Axioma de reducibilidad - Axiom of reducibility

El axioma de reducibilidad fue introducido por Bertrand Russell a principios del siglo XX como parte de su teoría ramificada de tipos . Russell ideó e introdujo el axioma en un intento de manejar las contradicciones que había descubierto en su análisis de la teoría de conjuntos .

Historia

Con el descubrimiento de Russell (1901, 1902) de una paradoja en el Begriffsschrift de 1879 de Gottlob Frege y el reconocimiento de lo mismo por Frege (1902), Russell introdujo tentativamente su solución como "Apéndice B: Doctrina de tipos" en 1903 Los principios de las matemáticas . Esta contradicción se puede afirmar como "la clase de todas las clases que no se contienen a sí mismas como elementos". Al final de este apéndice Russell afirma que su "doctrina" resolvería el problema inmediato planteado por Frege, pero "hay al menos una contradicción estrechamente análoga que probablemente no sea soluble por esta doctrina. La totalidad de todos los objetos lógicos, o de todas las proposiciones, implica, parecería una dificultad lógica fundamental. No he logrado descubrir cuál puede ser la solución completa de la dificultad; pero como afecta a los fundamentos mismos del razonamiento ... "

En el momento de 1908, la lógica matemática basada en la teoría de los tipos, Russell había estudiado "las contradicciones" (entre ellas la paradoja de Epiménides , la paradoja de Burali-Forti y la paradoja de Richard ) y concluyó que "en todas las contradicciones hay un característica común, que podemos describir como autorreferencia o reflexividad ".

En 1903, Russell definió las funciones predicativas como aquellas cuyo orden es uno más que la función de orden más alto que ocurre en la expresión de la función. Si bien estos estaban bien para la situación, las funciones impredicativas tenían que ser rechazadas:

Una función cuyo argumento es un individuo y cuyo valor es siempre una proposición de primer orden se llamará función de primer orden. Una función que involucre una función o proposición de primer orden como variable aparente se denominará función de segundo orden, y así sucesivamente. Una función de una variable que es del orden inmediatamente superior a la de su argumento se llamará función predicativa ; se le dará el mismo nombre a una función de varias variables [etc].

Repite esta definición de una manera ligeramente diferente más adelante en el artículo (junto con una sutil prohibición que expresarían con mayor claridad en 1913):

Una función predicativa de x es aquella cuyos valores son proposiciones del tipo inmediatamente superior al de x , si x es un individuo o una proposición, o el de los valores de x si x es una función. Puede describirse como una en la que las variables aparentes, si las hay, son todas del mismo tipo que xo de tipo inferior; y una variable es de tipo menor que x si puede ocurrir significativamente como argumento ax , o como argumento para un argumento ax , y así sucesivamente. [énfasis añadido]

Este uso se traslada a los Principia Mathematica de Alfred North Whitehead y Russell de 1913, donde los autores dedican una subsección completa de su Capítulo II: "La teoría de los tipos lógicos" al subcapítulo I. El principio del círculo vicioso : "Definiremos una función de uno variable como predicativa cuando es del orden siguiente por encima del de su argumento, es decir, del orden más bajo compatible con que tenga ese argumento ... Una función de varios argumentos es predicativa si hay uno de sus argumentos tal que, cuando el otro los argumentos tienen valores asignados, obtenemos una función predicativa del único argumento indeterminado ".

Vuelven a proponer la definición de función predicativa como aquella que no viola la teoría de los tipos lógicos. De hecho, los autores afirman que tales violaciones son "incapaces [de lograr]" e "imposibles":

De este modo, llegamos a la conclusión, tanto del principio del círculo vicioso como de la inspección directa, que las funciones para las que un objeto dado a puede ser un argumento no pueden ser argumentos entre sí y que no tienen un término en común. con las funciones para las que pueden ser argumentos. Por tanto, nos vemos llevados a construir una jerarquía.

Los autores enfatizan la palabra imposible :

si no nos equivocamos, no sólo es imposible que una función φz ^{^ se} tenga a sí misma o algo derivado de ella como argumento, sino que, si ψz ^{^} es otra función, hay argumentos a con los que tanto "φa" como " ψa "son significativas, entonces ψz ^{^} y cualquier cosa derivada de ella no puede ser un argumento significativo para φz ^{^} .

El axioma de reducibilidad de Russell

El axioma de reducibilidad establece que cualquier función de verdad (es decir, función proposicional ) puede expresarse mediante una función de verdad predicativa formalmente equivalente . Hizo su primera aparición en la lógica matemática de Bertrand Russell (1908) basada en la teoría de tipos , pero sólo después de unos cinco años de ensayo y error. En sus palabras:

Así, una función predicativa de un individuo es una función de primer orden; y para tipos superiores de argumentos, las funciones predicativas ocupan el lugar que ocupan las funciones de primer orden con respecto a los individuos. Suponemos entonces que toda función es equivalente, para todos sus valores, a alguna función predicativa del mismo argumento. Este supuesto parece ser la esencia del supuesto habitual de clases [conjuntos modernos]. . . llamaremos a este supuesto axioma de clases , o axioma de reductibilidad .

Para las relaciones (funciones de dos variables como "Para todo x y para todo y, aquellos valores para los que f (x, y) es verdadera", es decir, ∀x∀y: f (x, y)), Russell asumió un axioma de relaciones , o [el mismo] axioma de reducibilidad .

En 1903, propuso un posible proceso de evaluación de una función de 2 lugares comparando el proceso con la integración doble: uno tras otro, se conectan a x valores definidos a _m (es decir, el particular a _j es "una constante" o un parámetro mantenido constante), luego evalúe f ( a _m , y _n ) en todas las n instancias de y _n posibles . Para todo y _n evalúe f (a ₁ , y _n ), luego para todo y _n evalúe f ( a ₂ , y _n ), etc. hasta que se agoten todos los x = a _m ). Esto crearía una matriz de valores m por n : VERDADERO o DESCONOCIDO. (En esta exposición, el uso de índices es una conveniencia moderna).

En 1908, Russell no mencionó esta matriz de valores x , y que hacen que una función de dos lugares (por ejemplo, relación) sea VERDADERA, pero en 1913 introdujo un concepto similar a una matriz en "función". En * 12 de Principia Mathematica (1913) define "una matriz" como "cualquier función, de muchas variables, que no involucre ninguna variable aparente. Entonces cualquier función posible que no sea una matriz se deriva de una matriz por medio de la generalización , es decir, considerando la proposición que afirma que la función en cuestión es verdadera con todos los valores posibles o con algunos valores de uno de los argumentos, quedando indeterminado el otro argumento o argumentos ". Por ejemplo, si uno afirma que "∀y: f (x, y) es verdadero", entonces x es la variable aparente porque no está especificada.

Russell ahora define una matriz de "individuos" como una matriz de primer orden , y sigue un proceso similar para definir una matriz de segundo orden , etc. Finalmente, introduce la definición de una función predicativa :

Se dice que una función es predicativa cuando es una matriz. Se observará que, en una jerarquía en la que todas las variables son individuos o matrices, una matriz es lo mismo que una función elemental [cf. 1913: 127, es decir: la función no contiene variables aparentes]. ¶ "Matriz" o "función predicativa" es una idea primitiva.

A partir de este razonamiento, utiliza la misma redacción para proponer los mismos axiomas de reducibilidad que hizo en 1908.

Como acotación al margen, Russell en su 1903 consideró, y luego rechazó, "una tentación de considerar una relación como definible en extensión como una clase de parejas", es decir, la noción moderna de la teoría de conjuntos de par ordenado . Una versión intuitiva de esta noción apareció en la Begriffsschrift de Frege (1879) (traducida en van Heijenoort 1967: 23); El 1903 de Russell siguió de cerca el trabajo de Frege (cf. Russell 1903: 505ss). A Russell le preocupaba que "es necesario dar sentido a la pareja, distinguir el referente del relatum: así, una pareja se vuelve esencialmente distinta de una clase de dos términos, y debe ser introducida como una idea primitiva". filosóficamente, la idea de que el sentido sólo puede derivarse de alguna proposición relacional ... parece, por tanto, más correcto adoptar una visión intensional de las relaciones e identificarlas más con conceptos de clase que con clases ". Como se muestra a continuación, Norbert Wiener (1914) redujo la noción de relación con la clase por su definición de par ordenado.

Crítica

Zermelo 1908

La prohibición absoluta implícita en el axioma de reducibilidad de Russell fue duramente criticada por Ernst Zermelo en sus Investigaciones de los fundamentos de la teoría de conjuntos I de 1908 , herido como estaba por una demanda similar a la de Russell que vino de Poincaré :

Según Poincaré (1906, p. 307) una definición es "predicativa" y lógicamente admisible sólo si excluye todos los objetos que son "dependientes" de la noción definida, es decir, que de alguna manera pueden ser determinados por ella.

Zermelo respondió:

Una definición puede basarse muy bien en nociones equivalentes a la que se está definiendo; de hecho, en toda definición definiens y definiendum son nociones equivalentes, y la estricta observancia de la exigencia de Poincaré haría imposible toda definición, y por tanto toda la ciencia.

Wiener 1914

En su 1914 Una simplificación de la lógica de las relaciones , Norbert Wiener elimina la necesidad de que el axioma de reducibilidad tal como se aplica a las relaciones entre dos variables x , y y por ejemplo, φ ( x , Y ). Lo hizo introduciendo una forma de expresar una relación como un conjunto de pares ordenados: "Se verá que lo que hemos hecho es prácticamente volver al tratamiento de Schröder de una relación como una clase [conjunto] de parejas ordenadas". Van Heijenoort observa que "[b] y al dar una definición del par ordenado de dos elementos en términos de operaciones de clase, la nota redujo la teoría de relaciones a la de clases". Pero Wiener opinó que si bien había enviado la versión de dos variables de Russell y Whitehead del axioma * 12.11, la versión de una sola variable del axioma de reducibilidad para (axioma * 12.1 en Principia Mathematica ) todavía era necesaria.

Wittgenstein 1918

Ludwig Wittgenstein , mientras estaba encarcelado en un campo de prisioneros, terminó su Tractatus Logico-Philosophicus . Su introducción acredita "las grandes obras de Frege y los escritos de mi amigo Bertrand Russell". No siendo un intelectual modesto, declaró que "la verdad de los pensamientos aquí comunicados me parece irrefutable y definitiva. Soy, por tanto, de la opinión de que los problemas en lo esencial han sido finalmente resueltos". Así que, dada tal actitud, no sorprende que la teoría de los tipos de Russell sea criticada:

3.33

En la sintaxis lógica, el significado de un signo nunca debería desempeñar un papel; debe admitir establecerse sin que por ello se haga mención del significado de un signo; debe presuponer sólo la descripción de las expresiones.

3.331

A partir de esta observación, obtenemos una visión más amplia: la teoría de tipos de Russell . El error de Russell se muestra en el hecho de que al redactar sus reglas simbólicas tiene que hablar del significado de los signos.

3.332

Ninguna proposición puede decir nada sobre sí misma, porque el signo de la proposición no puede estar contenido en sí mismo (que es la "teoría completa de los tipos").

3.333

Una función no puede ser su propio argumento, porque el signo funcional ya contiene el prototipo de su propio argumento y no puede contenerse a sí mismo. ... Con esto se desvanece la paradoja de Russell.

Esto parece apoyar el mismo argumento que utiliza Russell para borrar su "paradoja". Este "usar los signos" para "hablar de los signos" critica Russell en su introducción que precedió a la traducción original en inglés:

Lo que causa vacilación es el hecho de que, después de todo, Wittgenstein se las arregla para decir mucho sobre lo que no se puede decir, sugiriendo así al lector escéptico que posiblemente puede haber alguna laguna a través de una jerarquía de lenguajes, o por alguna otra salida.

Este problema aparece más tarde cuando Wittgenstein llega a esta suave negación del axioma de reducibilidad; una interpretación de lo siguiente es que Wittgenstein está diciendo que Russell ha cometido (lo que hoy se conoce como) un error de categoría ; Russell ha afirmado (insertada en la teoría) una "nueva ley de la lógica" cuando todas las leyes (por ejemplo, el trazo ilimitado de Sheffer adoptado por Wittgenstein) ya han sido afirmadas:

6.123

Está claro que las leyes de la lógica no pueden obedecer por sí mismas a otras leyes lógicas. (No existe, como supuso Russell, para cada "tipo" una ley especial de contradicción; pero una es suficiente, ya que no se aplica a sí misma).

6.1231

La marca de las proposiciones lógicas no es su validez general. Ser general es solo accidentalmente válido para todas las cosas. Una proposición no generalizada puede ser tan tautóloga como una generalizada.

6.1232

Validez lógica general, podríamos llamar validez general esencial en oposición a accidental, por ejemplo, de la proposición "todos los hombres son mortales". Proposiciones como el "axioma de reducibilidad" de Russell no son proposiciones lógicas, y esto explica nuestro sentimiento de que, si son verdaderas, sólo pueden serlo por una feliz casualidad.

6.1233

Podemos imaginar un mundo en el que el axioma de reducibilidad no sea válido. Pero está claro que la lógica no tiene nada que ver con la cuestión de si nuestro mundo es realmente de este tipo o no.

Russell 1919

Bertrand Russell en su Introducción a la Filosofía Matemática de 1919 , un compañero no matemático de su primera edición de PM , analiza su Axioma de Reducibilidad en el Capítulo 17 Clases (págs. 146 y siguientes). Concluye que "no podemos aceptar" clase "como una idea primitiva; los símbolos de las clases son" meras conveniencias "y las clases son" ficciones lógicas, o (como decimos) "símbolos incompletos" ... las clases no pueden considerarse como parte del mobiliario último del mundo "(p. 146). La razón de esto es por el problema de la impredicatividad:" las clases no pueden ser consideradas como una especie de individuos, debido a la contradicción acerca de las clases que no son miembros de sí mismas ... y porque podemos demostrar que el número de clases es mayor que el número de individuos, [etc] ". Lo que hace entonces es proponer 5 obligaciones que hay que cumplir con respecto a una teoría de clases, y el resultado es Afirma que este axioma es "una forma generalizada de la identidad de indiscernibles de Leibniz" (p. 155). Pero concluye que el supuesto de Leibniz no es necesariamente cierto para todos los predicados posibles en todos los mundos posibles, por lo que concluye que:

No veo ninguna razón para creer que el axioma de reductibilidad sea lógicamente necesario, que es lo que significaría decir que es cierto en todos los mundos posibles. La admisión de este axioma en un sistema lógico es, por tanto, un defecto ... una suposición dudosa. (pág.155)

El objetivo que se fija entonces es "ajustes a su teoría" de evitar clases:

en su reducción de proposiciones nominalmente sobre clases a proposiciones sobre sus funciones definitorias. El evitar las clases como entidades por este método debe, parecer, ser sólido en principio, sin embargo, el detalle aún puede requerir un ajuste. (pág.155)

Skolem 1922

Thoralf Skolem en su 1922 Algunas observaciones sobre la teoría de conjuntos axiomatizada adoptó una actitud menos que positiva hacia "Russell y Whitehead" (es decir, su trabajo Principia Mathematica ):

Hasta ahora, que yo sepa, sólo uno de esos sistemas de axiomas ha encontrado una aceptación bastante generalizada, a saber, el construido por Zermelo (1908). Russell y Whitehead también construyeron un sistema de lógica que proporciona una base para la teoría de conjuntos; Sin embargo, si no me equivoco, los matemáticos se han interesado poco por él.

Skolem luego observa los problemas de lo que llamó "definición no predictiva" en la teoría de conjuntos de Zermelo:

la dificultad es que tenemos que formar algunos conjuntos cuya existencia depende de todos los conjuntos ... Poincaré llamó a este tipo de definición y lo consideró como la debilidad lógica real de la teoría de conjuntos.

Si bien Skolem está abordando principalmente un problema con la teoría de conjuntos de Zermelo, hace esta observación sobre el axioma de reducibilidad :

ellos [Russell y Whitehead], también, simplemente se contentan con sortear la dificultad introduciendo una estipulación, el axioma de reducibilidad . En realidad, este axioma decreta que se cumplirán las estipulaciones no predictivas. No hay prueba de eso; además, hasta donde yo puedo ver, tal prueba debe ser imposible desde el punto de vista de Russell y Whitehead, así como desde el de Zermelo. [énfasis añadido]

Russell 1927

En su "Introducción" de 1927 a la segunda edición de Principia Mathematica , Russell critica su propio axioma:

Un punto en el que la mejora es obviamente deseable es el axioma de reducibilidad (* 12.1.11). Este axioma tiene una justificación puramente pragmática: conduce a los resultados deseados y no a otros. Pero claramente no es el tipo de axioma con el que podemos quedarnos satisfechos. Sobre este tema, sin embargo, no se puede decir que todavía se pueda obtener una solución satisfactoria. ... Hay otro curso recomendado por Wittgenstein † [† Tractatus Logico-Philosophicus , * 5.54ff] por razones filosóficas. Esto es asumir que las funciones de las proposiciones son siempre funciones de verdad, y que una función solo puede ocurrir como en una proposición a través de sus valores. Hay dificultades ... Implica la consecuencia de que todas las funciones de las funciones son extensionales. ... [Pero las consecuencias de su lógica son que] la teoría del infinito Dedekindian y el buen ordenamiento colapsa, de modo que los irracionales, y los números reales en general, ya no pueden tratarse adecuadamente. También la prueba de Cantor de que 2 ⁿ > n se descompone a menos que n sea ​​finito. Quizás algún axioma adicional, menos objetable que el axioma de reducibilidad, podría dar estos resultados, pero no hemos logrado encontrar tal axioma.

5.54ff de Wittgenstein se centra más en la noción de función :

5.54

En la forma proposicional general, las proposiciones ocurren en una proposición sólo como bases de las operaciones de verdad.

5.541

A primera vista, parece como si también hubiera una forma diferente en la que una proposición pudiera ocurrir en otra. ¶ Especialmente en ciertas formas proposicionales de psicología, como "A piensa que p es el caso", o "A piensa p ", etc. ¶ Aquí parece superficialmente como si la proposición p estuviera en relación con el objeto A en una especie de relación . ¶ (Y en la epistemología moderna [Russell, Moore, etc.] esas proposiciones se han concebido de esta manera).

5.542

Pero está claro que "A cree que p ," A piensa p "," A dice p ", son de la forma" ' p ' piensa p "; y aquí no tenemos coordinación de un hecho y un objeto, sino una coordinación de los hechos por medio de una coordinación de sus objetos.

5.5421 [etc: "Un alma compuesta ya no sería un alma".] 5.5422

La explicación correcta de la forma de la proposición "A juzga p " debe mostrar que es imposible juzgar una tontería. (La teoría de Russell no satisface esta condición).

Una posible interpretación de la postura de Wittgenstein es que el pensador A, es decir, ' p ' es idénticamente el pensamiento p , de esta manera el "alma" permanece como una unidad y no como un compuesto. Entonces, pronunciar "el pensamiento piensa que el pensamiento" es una tontería, porque según 5.542 el enunciado no especifica nada.

von Neumann 1925

John von Neumann en su "Una axiomatización de la teoría de conjuntos" de 1925 luchó con los mismos problemas que Russell, Zermelo, Skolem y Fraenkel. Rechazó sumariamente el esfuerzo de Russell:

Aquí deben mencionarse Russell, J. Konig, Weyl y Brouwer. Llegaron a resultados completamente diferentes [de los teóricos de conjuntos], pero el efecto general de su actividad me parece absolutamente devastador. En Russell, todas las matemáticas y la teoría de conjuntos parecen descansar sobre el altamente problemático "axioma de reducibilidad", mientras que Weyl y Brouwer rechazan sistemáticamente la mayor parte de las matemáticas y la teoría de conjuntos como completamente sin sentido.

A continuación, observa el trabajo de los teóricos de conjuntos Zermelo, Fraenkel y Schoenflies, en el que "se entiende por" conjunto "nada más que un objeto del que no se sabe más y no se quiere saber más que lo que se desprende de él a partir de los postulados. Los postulados [de la teoría de conjuntos] deben formularse de tal manera que de ellos se sigan todos los teoremas deseados de la teoría de conjuntos de Cantor, pero no las antinomias.

Si bien menciona los esfuerzos de David Hilbert por demostrar la consistencia de su axiomatización de las matemáticas, von Neumann lo colocó en el mismo grupo que Russell. Más bien, von Neumann consideró que su propuesta estaba "en el espíritu del segundo grupo ... Debemos, sin embargo, evitar la formación de conjuntos mediante la recolección o separación de elementos [durch Zusammenfassung oder Aussonderung von Elementen], y así sucesivamente, así como evitar el principio poco claro de 'definición' que todavía se puede encontrar en Zermelo. [...] Preferimos, sin embargo, axiomatizar no 'conjunto' sino 'función' ".

Van Heijenoort observa que, en última instancia, este sistema axiomático de von Neumann "fue simplificado, revisado y ampliado ... y llegó a conocerse como la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel".

David Hilbert 1927

El sistema axiomático de David Hilbert que presenta en su libro Los fundamentos de las matemáticas de 1925 es la expresión madura de una tarea que se propuso a principios del siglo XX pero que dejó transcurrir por un tiempo (cf. su 1904 Sobre los fundamentos de la lógica y la aritmética ). Su sistema no es teórico de conjuntos ni se deriva directamente de Russell y Whitehead. Más bien, invoca 13 axiomas de lógica, cuatro axiomas de implicación, seis axiomas de Y lógico y O lógico, 2 axiomas de negación lógica y 1 axioma ε (axioma de "existencia"), más una versión de los axiomas de Peano en 4 axiomas que incluyen inducción matemática , algunas definiciones que "tienen el carácter de axiomas, y ciertos axiomas de recursividad que resultan de un esquema de recursividad general" más algunas reglas de formación que "gobiernan el uso de los axiomas".

Hilbert afirma que, con respecto a este sistema, es decir, "la teoría de los fundamentos de Russell y Whitehead [,] ... el fundamento que proporciona a las matemáticas descansa, primero, en el axioma del infinito y, luego, en lo que se llama el axioma de reducibilidad, y ambos axiomas son supuestos contenidos genuinos que no están respaldados por una prueba de coherencia; son supuestos cuya validez de hecho permanece dudosa y que, en cualquier caso, mi teoría no requiere ... la reducibilidad no se presupone en mi teoría ... la ejecución de la reducción se requeriría sólo en caso de que se diera una prueba de una contradicción, y luego, de acuerdo con mi teoría de la prueba, esta reducción siempre tendría éxito ".

Sobre esta base se basa la teoría de la recursividad moderna .

Ramsey 1925

En 1925, Frank Plumpton Ramsey argumentó que no es necesario. Sin embargo, en la segunda edición de Principia Mathematica (1927, página xiv) y en el artículo de Ramsey de 1926, se afirma que ciertos teoremas sobre los números reales no se pueden probar utilizando el enfoque de Ramsey. La mayoría de los formalismos matemáticos después de Hilbert ( Formalismo o Brower 's Intuitionism por ejemplo) no lo usan.

Ramsey mostró que es posible reformular la definición de predicativa mediante el uso de las definiciones de Wittgenstein 's Tractatus Logico-Philosophicus . Como resultado, todas las funciones de un orden dado son predicativas , independientemente de cómo se expresen. Continúa demostrando que su formulación aún evita las paradojas. Sin embargo, la teoría del "Tractatus" no parecía lo suficientemente fuerte como para probar algunos resultados matemáticos.

Gödel 1944

Kurt Gödel en su lógica matemática de Russell de 1944 ofrece, en palabras de su comentarista Charles Parsons, "[lo que] podría verse como una defensa de estas actitudes [realistas] de Russell contra el reduccionismo prominente en su filosofía e implícito en gran parte de su trabajo lógico. Fue quizás la defensa más robusta del realismo sobre las matemáticas y sus objetos desde que las paradojas y llegaron a la conciencia del mundo matemático después de 1900 ".

En general, Gödel simpatiza con la noción de que una función proposicional puede reducirse (identificarse con) los objetos reales que la satisfacen, pero esto causa problemas con respecto a la teoría de números reales, e incluso enteros (p. 134). Observa que la primera edición de PM "abandonó" la "actitud" realista (constructivista) con su propuesta del axioma de reducibilidad (p. 133). Sin embargo, dentro de la introducción a la segunda edición de PM (1927) Gödel afirma que "la actitud constructivista se reanuda de nuevo" (p. 133) cuando Russell "abandonó" el axioma de reducibilidad en favor de la teoría matricial (verdad-funcional) ; Russell "declaró explícitamente que todos los predicados primitivos pertenecen al tipo más bajo y que el único propósito de las variables (y evidentemente también de las constantes) es hacer posible afirmar funciones de verdad más complicadas de proposiciones atómicas ... [es decir] las superiores los tipos y órdenes son únicamente una façon de parler "(p. 134). Pero esto solo funciona cuando el número de individuos y predicados primitivos es finito, ya que se pueden construir cadenas finitas de símbolos como:

${\ Displaystyle x = a_ {1} \ vee x = a_ {2} \ vee \ dots \ vee x = a_ {k}}$ [ejemplo en la página 134]

Y a partir de tales cadenas se pueden formar cadenas de cadenas para obtener el equivalente de clases de clases, con una mezcla de tipos posible. Sin embargo, a partir de tales cadenas finitas no se puede construir la totalidad de las matemáticas porque no pueden ser "analizadas", es decir, reducibles a la ley de identidad o refutables por negaciones de la ley:

Incluso la teoría de los números enteros no es analítica, siempre que se requiera de las reglas de eliminación que permitan realmente realizar la eliminación en un número finito de pasos en cada caso. ⁴⁴ ( ⁴⁴ Porque esto implicaría la existencia de un procedimiento de decisión para todas las proposiciones aritméticas. Cf. Turing 1937. ) ... [Así] la totalidad de las matemáticas aplicadas a oraciones de longitud infinita tiene que presuponerse para probar [la] La analiticidad [de la teoría de los números enteros], por ejemplo, el axioma de elección puede probarse como analítico sólo si se asume que es verdadero. (pág.139)

Pero observa que "este procedimiento parece presuponer la aritmética de una forma u otra" (p. 134), y afirma en el párrafo siguiente que "la cuestión de si (o en qué medida) la teoría de los números enteros puede obtenerse en la base de la jerarquía ramificada debe considerarse sin resolver ". (pág.135)

Gödel propuso que se debería adoptar un "enfoque más conservador":

aclarar el significado de los términos "clase" y "concepto", y establecer una teoría coherente de clases y conceptos como entidades objetivamente existentes. Este es el curso que ha estado tomando el desarrollo real de la lógica matemática ... Los principales intentos en esta dirección ... son la teoría simple de tipos ... y la teoría axiomática de conjuntos, las cuales han tenido éxito al menos en en esta medida, permiten la derivación de las matemáticas modernas y al mismo tiempo evitan todas las paradojas conocidas. Sin embargo, muchos síntomas muestran con demasiada claridad que los conceptos primitivos necesitan una mayor aclaración. (pág.140)

Quine 1967

En una crítica que también analiza los pros y los contras de Ramsey (1931), WVO Quine dice que la formulación de Russell de los "tipos" es "problemática ... la confusión persiste mientras intenta definir ' proposiciones de n- ésimo orden' ... el método es de hecho extrañamente tortuoso ... el axioma de reducibilidad es modesto ", etc.

Al igual que Stephen Kleene , Quine observa que Ramsey (1926) dividió las diversas paradojas en dos variedades (i) "las de la teoría de conjuntos pura" y (ii) las derivadas de "conceptos semánticos como la falsedad y la especificabilidad", y Ramsey creía que la la segunda variedad debería haberse dejado fuera de la solución de Russell. Quine termina con la opinión de que "debido a la confusión de proposiciones con oraciones, y de atributos con sus expresiones, la supuesta solución de Russell de las paradojas semánticas fue enigmática de todos modos".

Kleene 1952

En su sección "§12. Primeras inferencias de las paradojas" (subcapítulo "LOGICISMO"), Stephen Kleene (1952) traza el desarrollo de la teoría de tipos de Russell:

Para adaptar la construcción lógica [sic] de las matemáticas a la situación que surge del descubrimiento de las paradojas, Russell excluyó las definiciones impredicativas mediante su teoría ramificada de tipos (1908, 1910).

Kleene observa que "para excluir las definiciones impredicativas dentro de un tipo, los tipos anteriores al tipo 0 [objetos primarios o individuos" no sujetos a análisis lógico "] se separan en órdenes. Así, para el tipo 1 [propiedades de los individuos, es decir, resultados lógicos del cálculo proposicional ], las propiedades definidas sin mencionar ninguna totalidad pertenecen al orden 0, y las propiedades definidas utilizando la totalidad de propiedades de un orden dado debajo del siguiente orden superior) ".

Kleene, sin embargo, observa entre paréntesis que "la definición lógica de número natural ahora se vuelve predicativa cuando la [propiedad] P en él se especifica para que se extienda solo sobre propiedades de un orden dado; en [este] caso, la propiedad de ser un número natural es del siguiente orden superior ". Pero esta separación en órdenes hace que sea imposible construir el análisis familiar, que [ver el ejemplo de Kleene en Impredicativity ] contiene definiciones impredicativas. Para escapar de este resultado, Russell postuló su axioma de reducibilidad . Pero, se pregunta Kleene, "¿sobre qué base deberíamos creer en el axioma de reducibilidad?" Observa que, mientras que Principia Mathematica se presenta como derivado de axiomas derivados intuitivamente que "estaban destinados a ser creídos sobre el mundo, o al menos para ser aceptados como hipótesis plausibles sobre el mundo [,] ... si las propiedades deben ser construido, el asunto debe resolverse sobre la base de construcciones, no por un axioma ". De hecho, cita a Whitehead y Russell (1927) cuestionando su propio axioma: "claramente, no es el tipo de axioma con el que podemos estar contentos".

Kleene hace referencia al trabajo de Ramsey 1926, pero señala que "ni Whitehead y Russell ni Ramsey lograron alcanzar el objetivo lógico de manera constructiva" y "una propuesta interesante ... de Langford 1927 y Carnap 1931-2, tampoco está libre de dificultades. " Kleene termina esta discusión con citas de Weyl (1946) de que "el sistema de Principia Mathematica ... [se basa en] una especie de paraíso lógico" y cualquiera "que esté dispuesto a creer en este 'mundo trascendental' también podría aceptar la sistema de teoría axiomática de conjuntos (Zermelo, Fraenkel, etc), que, para la deducción de las matemáticas, tiene la ventaja de ser más simple en estructura ".

Notas

Referencias

• van Heijenoort, Jean (1967, tercera edición de 1976), From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 , Harvard University Press, Cambridge, MA, ISBN   0-674-32449-8 (pbk)
• Russell, Bertrand (1903) Los principios de las matemáticas: vol. 1 , Cambridge en University Press, Cambridge, Reino Unido, republicado como googlebook.
• Whitehead, Alfred North y Russell, Bertrand (1910-1913, 2ª edición, 1927, edición reimpresa de 1962), Principia Mathematica a * 56 , Cambridge en University Press, Londres, Reino Unido, sin ISBN ni número de catálogo de la tarjeta estadounidense.
• Mario Livio (2009), ¿Es Dios un matemático? , Simon y Schuster, Nueva York, NY, ISBN   978-0-7432-9405-8 .

enlaces externos

• Axioma de reducibilidad en PhilPapers