Conglomerado (matemáticas) - Conglomerate (mathematics)

En matemáticas , en el marco de la base de un universo para la teoría de categorías , el término "conglomerado" se aplica a conjuntos arbitrarios como una contraposición a los conjuntos distinguidos que son elementos de un universo de Grothendieck .

Definición

Las teorías de conjuntos axiomáticos más populares, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC), la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) y la teoría de conjuntos de Morse-Kelley (MK), admiten extensiones no conservadoras que surgen después de agregar un axioma suplementario de existencia de un universo de Grothendieck . Un ejemplo de tal extensión es la teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck , donde se postula una jerarquía infinita de universos de Grothendieck. ${\ Displaystyle U}$

El concepto de conglomerado se creó para tratar con "colecciones" de clases , lo cual es deseable en la teoría de categorías para que cada clase pueda ser considerada como un elemento de una "colección más general", un conglomerado. Técnicamente, esto está organizado por cambios en la terminología: cuando se agrega un universo de Grothendieck a la teoría de conjuntos axiomáticos elegida ( ZFC / NBG / MK ), se considera conveniente ${\ Displaystyle U}$

• aplicar el término "conjunto" solo a elementos de , ${\ Displaystyle U}$
• para aplicar el término "clase" solo a subconjuntos de , ${\ Displaystyle U}$
• para aplicar el término "conglomerado" a todos los conjuntos (no elementos o subconjuntos necesarios de ). ${\ Displaystyle U}$

Como resultado, en esta terminología, cada conjunto es una clase y cada clase es un conglomerado.

Corolarios

Formalmente, esta construcción describe un modelo de la teoría de conjuntos axiomáticos inicial ( ZFC / NBG / MK ) en la extensión de esta teoría ("ZFC / NBG / MK + universo de Grothendieck ") con el universo. ${\ Displaystyle U}$

Si la teoría de conjuntos axiomáticos inicial admite la idea de clase adecuada (es decir, un objeto que no puede ser un elemento de ningún otro objeto, como la clase de todos los conjuntos en NBG y en MK), entonces estos objetos (clases adecuadas) se descartan a partir de la consideración en la nueva teoría ("NBG / MK + Universo Grothendieck"). Sin embargo, (sin contar los posibles problemas provocados por el axioma suplementario de existencia de ) esto en cierto sentido no conduce a una pérdida de información sobre los objetos de la antigua teoría (NBG o MK) ya que su representación como modelo en la nueva teoría ("Universo NBG / MK + Grothendieck") significa que lo que se puede probar en NBG / MK sobre sus objetos habituales llamados clases (incluidas las clases adecuadas) también se puede probar en "Universo NBG / MK + Grothendieck" sobre sus clases (es decir sobre subconjuntos de , incluidos los subconjuntos que no son elementos de , que son análogos de clases propias de NBG / MK). Al mismo tiempo, la nueva teoría no es equivalente a la inicial, ya que algunas proposiciones adicionales sobre clases pueden probarse en "NBG / MK + Universo Grothendieck" pero no en NBG / MK. ${\ Displaystyle Set}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle U}$

Terminología

El cambio de terminología se denomina a veces "convención de conglomerado". El primer paso, realizado por Mac Lane, es aplicar el término "clase" sólo a subconjuntos de Mac Lane no redefine los términos existentes de la teoría de conjuntos; más bien, trabaja en una teoría de conjuntos sin clases (ZFC, no NBG / MK), llama a miembros de "conjuntos pequeños" y afirma que los conjuntos pequeños y las clases satisfacen los axiomas de NBG. No necesita "conglomerados", ya que los conjuntos no necesitan ser pequeños. ${\ Displaystyle U.}$${\ Displaystyle U}$

El término "conglomerado" se esconde en las reseñas de los años setenta y ochenta en Mathematical Reviews sin definición, explicación o referencia y, a veces, en artículos.

Mientras esté vigente la convención del conglomerado, debe utilizarse exclusivamente para evitar ambigüedades; es decir, los conglomerados no deben llamarse "conjuntos" en la forma habitual de ZFC.

Referencias