Categoría de daga - Dagger category

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una categoría de daga (también llamada categoría involutiva o categoría con involución ) es una categoría equipada con una cierta estructura llamada daga o involución . La categoría del nombre de la daga fue acuñada por Peter Selinger.

Definicion formal

Una categoría de daga es una categoría equipada con un functor involutivo que es la identidad en los objetos , donde está la categoría opuesta . ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ Displaystyle \ dagger \ colon {\ mathcal {C}} ^ {op} \ rightarrow {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {op}}$

En detalle, esto significa que se asocia a cada morfismo en su adjunto de modo que para todos y , ${\ Displaystyle f \ colon A \ to B}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ Displaystyle f ^ {\ dagger} \ colon B \ to A}$${\ Displaystyle f \ colon A \ to B}$${\ Displaystyle g \ colon B \ to C}$

• ${\ Displaystyle \ mathrm {id} _ {A} = \ mathrm {id} _ {A} ^ {\ dagger} \ colon A \ rightarrow A}$
• ${\ displaystyle (g \ circ \! f) ^ {\ dagger} = f ^ {\ dagger} \! \ circ g ^ {\ dagger} \ colon C \ rightarrow A}$
• ${\ Displaystyle f ^ {\ dagger \ dagger} \! = f \ colon A \ rightarrow B}$

Tenga en cuenta que en la definición anterior, el término "adjunto" se usa de una manera análoga (e inspirada por) el sentido lineal-algebraico , no en el sentido teórico de categorías.

Algunas fuentes definen una categoría con involución ser una categoría daga con la propiedad adicional de que su conjunto de morfismos se ordenó parcialmente y que el orden de morfismos es compatible con la composición de morfismos, que es implica para morfismos , , siempre que sus fuentes y destinos son compatibles. ${\ Displaystyle a <b}$${\ Displaystyle a \ circ c <b \ circ c}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle c}$

Ejemplos

• La categoría Rel de conjuntos y relaciones posee una estructura de daga: para una relación dada en Rel , la relación es el recíproco relacional de . En este ejemplo, un morfismo autoadjunto es una relación simétrica .${\ displaystyle R: X \ rightarrow Y}$${\ displaystyle R ^ {\ dagger}: Y \ rightarrow X}$${\ Displaystyle R}$
• La categoría Cob of cobordisms es una categoría de daga compacta , en particular posee una estructura de daga.
• La categoría de espacios de Hilb de Hilbert también posee una estructura de daga: dado un mapa lineal acotado , el mapa es simplemente su adjunto en el sentido habitual.${\ displaystyle f: A \ rightarrow B}$${\ displaystyle f ^ {\ dagger}: B \ rightarrow A}$
• Cualquier monoide con involución es una categoría de daga con un solo objeto. De hecho, todo endomorfismo hom-set en una categoría de daga no es simplemente un monoide , sino un monoide con involución, debido a la daga.
• Una categoría discreta es trivialmente una categoría de daga.
• Un grupoide (y como corolario trivial, un grupo ) también tiene una estructura de daga con el adjunto de un morfismo que es su inverso. En este caso, todos los morfismos son unitarios (definición a continuación).

Morfismos notables

En una categoría de daga , un morfismo se llama ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle f}$

• unitario si${\ Displaystyle f ^ {\ dagger} = f ^ {- 1},}$
• autoadjunto si${\ Displaystyle f ^ {\ dagger} = f.}$

Esto último solo es posible para un endomorfismo . Los términos unitario y autoadjunto en la definición anterior se toman de la categoría de espacios de Hilbert, donde los morfismos que satisfacen esas propiedades son entonces unitarios y autoadjuntos en el sentido habitual. ${\ Displaystyle f \ colon A \ to A}$

Ver también

• *-álgebra
• Daga simétrica categoría monoidal
• Categoría compacta de daga

Referencias

• Categoría de daga en nLab