1-2 + 3-4 + ⋯ - 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯

Las primeras 15.000 sumas parciales de 0 + 1 - 2 + 3 - 4 + ... La gráfica se sitúa con enteros positivos a la derecha y enteros negativos a la izquierda.

En matemáticas , 1 - 2 + 3 - 4 + ··· es una serie infinita cuyos términos son los sucesivos enteros positivos , dados signos alternos . Usando la notación de suma sigma, la suma de los primeros m términos de la serie se puede expresar como

$${\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {m} n (-1) ^ {n-1}.}$$

La serie infinita diverge , lo que significa que su secuencia de sumas parciales , (1, −1, 2, −2, ...) , no tiende hacia ningún límite finito . No obstante, a mediados del siglo XVIII, Leonhard Euler escribió lo que admitió ser una ecuación paradójica :

$${\ Displaystyle 1-2 + 3-4 + \ cdots = {\ frac {1} {4}}.}$$

Una explicación rigurosa de esta ecuación no llegaría hasta mucho más tarde. A partir de 1890, Ernesto Cesàro , Émile Borel y otros investigaron métodos bien definidos para asignar sumas generalizadas a series divergentes, incluidas nuevas interpretaciones de los intentos de Euler. Muchos de estos métodos de sumabilidad asignan fácilmente a 1 - 2 + 3 - 4 + ... un "valor" de1/4. La suma de Cesàro es uno de los pocos métodos que no suma 1 - 2 + 3 - 4 + ... , por lo que la serie es un ejemplo donde se requiere un método un poco más fuerte, como la suma de Abel .

La serie 1 - 2 + 3 - 4 + ... está estrechamente relacionada con la serie 1 - 1 + 1 - 1 + ... de Grandi . Euler trató estos dos como casos especiales de la secuencia más general 1 - 2 ⁿ + 3 ⁿ - 4 ⁿ + ... , donde n = 1 y n = 0 respectivamente. Esta línea de investigación amplió su trabajo sobre el problema de Basilea y lo llevó hacia las ecuaciones funcionales de lo que ahora se conoce como la función eta de Dirichlet y la función zeta de Riemann .

Divergencia

Los términos de la serie (1, −2, 3, −4, ...) no se acercan a 0 ; por lo tanto, 1 - 2 + 3 - 4 + ... diverge según el término prueba . La divergencia también se puede mostrar directamente a partir de la definición: una serie infinita converge si y solo si la secuencia de sumas parciales converge al límite , en cuyo caso ese límite es el valor de la serie infinita. Las sumas parciales de 1 - 2 + 3 - 4 + ... son:

La secuencia de sumas parciales muestra que la serie no converge a un número particular: para cualquier límite propuesto x , existe un punto más allá del cual las sumas parciales subsiguientes están todas fuera del intervalo [ x −1, x +1] ), entonces 1-2 + 3-4 + ... diverge.

Las sumas parciales incluyen cada entero exactamente una vez (incluso 0 si se cuenta la suma parcial vacía) y, por lo tanto, establece la contabilidad del conjunto de números enteros . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Heurísticas para la suma

Estabilidad y linealidad

Dado que los términos 1, −2, 3, −4, 5, −6, ... siguen un patrón simple, la serie 1-2 + 3-4 + ... se puede manipular cambiando y término por término Además para producir un valor numérico. Si tiene sentido escribir s = 1 - 2 + 3 - 4 + ... para algunos números ordinarios s , las siguientes manipulaciones argumentan a favor de s = 1 ⁄ 4 :

$${\ displaystyle {\ begin {array} {rclllll} 4s & = && (1-2 + 3-4 + \ cdots) & {} + (1-2 + 3-4 + \ cdots) & {} + (1- 2 + 3-4 + \ cdots) & {} + (1-2 + 3-4 + \ cdots) \\ & = && (1-2 + 3-4 + \ cdots) & {} + 1 + (- 2 + 3-4 + 5 + \ cdots) & {} + 1 + (- 2 + 3-4 + 5 + \ cdots) & {} + (1-2) + (3-4 + 5-6 \ cdots ) \\ & = && (1-2 + 3-4 + \ cdots) & {} + 1 + (- 2 + 3-4 + 5 + \ cdots) & {} + 1 + (- 2 + 3-4 +5+ \ cdots) & {} - 1+ (3-4 + 5-6 \ cdots) \\ & = & 1 + & (1-2 + 3-4 + \ cdots) & {} + (- 2+ 3-4 + 5 + \ cdots) & {} + (- 2 + 3-4 + 5 + \ cdots) & {} + (3-4 + 5-6 \ cdots) \\ & = & 1 + [& (1 -2-2 + 3) y {} + (- 2 + 3 + 3-4) y {} + (3-4-4 + 5) y {} + (- 4 + 5 + 5-6) + \ cdots] \\ & = & 1 + [& 0 + 0 + 0 + 0 + \ cdots] \\ 4s & = & 1 \ end {array}}}$$

Al agregar 4 copias de 1 - 2 + 3 - 4 + ..., usando solo turnos y suma término por término, se obtiene 1. El lado izquierdo y el lado derecho muestran cada uno dos copias de 1 - 2 + 3 - 4 +. .. sumando a 1 - 1 + 1 - 1 + ....

Entonces . ${\ Displaystyle s = {\ frac {1} {4}}}$

Aunque 1 - 2 + 3 - 4 + ... no tiene una suma en el sentido habitual, la ecuación s = 1 - 2 + 3 - 4 + ... = 1 ⁄ 4 se puede apoyar como la respuesta más natural si tal suma debe definirse. Una definición generalizada de la "suma" de una serie divergente se denomina método de suma o método de sumabilidad . Hay muchos métodos diferentes y es deseable que compartan algunas series divergentes Propiedades de los métodos de suma y propiedades de la suma ordinaria . Lo que las manipulaciones anteriores demuestran en realidad es lo siguiente: dado cualquier método de sumabilidad que sea lineal y estable y sume la serie 1 - 2 + 3 - 4 + ... , la suma que produce es 1 ⁄ 4 . Además, dado que

$${\ displaystyle {\ begin {array} {rcllll} 2s & = && (1-2 + 3-4 + \ cdots) & + & (1-2 + 3-4 + \ cdots) \\ & = & 1 + {} & (-2 + 3-4 + \ cdots) & {} + 1-2 & {} + (3-4 + 5 \ cdots) \\ & = & 0 + {} & (- 2 + 3) + (3-4) + (- 4 + 5) + \ cdots \\ 2s & = && 1-1 + 1-1 \ cdots \ end {matriz}}}$$

Producto Cauchy

En 1891, Ernesto Cesàro expresó su esperanza de que las series divergentes fueran llevadas rigurosamente al cálculo , señalando, "Ya se escribe (1 - 1 + 1 - 1 + ...) ² = 1 - 2 + 3 - 4 + ... y afirma que ambos lados son iguales a 1 ⁄ 4 ". Para Cesàro, esta ecuación era una aplicación de un teorema que había publicado el año anterior, que es el primer teorema en la historia de las series divergentes sumables. Los detalles sobre su método de suma se encuentran a continuación ; la idea central es que 1 - 2 + 3 - 4 + ... es el producto de Cauchy (discreta convolución ) de 1 - 1 + 1 - 1 + ... con 1 - 1 + 1 - 1 + ... .

El producto de Cauchy de dos series infinitas se define incluso cuando ambas son divergentes. En el caso donde a _n = b _n = (−1) ⁿ , los términos del producto de Cauchy están dados por las sumas diagonales finitas

$${\ Displaystyle {\ begin {array} {rcl} c_ {n} & = & \ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} b_ {nk} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} (- 1) ^ {nk} \\ [1em] & = & \ Displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {n} = (- 1) ^ {n} (n + 1). \ End {matriz}}}$$

La serie de productos es entonces

$${\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} (n + 1) = 1-2 + 3-4 + \ cdots.}$$

Así, un método de suma que respete el producto de Cauchy de dos series - y asigne a la serie 1 - 1 + 1 - 1 + ... la suma 1/2 - también asignará a la serie 1 - 2 + 3 - 4 +. .. la suma 1/4. Con el resultado del apartado anterior, esto implica una equivalencia entre la sumabilidad de 1 - 1 + 1 - 1 + ... y 1 - 2 + 3 - 4 + ... con métodos lineales, estables y respetuosos de Cauchy. producto.

El teorema de Cesàro es un ejemplo sutil. La serie 1 - 1 + 1 - 1 + ... es Cesàro-sumable en el sentido más débil, llamado (C, 1) -sumable, mientras que 1-2 + 3-4 + ... requiere una forma más fuerte del teorema de Cesàro , siendo (C, 2) sumable. Dado que todas las formas del teorema de Cesàro son lineales y estables, los valores de las sumas son los calculados anteriormente.

Métodos específicos

Cesàro y Hölder

Datos sobre la suma (H, 2) de 1 ⁄ 4

Para encontrar la suma de Cesàro (C, 1) de 1 - 2 + 3 - 4 + ..., si existe, es necesario calcular las medias aritméticas de las sumas parciales de la serie. Las sumas parciales son:

y las medias aritméticas de estas sumas parciales son:

Esta secuencia de medias no converge, por lo que 1 - 2 + 3 - 4 + ... no es Cesàro sumable.

Hay dos generalizaciones bien conocidas de la suma de Cesàro: la conceptualmente más simple de ellas es la secuencia de métodos (H, n ) para números naturales n . La suma (H, 1) es la suma de Cesàro, y los métodos superiores repiten el cálculo de las medias. Arriba, las medias pares convergen a 1 ⁄ 2 , mientras que las medias impares son todas iguales a 0, por lo que las medias de las medias convergen al promedio de 0 y 1 ⁄ 2 , es decir, 1 ⁄ 4 . Entonces 1-2 + 3-4 + ... es (H, 2) sumable a 1 ⁄ 4 .

La "H" representa a Otto Hölder , quien demostró por primera vez en 1882 lo que los matemáticos consideran ahora la conexión entre la suma de Abel y la suma (H, n ); 1-2 + 3-4 + ... fue su primer ejemplo. El hecho de que 1 ⁄ 4 sea ​​la suma (H, 2) de 1 - 2 + 3 - 4 + ... garantiza que también es la suma de Abel; esto también se demostrará directamente a continuación.

La otra generalización comúnmente formulada de la suma de Cesàro es la secuencia de métodos (C, n ). Se ha demostrado que la suma (C, n ) y la suma (H, n ) siempre dan los mismos resultados, pero tienen antecedentes históricos diferentes. En 1887, Cesàro estuvo cerca de enunciar la definición de (C, n ) suma, pero dio solo algunos ejemplos. En particular, sumó 1 - 2 + 3 - 4 + ..., a 1 ⁄ 4 mediante un método que puede reformularse como (C, n ) pero que no estaba justificado como tal en ese momento. Definió formalmente los métodos (C, n) en 1890 para enunciar su teorema de que el producto de Cauchy de una serie sumable (C, n ) y una serie sumable (C, m ) es (C, m + n + 1) -sumible.

Suma de Abel

Algunos parciales de 1 - 2 x + 3 x ² + ...; 1 / (1 + x ) ² ; y límites en 1

En un informe de 1749, Leonhard Euler admite que la serie diverge pero se prepara para resumirla de todos modos:

... cuando se dice que la suma de esta serie 1-2 + 3-4 + 5-6 etc.es 1 ⁄ 4 , eso debe parecer paradójico. Porque al sumar 100 términos de esta serie, obtenemos −50, sin embargo, la suma de 101 términos da +51, que es bastante diferente de 1 ⁄ 4 y se vuelve aún mayor cuando se aumenta el número de términos. Pero ya he notado en un momento anterior, que es necesario darle a la palabra suma un significado más extenso ...

Euler propuso una generalización de la palabra "suma" varias veces. En el caso de 1-2 + 3-4 + ... , sus ideas son similares a lo que ahora se conoce como suma de Abel :

... no es más dudoso que la suma de esta serie 1 - 2 + 3 - 4 + 5 etc. es 1 ⁄ 4 ; ya que surge de la expansión de la fórmula 1 ⁄ (1 + 1) ² , cuyo valor es indiscutiblemente 1 ⁄ 4 . La idea se hace más clara considerando la serie general de 1 - 2 x + 3 x ² - 4 x ³ + 5 x ⁴ - 6 x ⁵ + & c. que surge al expandir la expresión 1 ⁄ (1+ x ) ² , a la que esta serie es de hecho igual después de establecer x = 1 .

Hay muchas formas de ver eso, al menos para valores absolutos | x | <1 , Euler tiene razón en eso

$${\ Displaystyle 1-2x + 3x ^ {2} -4x ^ {3} + \ cdots = {\ frac {1} {(1 + x) ^ {2}}}.}$$

. Comenzando por el lado izquierdo, se puede seguir la heurística generales anteriores y tratar de multiplicar por (1 + x ) dos veces o elevar al cuadrado la serie geométrica 1 - x + x ² - ... . Euler también parece sugerir diferenciar la última serie término por término.

En la visión moderna, la función generadora 1 - 2 x + 3 x ² - 4 x ³ + ... no define una función en x = 1 , por lo que el valor no puede simplemente sustituirse en la expresión resultante. Dado que la función está definida para todos | x | <1 , todavía se puede tomar el límite cuando x se acerca a 1, y esta es la definición de la suma de Abel:

$${\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow 1 ^ {-}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} n (-x) ^ {n-1} = \ lim _ {x \ rightarrow 1 ^ {-}} {\ frac {1} {(1 + x) ^ {2}}} = {\ frac {1} {4}}.}$$

Euler y Borel

Suma de Euler a 1 ⁄ 2 - 1 ⁄ 4 . Los valores positivos se muestran en blanco, los valores negativos se muestran en marrón y los cambios y cancelaciones se muestran en verde.

Euler aplicó otra técnica a la serie: la transformada de Euler , uno de sus propios inventos. Para calcular la transformada de Euler, se comienza con la secuencia de términos positivos que forman la serie alterna, en este caso 1, 2, 3, 4, .... El primer elemento de esta secuencia se etiqueta con un ₀ .

A continuación, se necesita la secuencia de diferencias hacia adelante entre 1, 2, 3, 4, ... ; esto es solo 1, 1, 1, 1, .... El primer elemento de esta secuencia está etiquetado como Δ a ₀ . La transformada de Euler también depende de diferencias de diferencias e iteraciones más altas , pero todas las diferencias hacia adelante entre 1, 1, 1, 1, ... son 0. La transformada de Euler de 1 - 2 + 3 - 4 + ... es luego definido como

$${\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} a_ {0} - {\ frac {1} {4}} \ Delta a_ {0} + {\ frac {1} {8}} \ Delta ^ {2 } a_ {0} - \ cdots = {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {4}}.}$$

En terminología moderna, se dice que 1 - 2 + 3 - 4 + ... es Euler sumable a 1 ⁄ 4 .

La sumabilidad de Euler también implica la sumabilidad de Borel , con el mismo valor de suma, como lo hace en general.

Separación de escamas

Saichev y Woyczyński llegan a 1-2 + 3-4

aplicando solo dos principios físicos: relajación infinitesimal y separación de escalas . Para ser precisos, estos principios los llevan a definir una amplia familia de " métodos de suma φ ", todos los cuales suman la serie a 1 ⁄ 4 :

• Si φ ( x ) es una función cuya primera y segunda derivadas son continuas e integrables sobre (0, ∞), tal que φ (0) = 1 y los límites de φ ( x ) yx φ ( x ) en + ∞ son ambos 0, entonces
  $${\ Displaystyle \ lim _ {\ delta \ rightarrow 0} \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {m} (m + 1) \ varphi (\ delta m) = {\ frac {1} {4}}.}$$

  

Este resultado generaliza la suma de Abel, que se recupera dejando φ ( x ) = exp (- x ). El enunciado general se puede demostrar emparejando los términos de la serie sobre my convirtiendo la expresión en una integral de Riemann . Para el último paso, la prueba correspondiente para 1 - 1 + 1 - 1 + ... aplica el teorema del valor medio , pero aquí se necesita la forma de Lagrange más fuerte del teorema de Taylor .

Generalización

Extracto de la p. 233 de la E212 - Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum . Euler suma series similares, ca. 1755.

El triple producto de Cauchy de 1 - 1 + 1 - 1 + ... es 1 - 3 + 6 - 10 + ..., la serie alterna de números triangulares ; su suma de Abel y Euler es 1 ⁄ 8 . El producto de Cauchy cuádruple de 1 - 1 + 1 - 1 + ... es 1 - 4 + 10 - 20 + ..., la serie alterna de números tetraédricos , cuya suma de Abel es 1 ⁄ 16 .

Otra generalización de 1 - 2 + 3 - 4 + ... en una dirección ligeramente diferente es la serie 1 - 2 ⁿ + 3 ⁿ - 4 ⁿ + ... para otros valores de n . Para enteros positivos n , estas series tienen las siguientes sumas de Abel:

$${\ Displaystyle 1-2 ^ {n} + 3 ^ {n} - \ cdots = {\ frac {2 ^ {n + 1} -1} {n + 1}} B_ {n}}$$

donde B _n son los números de Bernoulli . Incluso para n , esto se reduce a

$${\ displaystyle 1-2 ^ {2k} + 3 ^ {2k} - \ cdots = 0,}$$

lo que puede interpretarse en el sentido de que los valores pares negativos de la función zeta de Riemann son cero. Esta suma se convirtió en objeto de particular burla por parte de Niels Henrik Abel en 1826:

Las series divergentes son obra del diablo, y es una pena que uno se atreva a encontrar alguna prueba en ellas. Se puede sacar de ellos lo que se quiera si se los usa, y son ellos los que han causado tanta infelicidad y tantas paradojas. ¿Se puede pensar en algo más espantoso que decir que

0 = 1 - 2 ²ⁿ + 3 ²ⁿ - 4 ²ⁿ + etc.

donde n es un número positivo. Aquí hay algo de lo que reírse, amigos.

El maestro de Cesàro, Eugène Charles Catalan , también despreció las series divergentes. Bajo la influencia catalana, Cesàro inicialmente se refirió a las "fórmulas convencionales" para 1 - 2 ⁿ + 3 ⁿ - 4 ⁿ + ... como "igualdades absurdas", y en 1883 Cesàro expresó una visión típica de la época de que las fórmulas eran falsas. pero de alguna manera formalmente útil. Finalmente, en su Sur la multiplication des séries de 1890 , Cesàro adoptó un enfoque moderno a partir de definiciones.

Las series también se estudian para valores no enteros de n ; estos constituyen la función eta de Dirichlet . Parte de la motivación de Euler para estudiar series relacionadas con 1 - 2 + 3 - 4 + ... fue la ecuación funcional de la función eta, que conduce directamente a la ecuación funcional de la función zeta de Riemann . Euler ya se había hecho famoso por encontrar los valores de estas funciones en enteros pares positivos (incluido el problema de Basilea ), y también estaba intentando encontrar los valores en los enteros impares positivos (incluida la constante de Apéry ), un problema que sigue siendo difícil de alcanzar en la actualidad. . La función eta en particular es más fácil de manejar con los métodos de Euler porque su serie de Dirichlet es sumable por Abel en todas partes; La serie de Dirichlet de la función zeta es mucho más difícil de sumar donde diverge. Por ejemplo, la contraparte de 1 - 2 + 3 - 4 + ... en la función zeta es la serie no alterna 1 + 2 + 3 + 4 + ... , que tiene aplicaciones profundas en la física moderna pero requiere mucho más fuerte métodos para sumar.

Ver también

• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
• 1 + 2 + 4 + 8 + · ...
• 1-2 + 4-8 + ⋯

Referencias

Notas al pie

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