Diferencia de dos cuadrados - Difference of two squares

En matemáticas , la diferencia de dos cuadrados es un número al cuadrado (multiplicado por sí mismo) restado de otro número al cuadrado. Cada diferencia de cuadrados puede factorizarse de acuerdo con la identidad

${\ Displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (ab)}$

en álgebra elemental .

Prueba

La prueba de la identidad de factorización es sencilla. Comenzando por el lado izquierdo , aplique la ley distributiva para obtener

${\ Displaystyle (a + b) (ab) = a ^ {2} + ba-ab-b ^ {2}}$

Por la ley conmutativa , los dos términos del medio se cancelan:

${\ Displaystyle ba-ab = 0}$

dejando

${\ Displaystyle (a + b) (ab) = a ^ {2} -b ^ {2}}$

La identidad resultante es una de las más utilizadas en matemáticas. Entre muchos usos, proporciona una prueba simple de la desigualdad AM-GM en dos variables.

La prueba se sostiene en cualquier anillo conmutativo .

Por el contrario, si esta identidad sostiene en un anillo R para todos los pares de elementos a y b , entonces R es conmutativo. Para ver esto, aplique la ley distributiva al lado derecho de la ecuación y obtenga

${\ Displaystyle a ^ {2} + ba-ab-b ^ {2}}$.

Para que esto sea igual a , debemos tener ${\ Displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$

${\ Displaystyle ba-ab = 0}$

para todos los pares a , b , entonces R es conmutativa.

Demostraciones geométricas

La diferencia de dos cuadrados también se puede ilustrar geométricamente como la diferencia de dos áreas cuadradas en un plano . En el diagrama, la parte sombreada representa la diferencia entre las áreas de los dos cuadrados, es decir . El área de la parte sombreada se puede encontrar sumando las áreas de los dos rectángulos; , que se puede factorizar en . Por lo tanto, . ${\ Displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$${\ Displaystyle a (ab) + b (ab)}$${\ Displaystyle (a + b) (ab)}$${\ Displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (ab)}$

Otra demostración geométrica procede de la siguiente manera: comenzamos con la figura que se muestra en el primer diagrama a continuación, un cuadrado grande al que se le quita un cuadrado más pequeño. El lado de todo el cuadrado es a, y el lado del pequeño cuadrado eliminado es b. El área de la región sombreada es . Se hace un corte, dividiendo la región en dos piezas rectangulares, como se muestra en el segundo diagrama. La pieza más grande, en la parte superior, tiene ancho ay alto ab. La pieza más pequeña, en la parte inferior, tiene ancho ab y alto b. Ahora la pieza más pequeña se puede separar, rotar y colocar a la derecha de la pieza más grande. En esta nueva disposición, que se muestra en el último diagrama a continuación, las dos piezas juntas forman un rectángulo, cuyo ancho es y cuya altura es . El área de este rectángulo es . Dado que este rectángulo proviene de reorganizar la figura original, debe tener la misma área que la figura original. Por lo tanto, . ${\ Displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$${\ Displaystyle a + b}$${\ displaystyle ab}$${\ Displaystyle (a + b) (ab)}$${\ Displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (ab)}$

Usos

Factorización de polinomios y simplificación de expresiones

La fórmula para la diferencia de dos cuadrados se puede usar para factorizar polinomios que contienen el cuadrado de una primera cantidad menos el cuadrado de una segunda cantidad. Por ejemplo, el polinomio se puede factorizar de la siguiente manera: ${\ Displaystyle x ^ {4} -1}$

${\ Displaystyle x ^ {4} -1 = (x ^ {2} +1) (x ^ {2} -1) = (x ^ {2} +1) (x + 1) (x-1)}$

Como segundo ejemplo, los dos primeros términos de se pueden factorizar como , por lo que tenemos: ${\ Displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} + xy}$${\ Displaystyle (x + y) (xy)}$

${\ Displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} + xy = (x + y) (xy) + xy = (xy) (x + y + 1)}$

Además, esta fórmula también se puede utilizar para simplificar expresiones:

${\ Displaystyle (a + b) ^ {2} - (ab) ^ {2} = (a + b + ab) (a + b-a + b) = (2a) (2b) = 4ab}$

Caso de números complejos: suma de dos cuadrados

La diferencia de dos cuadrados se usa para encontrar los factores lineales de la suma de dos cuadrados, usando coeficientes de números complejos .

Por ejemplo, las raíces complejas de se pueden encontrar usando la diferencia de dos cuadrados: ${\ Displaystyle z ^ {2} +4}$

${\ Displaystyle z ^ {2} +4}$

${\ Displaystyle = z ^ {2} -4i ^ {2}}$ (desde )${\ Displaystyle i ^ {2} = - 1}$

${\ Displaystyle = z ^ {2} - (2i) ^ {2}}$

${\ Displaystyle = (z + 2i) (z-2i)}$

Por tanto, los factores lineales son y . ${\ Displaystyle (z + 2i)}$${\ Displaystyle (z-2i)}$

Dado que los dos factores encontrados por este método son conjugados complejos , podemos usar esto a la inversa como un método para multiplicar un número complejo para obtener un número real. Esto se usa para obtener denominadores reales en fracciones complejas.

Racionalizar denominadores

La diferencia de dos cuadrados también se puede utilizar en la racionalización de los irracionales denominadores . Este es un método para eliminar surds de expresiones (o al menos moverlas ), aplicándolo a la división por algunas combinaciones que involucran raíces cuadradas .

Por ejemplo: el denominador de se puede racionalizar de la siguiente manera: ${\ Displaystyle {\ dfrac {5} {{\ sqrt {3}} + 4}}}$

${\ Displaystyle {\ dfrac {5} {{\ sqrt {3}} + 4}}}$

${\ displaystyle = {\ dfrac {5} {{\ sqrt {3}} + 4}} \ times {\ dfrac {{\ sqrt {3}} - 4} {{\ sqrt {3}} - 4}} }$

${\ Displaystyle = {\ dfrac {5 ({\ sqrt {3}} - 4)} {({\ sqrt {3}} + 4) ({\ sqrt {3}} - 4)}}}$

${\ displaystyle = {\ dfrac {5 ({\ sqrt {3}} - 4)} {{\ sqrt {3}} ^ {2} -4 ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle = {\ dfrac {5 ({\ sqrt {3}} - 4)} {3-16}}}$

${\ Displaystyle = - {\ dfrac {5 ({\ sqrt {3}} - 4)} {13}}.}$

Aquí, se ha racionalizado el denominador irracional . ${\ Displaystyle {\ sqrt {3}} + 4}$${\ Displaystyle 13}$

Aritmetica mental

La diferencia de dos cuadrados también se puede utilizar como atajo aritmético. Si se multiplican dos números (cuyo promedio es un número que se eleva fácilmente al cuadrado), se puede usar la diferencia de dos cuadrados para obtener el producto de los dos números originales.

Por ejemplo:

${\ Displaystyle 27 \ times 33 = (30-3) (30 + 3)}$

Usando la diferencia de dos cuadrados, se puede reformular como ${\ Displaystyle 27 \ times 33}$

${\ Displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$que es .${\ Displaystyle 30 ^ {2} -3 ^ {2} = 891}$

Diferencia de dos cuadrados perfectos consecutivos

La diferencia de dos cuadrados perfectos consecutivos es la suma de las dos bases n y n +1. Esto se puede ver de la siguiente manera:

${\ Displaystyle {\ begin {array} {lcl} (n + 1) ^ {2} -n ^ {2} & = & ((n + 1) + n) ((n + 1) -n) \\ & = & 2n + 1 \ end {matriz}}}$

Por lo tanto, la diferencia de dos cuadrados perfectos consecutivos es un número impar. De manera similar, la diferencia de dos cuadrados perfectos arbitrarios se calcula de la siguiente manera:

${\ Displaystyle {\ begin {array} {lcl} (n + k) ^ {2} -n ^ {2} & = & ((n + k) + n) ((n + k) -n) \\ & = & k (2n + k) \ end {matriz}}}$

Por lo tanto, la diferencia de dos cuadrados perfectos pares es un múltiplo de 4 y la diferencia de dos cuadrados perfectos impares es un múltiplo de 8.

Factorización de enteros

Varios algoritmos en teoría de números y criptografía usan diferencias de cuadrados para encontrar factores de números enteros y detectar números compuestos. Un ejemplo simple es el método de factorización de Fermat , que considera la secuencia de números , para . Si uno de los es igual a un cuadrado perfecto , entonces es una factorización (potencialmente no trivial) de . ${\ Displaystyle x_ {i}: = a_ {i} ^ {2} -N}$${\ Displaystyle a_ {i}: = \ left \ lceil {\ sqrt {N}} \ right \ rceil + i}$${\ Displaystyle x_ {i}}$${\ Displaystyle b ^ {2}}$${\ Displaystyle N = a_ {i} ^ {2} -b ^ {2} = (a_ {i} + b) (a_ {i} -b)}$${\ Displaystyle N}$

Este truco se puede generalizar de la siguiente manera. Si es mod y mod , entonces se compone de factores no triviales y . Esto forma la base de varios algoritmos de factorización (como el tamiz cuadrático ) y se puede combinar con la prueba de primalidad de Fermat para obtener la prueba de primalidad de Miller-Rabin más sólida . ${\ Displaystyle a ^ {2} \ equiv b ^ {2}}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle a \ not \ equiv \ pm b}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle \ gcd (ab, N)}$${\ Displaystyle \ gcd (a + b, N)}$

Generalizaciones

La identidad también lleva a cabo en espacios de producto interior sobre el campo de los números reales , tales como por producto escalar de vectores euclidianas :

${\ Displaystyle {\ mathbf {a}} \ cdot {\ mathbf {a}} - {\ mathbf {b}} \ cdot {\ mathbf {b}} = ({\ mathbf {a}} + {\ mathbf { b}}) \ cdot ({\ mathbf {a}} - {\ mathbf {b}})}$

La prueba es idéntica. Para el caso especial de que una y b tienen los mismos normas (lo que significa que sus cuadrados de puntos son iguales), esto demuestra analíticamente el hecho de que dos diagonales de un rombo son perpendiculares . Esto se sigue de que el lado izquierdo de la ecuación es igual a cero, lo que requiere que el lado derecho sea igual a cero también, y por lo tanto, la suma vectorial de a + b (la diagonal larga del rombo) punteada con la diferencia vectorial a - b ( la diagonal corta del rombo) debe ser igual a cero, lo que indica que las diagonales son perpendiculares.

Diferencia de dos enésimas potencias

Si un y b son dos elementos de un anillo conmutativo R , entonces . ${\ Displaystyle a ^ {n} -b ^ {n} = \ left (ab \ right) \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {n-1} a ^ {n-1-k} b ^ {k} \ right)}$

Historia

Históricamente, los babilonios usaban la diferencia de dos cuadrados para calcular las multiplicaciones.

Por ejemplo:

93 x 87 = 90² - 3² = 8091

64 x 56 = 60² - 4² = 3584

Ver también

• Congruum , la diferencia compartida de tres cuadrados en progresión aritmética
• Conjugado (álgebra)
• Factorización

Notas

Referencias

• Stanton, James Stuart (2005). Enciclopedia de Matemáticas . Publicación de Infobase. pag. 131. ISBN 0-8160-5124-0.
• Tussy, Alan S .; Gustafson, Roy David (2011). Álgebra elemental (5ª ed.). Aprendizaje Cengage. págs. 467–469. ISBN 978-1-111-56766-8.

enlaces externos

• diferencia de dos cuadrados en mathpages.com