Homología simplicial - Simplicial homology

En topología algebraica , la homología simplicial es la secuencia de grupos de homología de un complejo simplicial . Formaliza la idea del número de huecos de una determinada dimensión en el complejo. Esto generaliza el número de componentes conectados (el caso de la dimensión 0).

La homología simple surgió como una forma de estudiar los espacios topológicos cuyos bloques de construcción son n - simples , los análogos n- dimensionales de los triángulos. Esto incluye un punto (0-simplex), un segmento de línea (1-simplex), un triángulo (2-simplex) y un tetraedro (3-simplex). Por definición, tal espacio es homeomorfo a un complejo simplicial (más precisamente, la realización geométrica de un complejo simplicial abstracto ). Este homeomorfismo se conoce como triangulación del espacio dado. Se pueden triangular muchos espacios topológicos de interés, incluidos todos los colectores lisos (Cairns y Whitehead ).

La homología simplicial se define mediante una receta simple para cualquier complejo simplicial abstracto. Es un hecho notable que la homología simplicial solo depende del espacio topológico asociado. Como resultado, proporciona una forma computable de distinguir un espacio de otro.

Definiciones

Se toman el límite de un límite de un 2-simplex (izquierda) y el límite de una cadena 1 (derecha). Ambos son 0, siendo sumas en las que tanto el positivo como el negativo de un 0-simplex ocurren una vez. El límite de un límite es siempre 0. Un ciclo no trivial es algo que se cierra como el límite de un símplex, en el sentido de que su límite suma 0, pero que en realidad no es el límite de un símplex o una cadena. Debido a que los ciclos 1 triviales son equivalentes a 0 pulg , el ciclo 1 en el medio derecho es homólogo a su suma con el límite del 2-simplex a la izquierda.${\ Displaystyle H_ {1}}$

Orientaciones

Un concepto clave para definir la homología simplicial es la noción de orientación de un simplex. Por definición, una orientación de un k -simplex viene dada por una ordenación de los vértices, escrita como ( v ₀ , ..., v _k ), con la regla de que dos ordenaciones definen la misma orientación si y solo si difieren por una permutación uniforme . Así, cada simplex tiene exactamente dos orientaciones, y cambiar el orden de dos vértices cambia una orientación a la orientación opuesta. Por ejemplo, elegir una orientación de 1-simplex equivale a elegir una de las dos direcciones posibles, y elegir una orientación de 2-simplex equivale a elegir lo que debería significar "en sentido antihorario".

Cadenas

Sea S un complejo simplicial. Una cadena k simplicial es una suma formal finita

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {N} c_ {i} \ sigma _ {i}, \,}$

donde cada c _i es un número entero y σ _i es un k -simplex orientado . En esta definición, declaramos que cada simplex orientado es igual al negativo del simplex con orientación opuesta. Por ejemplo,

${\ Displaystyle (v_ {0}, v_ {1}) = - (v_ {1}, v_ {0}).}$

El grupo de k cadenas en S se escribe C _k . Este es un grupo abeliano libre que tiene una base en correspondencia uno-a-uno con el conjunto de k -simplices en S . Para definir una base explícitamente, hay que elegir una orientación de cada símplex. Una forma estándar de hacer esto es elegir un orden de todos los vértices y darle a cada simplex la orientación correspondiente al orden inducido de sus vértices.

Límites y ciclos

Sea σ = ( v ₀ , ..., v _k ) un k -simplex orientado , visto como un elemento base de C _k . El operador de límites

${\ Displaystyle \ partial _ {k}: C_ {k} \ rightarrow C_ {k-1}}$

es el homomorfismo definido por:

${\ Displaystyle \ partial _ {k} (\ sigma) = \ sum _ {i = 0} ^ {k} (- 1) ^ {i} (v_ {0}, \ dots, {\ widehat {v_ {i }}}, \ dots, v_ {k}),}$

donde el simplex orientado

${\ Displaystyle (v_ {0}, \ dots, {\ widehat {v_ {i}}}, \ dots, v_ {k})}$

es la i- ^ésima cara de σ , obtenida al eliminar su i- ^ésimo vértice.

En C _k , elementos del subgrupo

${\ Displaystyle Z_ {k}: = \ ker \ parcial _ {k}}$

se denominan ciclos , y el subgrupo

${\ Displaystyle B_ {k}: = \ operatorname {im} \ partial _ {k + 1}}$

se dice que consta de fronteras .

Límites de fronteras

Un cálculo directo muestra que ∂ ² = 0. En términos geométricos, esto dice que el límite de cualquier cosa no tiene límite. De manera equivalente, los grupos abelianos

${\ Displaystyle (C_ {k}, \ parcial _ {k})}$

forman un complejo de cadena . Otro enunciado equivalente es que B _k está contenido en Z _k .

Como ejemplo, considere un tetraedro con vértices orientados como w, x, y, z. Por definición, su límite está dado por: xyz - wyz + wxz - wxy. El límite del límite está dado por: (yz-xz + xy) - (yz-wz + wy) + (xz-wz + wx) - (xy-wy + wx) = 0.

Un complejo simplicial con 2 1 agujeros

Grupos de homología

El k- ^ésimo grupo de homología H _k de S se define como el cociente del grupo abeliano

${\ Displaystyle H_ {k} (S) = Z_ {k} / B_ {k} \ ,.}$

De ello se deduce que el grupo de homología H _k ( S ) es distinto de cero exactamente cuando hay k ciclos en S que no son límites. En cierto sentido, esto significa que hay agujeros k- dimensionales en el complejo. Por ejemplo, considere el complejo S obtenido pegando dos triángulos (sin interior) a lo largo de un borde, que se muestra en la imagen. Los bordes de cada triángulo se pueden orientar para formar un ciclo. Estos dos ciclos son por construcción, no límites (ya que cada 2 cadenas es cero). Se puede calcular que el grupo de homología H ₁ ( S ) es isomorfo a Z ² , con una base dada por los dos ciclos mencionados. Esto hace precisa la idea informal de que S tiene dos "agujeros unidimensionales".

Los agujeros pueden ser de diferentes dimensiones. El rango del k- ésimo grupo de homología, el número

${\ Displaystyle \ beta _ {k} = \ operatorname {rango} (H_ {k} (S)) \,}$

se llama el k ésimo número Betti de S . Se da una medida del número de k agujeros -dimensional en S .

Ejemplo

Grupos de homología de un triángulo

Sea S un triángulo (sin su interior), visto como un complejo simplicial. Por tanto, S tiene tres vértices, que llamamos v ₀ , v ₁ , v ₂ y tres aristas, que son simples unidimensionales. Para calcular los grupos de homología de S , comenzamos por describir los grupos de cadenas C _k :

• C ₀ es isomorfo a Z ³ con base ( v ₀ ), ( v ₁ ), ( v ₂ ),
• C ₁ es isomorfo a Z ³ con una base dada por los 1-simples orientados ( v ₀ , v ₁ ), ( v ₀ , v ₂ ) y ( v ₁ , v ₂ ).
• C ₂ es el grupo trivial, ya que no existe un simplex como porque el triángulo se ha supuesto sin su interior. También lo son los grupos de cadenas en otras dimensiones.${\ Displaystyle (v_ {0}, v_ {1}, v_ {2})}$

El homomorfismo de frontera ∂: C ₁ → C ₀ viene dado por:

${\ estilo de visualización \ parcial (v_ {0}, v_ {1}) = (v_ {1}) - (v_ {0})}$

${\ estilo de visualización \ parcial (v_ {0}, v_ {2}) = (v_ {2}) - (v_ {0})}$

${\ estilo de visualización \ parcial (v_ {1}, v_ {2}) = (v_ {2}) - (v_ {1})}$

Dado que C ₋₁ = 0, cada cadena 0 es un ciclo (es decir, Z ₀ = C ₀ ); además, el grupo B ₀ de los límites 0 es generado por los tres elementos a la derecha de estas ecuaciones, creando un subgrupo bidimensional de C ₀ . Entonces, el grupo de homología ₀ H ₀ ( S ) = Z ₀ / B ₀ es isomorfo a Z , con una base dada (por ejemplo) por la imagen del ciclo ₀ ( v ₀ ). De hecho, los tres vértices se vuelven iguales en el grupo de cocientes; esto expresa el hecho de que S está conectado .

A continuación, el grupo de 1 ciclos es el núcleo del homomorfismo ∂ anterior, que es isomorfo a Z , con una base dada (por ejemplo) por ( v ₀ , v ₁ ) - ( v ₀ , v ₂ ) + ( v ₁ , v ₂ ). (Una imagen revela que este ciclo 1 gira alrededor del triángulo en una de las dos direcciones posibles). Dado que C ₂ = 0, el grupo de límites 1 es cero, por lo que el primer grupo de homología H ₁ ( S ) es isomórfico. a Z / 0 ≅ Z . Esto hace precisa la idea de que el triángulo tiene un agujero unidimensional.

A continuación, dado que por definición no hay 2 ciclos, C ₂ = 0 (el grupo trivial ). Por tanto, el segundo grupo de homología H ₂ ( S ) es cero. Lo mismo es cierto para H _i ( S ) para todo i que no sea igual a 0 o 1.

Grupos de homología de simplices de dimensiones superiores

Sea S un tetraedro (sin su interior), visto como un complejo simplicial. Por tanto, S tiene cuatro vértices de dimensión cero, seis aristas de una dimensión y cuatro caras de dos dimensiones. La construcción de los grupos de homología de un tetraedro se describe aquí en detalle. Resulta que H ₀ ( S ) es isomorfo a Z , H ₂ ( S ) es isomorfo a Z también, y todos los demás grupos son triviales.

Si el tetraedro contiene su interior, entonces el H ₂ ( S ) también es trivial.

En general, si S es un simplex d- dimensional, se cumple lo siguiente:

• Si se considera S sin su interior, entonces H ₀ ( S ) = Z y H _{d −1} ( S ) = Z y todas las demás homologías son triviales;
• Si se considera S con su interior, entonces H ₀ ( S ) = Z y todas las demás homologías son triviales.

Mapas simples

Deje que S y T sean complejo simplicial . Un mapa simplicial f de S a T es una función del conjunto de vértices de S para el conjunto de vértices de T de tal manera que la imagen de cada simplex en S (visto como un conjunto de vértices) es un simplex en T . Un mapa simple f : S → T determina un homomorfismo de los grupos de homología H _k ( S ) → H _k ( T ) para cada número entero k . Este es el homomorfismo asociada a un mapa de la cadena desde el complejo de cadena de S para el complejo de cadena de T . Explícitamente, este mapa de cadena se da en k -chains por

${\ Displaystyle f ((v_ {0}, \ ldots, v_ {k})) = (f (v_ {0}), \ ldots, f (v_ {k}))}$

si f ( v ₀ ), ..., f ( v _k ) son todas distintas, y de lo contrario f (( v ₀ , ..., v _k )) = 0.

Esta construcción hace de la homología simplicial un functor de complejos simpliciales a grupos abelianos. Esto es esencial para las aplicaciones de la teoría, incluido el teorema del punto fijo de Brouwer y la invariancia topológica de la homología simplicial.

Homologías relacionadas

La homología singular es una teoría relacionada que se adapta mejor a la teoría que a la computación. La homología singular se define para todos los espacios topológicos y obviamente depende solo de la topología, no de ninguna triangulación; y coincide con la homología simplicial para espacios triangulables. No obstante, debido a que es posible calcular la homología simplicial de un complejo simplicial forma automática y eficiente, la homología simplicial ha convertido en importante para su aplicación a situaciones de la vida real, tales como análisis de imágenes , imágenes médicas , y el análisis de datos en general.

Otra teoría relacionada es la homología celular .

Aplicaciones

Un escenario estándar en muchas aplicaciones informáticas es una colección de puntos (medidas, píxeles oscuros en un mapa de bits, etc.) en los que se desea encontrar una característica topológica. La homología puede servir como una herramienta cualitativa para buscar tal característica, ya que es fácilmente computable a partir de datos combinatorios como un complejo simplicial. Sin embargo, los puntos de datos deben triangularse primero , lo que significa que se reemplazan los datos con una aproximación compleja simple. El cálculo de la homología persistente implica el análisis de la homología en diferentes resoluciones, registrando clases de homología (huecos) que persisten a medida que se cambia la resolución. Estas características se pueden utilizar para detectar estructuras de moléculas, tumores en rayos X y estructuras de grupos en datos complejos.

De manera más general, la homología simplicial juega un papel central en el análisis de datos topológicos , una técnica en el campo de la minería de datos .

Implementaciones

• Una caja de herramientas de MATLAB para calcular la homología persistente, Plex ( Vin de Silva , Gunnar Carlsson ), está disponible en este sitio.
• Las implementaciones independientes en C ++ están disponibles como parte de los proyectos de software Perseus y Dionysus .

Ver también

• Homotopía simple

Referencias

enlaces externos

• Métodos topológicos en computación científica
• Homología computacional (también homología cúbica)