H \ G / K ] . Los enunciados paralelos son verdaderos para Z [ K \ G / L ] y Z [ H \ G / L ] .

Cuando los elementos de Z [ H \ G / K ] , Z [ K \ G / L ] y Z [ H \ G / L ] se interpretan como elementos invariantes de Z [ G ] , entonces el producto cuya existencia se afirmó anteriormente es precisamente la multiplicación en Z [ G ] . De hecho, es trivial comprobar que el producto de un elemento invariante H izquierdo y un elemento invariante L derecho sigue siendo invariante H izquierdo y L invariante derecho . La bilinealidad del producto se deriva inmediatamente de la bilinealidad de la multiplicación en Z [ G ] . También se deduce que si M es un cuarto subgrupo de G , entonces el producto de las clases laterales dobles ( H , K ) -, ( K , L ) - y ( L , M ) es asociativo. Debido a que el producto en Z [ G ] corresponde a la convolución de funciones en G , este producto a veces se denomina producto de convolución.

Un caso especial importante es cuando H = K = L . En este caso, el producto es una función bilineal

${\ Displaystyle \ mathbf {Z} [H \ backslash G / H] \ times \ mathbf {Z} [H \ backslash G / H] \ to \ mathbf {Z} [H \ backslash G / H].}$

Este producto convierte Z [ H \ G / H ] en un anillo asociativo cuyo elemento identidad es la clase de la doble clase lateral trivial [ H ] . En general, este anillo no es conmutativo . Por ejemplo, si H = {1} , entonces el anillo es el álgebra de grupo Z [ G ] , y un álgebra de grupo es un anillo conmutativo si y solo si el grupo subyacente es abeliano .

Si H es normal, de modo que las clases laterales dobles de H son las mismas que los elementos del grupo cociente G / H , entonces el producto de Z [ H \ G / H ] es el producto del álgebra de grupo Z [ G / H ] . En particular, es la convolución usual de funciones en G / H . En este caso, el anillo es conmutativo si y sólo si G / H es abeliano, o de manera equivalente, si y sólo si H contiene el grupo de los conmutadores de G .

Si H no es normal, entonces Z [ H \ G / H ] puede ser conmutativo incluso si G no es abeliano . Un ejemplo clásico es el producto de dos operadores de Hecke . Este es el producto en el álgebra de Hecke, que es conmutativa aunque el grupo G es el grupo modular , que no es abeliano, y el subgrupo es un subgrupo aritmético y, en particular, no contiene el subgrupo del conmutador. La conmutatividad del producto de convolución está estrechamente relacionada con los pares Gelfand .

Cuando el grupo G es un grupo topológico , es posible debilitar la suposición de que el número de clases laterales izquierda y derecha en cada clase lateral doble es finito. El álgebra de grupo Z [ G ] se reemplaza por un álgebra de funciones como L ² ( G ) o C ^∞ ( G ) , y las sumas se reemplazan por integrales . El producto todavía corresponde a la convolución. Por ejemplo, esto sucede para el álgebra de Hecke de un grupo localmente compacto .

Aplicaciones

Cuando un grupo tiene una acción de grupo transitiva en un conjunto , el cálculo de ciertas descomposiciones dobles coset de mostrar información adicional acerca de la estructura de la acción de sobre . Específicamente, si es el subgrupo estabilizador de algún elemento , entonces se descompone exactamente como dos clases laterales dobles de si y solo si actúa transitivamente sobre el conjunto de pares distintos de . Consulte 2 grupos transitivos para obtener más información sobre esta acción. ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle s \ in S}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle (H, H)}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle S}$

Clases laterales dobles son importantes en relación con la teoría de la representación , cuando una representación de H se utiliza para construir una representación inducida de G , que a continuación se limita a K . La estructura de doble clase lateral correspondiente transporta información sobre cómo se descompone la representación resultante. En el caso de grupos finitos, este es el teorema de descomposición de Mackey .

También son importantes en el análisis funcional , donde en algunos casos importantes funciones invariantes a la izquierda e invariantes a la derecha por un subgrupo K pueden formar un anillo conmutativo en convolución : ver el par Gelfand .

En geometría, una forma de Clifford-Klein es un espacio de doble clase lateral Γ \ G / H , donde G es un grupo de Lie reductor , H es un subgrupo cerrado y Γ es un subgrupo discreto (de G ) que actúa correctamente de manera discontinua sobre el homogéneo. espacio G / H .

En teoría de números , el álgebra de Hecke correspondiente a un subgrupo de congruencia Γ del grupo modular está dividido por elementos del espacio de doble clase lateral ; la estructura del álgebra es la que se adquiere a partir de la multiplicación de clases dobles descritas anteriormente. De particular importancia son los operadores de Hecke correspondientes a las clases laterales dobles o , donde (éstos tienen diferentes propiedades dependiendo de si m y N son primos entre sí o no), y los operadores de diamante dadas por las clases laterales dobles donde y requerimos (la elección de una , b , c no afecta la respuesta). ${\ Displaystyle \ Gamma \ barra invertida \ mathrm {GL} _ {2} ^ {+} (\ mathbb {Q}) / \ Gamma}$${\ Displaystyle T_ {m}}$${\ Displaystyle \ Gamma _ {0} (N) g \ Gamma _ {0} (N)}$${\ Displaystyle \ Gamma _ {1} (N) g \ Gamma _ {1} (N)}$${\ displaystyle g = \ left ({\ begin {smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & m \ end {smallmatrix}} \ right)}$${\ Displaystyle \ langle d \ rangle}$${\ Displaystyle \ Gamma _ {1} (N) \ left ({\ begin {smallmatrix} a & b \\ c & d \ end {smallmatrix}} \ right) \ Gamma _ {1} (N)}$${\ Displaystyle d \ in (\ mathbb {Z} / N \ mathbb {Z}) ^ {\ times}}$${\ Displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} a & b \\ c & d \ end {smallmatrix}} \ right) \ in \ Gamma _ {0} (N)}$

Referencias