Tacnode - Tacnode
En la geometría algebraica clásica , un tacnodo (también llamado punto de osculación o doble cúspide ) es una especie de punto singular de una curva . Se define como un punto donde dos (o más) círculos osculantes a la curva en ese punto son tangentes . Esto significa que dos ramas de la curva tienen tangencia ordinaria en el punto doble.
El ejemplo canónico es
Un tacnodo de una curva arbitraria se puede definir a partir de este ejemplo, como un punto de auto-tangencia localmente difeomórfico al punto en el origen de esta curva. Otro ejemplo de tacnodo lo da la curva de enlaces que se muestra en la figura, con la ecuación
Antecedentes más generales
Considere una suave función real de dos variables de , por ejemplo f ( x , y ) donde x y y son números reales . Entonces f es una función del plano a la línea. El espacio de todas estas funciones suaves se ve afectado por el grupo de difeomorfismos del plano y los difeomorfismos de la línea, es decir, cambios difeomórficos de coordenadas tanto en la fuente como en el objetivo . Esta acción divide todo el espacio funcional en clases de equivalencia , es decir, órbitas de la acción de grupo.
Una de esas familias de clases de equivalencia se denota por A k ± , donde k es un número entero no negativo . Esta notación fue introducida por VI Arnold . Se dice que una función f es de tipo A k ± si se encuentra en la órbita de x 2 ± y k +1 , es decir, existe un cambio difeomórfico de coordenadas en origen y destino que toma f en una de estas formas. Se dice que estas formas simples x 2 ± y k +1 dan formas normales para las singularidades de tipo A k ± .
Una curva con ecuación f = 0 tendrá un tacnodo, digamos en el origen, si y solo si f tiene una singularidad de tipo A 3 - en el origen.
Observe que un nodo ( x 2 - y 2 = 0) corresponde a una singularidad de tipo A 1 - . A tacnode corresponde a un tipo A 3 - -singularity. De hecho, cada tipo A 2 n +1 - -solaridad, donde n ≥ 0 es un número entero, corresponde a una curva con auto-intersección. A medida que n aumenta, el orden de auto-intersección aumenta: cruce transversal, tangencia ordinaria, etc.
Las singularidades de tipo A 2 n +1 + no tienen ningún interés sobre los números reales: todas dan un punto aislado. Sobre los números complejos , las singularidades de tipo A 2 n +1 + y las singularidades de tipo A 2 n +1 - son equivalentes: ( x , y ) → ( x , iy ) da el difeomorfismo requerido de las formas normales.