Conjunto semialgebraico - Semialgebraic set
En matemáticas , un conjunto semialgebraico es un subconjunto S de R n para algún campo cerrado real R (por ejemplo, R podría ser el campo de números reales ) definido por una secuencia finita de ecuaciones polinomiales (de la forma ) y desigualdades (de la forma ), o cualquier unión finita de tales conjuntos. Una función semialgebraica es una función con un gráfico semialgebraico . Estos conjuntos y funciones se estudian principalmente en geometría algebraica real, que es el marco apropiado para la geometría algebraica sobre los números reales.
Propiedades
De manera similar a las subvariedades algebraicas , las uniones finitas y las intersecciones de conjuntos semialgebraicos siguen siendo conjuntos semialgebraicos. Además, a diferencia de las subvariedades, el complemento de un conjunto semialgebraico es nuevamente semialgebraico. Finalmente, y lo más importante, el teorema de Tarski-Seidenberg dice que también están cerrados bajo la operación de proyección: en otras palabras, un conjunto semialgebraico proyectado sobre un subespacio lineal produce otro como el caso de eliminación de cuantificadores . Estas propiedades junto significa que los conjuntos semialgebraicos forman una estructura o-minimal en R .
Se dice que un conjunto semialgebraico (o función) para ser definida sobre un subanillo A de R si hay alguna descripción como en la definición, donde los polinomios puede ser elegido para tener coeficientes en A .
En un subconjunto abierto denso del conjunto semialgebraico S , es (localmente) una subvariedad . Se puede definir la dimensión de S como la dimensión más grande en los puntos en los que es una subvariedad. No es difícil ver que un conjunto semialgebraico se encuentra dentro de una subvariedad algebraica de la misma dimensión.
Ver también
Referencias
- Bochnak, J .; Coste, M .; Roy, M.-F. (1998), Geometría algebraica real , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 9783662037188.
- Bierstone, Edward; Milman, Pierre D. (1988), "Conjuntos semianalíticos y subanalíticos" , Inst. Hautes Études Sci. Publ. Matemáticas. , 67 : 5–42, doi : 10.1007 / BF02699126 , MR 0972342 , S2CID 56006439.
- van den Dries, L. (1998), topología y Tame o estructuras -Mínima , Cambridge University Press, ISBN 9780521598385.