Segunda cuantificación - Second quantization

Teoría cuántica de campos
Diagrama de Feynman
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v t mi

La segunda cuantificación , también conocida como representación del número de ocupación , es un formalismo utilizado para describir y analizar sistemas cuánticos de muchos cuerpos . En la teoría cuántica de campos , se conoce como cuantificación canónica , en la que los campos (típicamente como funciones de onda de la materia) se consideran operadores de campo , de una manera similar a cómo son las cantidades físicas (posición, momento, etc.) pensados ​​como operadores en la primera cuantificación . Las ideas clave de este método fueron introducidas en 1927 por Paul Dirac , y fueron desarrolladas, sobre todo, por Vladimir Fock y Pascual Jordan más tarde.

En este enfoque, los estados cuánticos de muchos cuerpos se representan en la base del estado de Fock , que se construye llenando cada estado de una sola partícula con un cierto número de partículas idénticas. El segundo formalismo de cuantificación introduce los operadores de creación y aniquilación para construir y manejar los estados de Fock, proporcionando herramientas útiles para el estudio de la teoría cuántica de muchos cuerpos.

Estados cuánticos de muchos cuerpos

El punto de partida del segundo formalismo de cuantificación es la noción de indistinguibilidad de partículas en la mecánica cuántica. A diferencia de la mecánica clásica, donde cada partícula está etiquetada por un vector de posición distinto y las diferentes configuraciones del conjunto de s corresponden a diferentes estados de muchos cuerpos, en la mecánica cuántica, las partículas son idénticas, de modo que el intercambio de dos partículas, es decir , no lo hace. conducir a un estado cuántico de muchos cuerpos diferente . Esto implica que la función de onda cuántica de muchos cuerpos debe ser invariante (hasta un factor de fase) bajo el intercambio de dos partículas. Según las estadísticas de las partículas, la función de onda de muchos cuerpos puede ser simétrica o antisimétrica bajo el intercambio de partículas: ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {i} \ leftrightarrow \ mathbf {r} _ {j}}$

${\ Displaystyle \ Psi _ {\ rm {B}} (\ cdots, \ mathbf {r} _ {i}, \ cdots, \ mathbf {r} _ {j}, \ cdots) = + \ Psi _ {\ rm {B}} (\ cdots, \ mathbf {r} _ {j}, \ cdots, \ mathbf {r} _ {i}, \ cdots)}$si las partículas son bosones ,

${\ Displaystyle \ Psi _ {\ rm {F}} (\ cdots, \ mathbf {r} _ {i}, \ cdots, \ mathbf {r} _ {j}, \ cdots) = - \ Psi _ {\ rm {F}} (\ cdots, \ mathbf {r} _ {j}, \ cdots, \ mathbf {r} _ {i}, \ cdots)}$si las partículas son fermiones .

Esta propiedad de simetría de intercambio impone una restricción a la función de onda de muchos cuerpos. Cada vez que se agrega o quita una partícula del sistema de muchos cuerpos, la función de onda debe estar adecuadamente simetrizada o antisimetrizada para satisfacer la restricción de simetría. En el primer formalismo de cuantificación, esta restricción está garantizada al representar la función de onda como una combinación lineal de permanentes (para bosones) o determinantes (para fermiones) de estados de una sola partícula. En el segundo formalismo de cuantificación, los operadores de creación y aniquilación se encargan automáticamente del tema de la simetrización, de modo que su notación puede ser mucho más simple.

Función de onda de muchos cuerpos cuantificada por primera vez

Considere un conjunto completo de funciones de onda de una sola partícula etiquetadas por (que puede ser un índice combinado de varios números cuánticos). La siguiente función de onda ${\ Displaystyle \ psi _ {\ alpha} (\ mathbf {r})}$${\ Displaystyle \ alpha}$

${\ Displaystyle \ Psi [\ mathbf {r} _ {i}] = \ prod _ {i = 1} ^ {N} \ psi _ {\ alpha _ {i}} (\ mathbf {r} _ {i} ) \ equiv \ psi _ {\ alpha _ {1}} \ otimes \ psi _ {\ alpha _ {2}} \ otimes \ cdots \ otimes \ psi _ {\ alpha _ {N}}}$

representa un estado de N -partícula con la i- ésima partícula ocupando el estado de partícula única . En la notación abreviada, el argumento de posición de la función de onda puede omitirse y se supone que la i- ésima función de onda de una sola partícula describe el estado de la i- ésima partícula. La función de onda no se ha simétrizado ni antisimetrizado, por lo que en general no se ha calificado como función de onda de muchos cuerpos para partículas idénticas. Sin embargo, puede ser llevado a la forma symmetrized (anti-simetrizada) por los operadores para symmetrizer, y para antisymmetrizer . ${\ Displaystyle | {\ alpha _ {i}} \ rangle}$${\ Displaystyle \ Psi}$${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$

Para los bosones, la función de onda de muchos cuerpos debe estar simétrizada,

${\ Displaystyle \ Psi _ {\ rm {B}} [\ mathbf {r} _ {i}] = {\ mathcal {N}} {\ mathcal {S}} \ Psi [\ mathbf {r} _ {i }] = {\ mathcal {N}} \ sum _ {\ pi \ en S_ {N}} \ prod _ {i = 1} ^ {N} \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (i)}} (\ mathbf {r} _ {i}) = {\ mathcal {N}} \ sum _ {\ pi \ in S_ {N}} \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (1)}} \ otimes \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (2)}} \ otimes \ cdots \ otimes \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (N)}};}$

mientras que para los fermiones, la función de onda de muchos cuerpos debe ser antisimetrizada,

${\ Displaystyle \ Psi _ {\ rm {F}} [\ mathbf {r} _ {i}] = {\ mathcal {N}} {\ mathcal {A}} \ Psi [\ mathbf {r} _ {i }] = {\ mathcal {N}} \ sum _ {\ pi \ in S_ {N}} (- 1) ^ {\ pi} \ prod _ {i = 1} ^ {N} \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (i)}} (\ mathbf {r} _ {i}) = {\ mathcal {N}} \ sum _ {\ pi \ in S_ {N}} (- 1) ^ {\ pi} \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (1)}} \ otimes \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (2)}} \ otimes \ cdots \ otimes \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (N )}}.}$

Aquí hay un elemento en el grupo de permutación N -cuerpo (o grupo simétrico ) , que realiza una permutación entre las etiquetas de estado y denota el signo de permutación correspondiente . es el operador de normalización que normaliza la función de onda. (Es el operador el que aplica un factor de normalización numérico adecuado a los tensores simétricos de grado n ; consulte la siguiente sección para conocer su valor). ${\ Displaystyle \ pi}$${\ Displaystyle S_ {N}}$${\ Displaystyle \ alpha _ {i}}$${\ displaystyle (-1) ^ {\ pi}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {N}}}$

Si se organizan las funciones de onda de una sola partícula en una matriz , de modo que el elemento de la matriz fila- i columna- j sea , entonces la función de onda de muchos cuerpos del bosón se puede escribir simplemente como permanente , y la función de onda de muchos cuerpos del fermión como determinante (también conocido como determinante de Slater ). ${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle U_ {ij} = \ psi _ {\ alpha _ {j}} (\ mathbf {r} _ {i}) \ equiv \ langle \ mathbf {r} _ {i} | \ alpha _ {j} \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ Psi _ {\ rm {B}} = {\ mathcal {N}} \ operatorname {perm} U}$ ${\ Displaystyle \ Psi _ {\ rm {F}} = {\ mathcal {N}} \ operatorname {det} U}$

Estados Fock de segundo cuantificado

Las primeras funciones de onda cuantificadas implican complicados procedimientos de simetrización para describir estados de muchos cuerpos físicamente realizables porque el lenguaje de la primera cuantificación es redundante para partículas indistinguibles. En el primer lenguaje de cuantificación, el estado de muchos cuerpos se describe respondiendo a una serie de preguntas como "¿Qué partícula está en qué estado?" . Sin embargo, estas no son cuestiones físicas, porque las partículas son idénticas y es imposible saber qué partícula es cuál en primer lugar. Los estados aparentemente diferentes y en realidad son nombres redundantes del mismo estado cuántico de muchos cuerpos. Por tanto, la simetrización (o antisimetrización) debe introducirse para eliminar esta redundancia en la primera descripción de cuantificación. ${\ Displaystyle \ psi _ {1} \ otimes \ psi _ {2}}$${\ Displaystyle \ psi _ {2} \ otimes \ psi _ {1}}$

En el segundo lenguaje de cuantificación, en lugar de preguntar "cada partícula en qué estado", uno pregunta "¿Cuántas partículas hay en cada estado?" . Debido a que esta descripción no se refiere al etiquetado de partículas, no contiene información redundante y, por lo tanto, conduce a una descripción precisa y más simple del estado cuántico de muchos cuerpos. En este enfoque, el estado de muchos cuerpos se representa en la base del número de ocupación, y el estado de base está etiquetado por el conjunto de números de ocupación, denotado

${\ Displaystyle | [n _ {\ alpha}] \ rangle \ equiv | n_ {1}, n_ {2}, \ cdots, n _ {\ alpha}, \ cdots \ rangle,}$

lo que significa que hay partículas en el estado de una sola partícula (o como ). Los números de ocupación suman el número total de partículas, es decir . Para los fermiones , el número de ocupación solo puede ser 0 o 1, debido al principio de exclusión de Pauli ; mientras que para los bosones puede ser cualquier número entero no negativo ${\ Displaystyle n _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle | \ alpha \ rangle}$${\ Displaystyle \ psi _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle \ sum _ {\ alpha} n _ {\ alpha} = N}$${\ Displaystyle n _ {\ alpha}}$

${\ displaystyle n _ {\ alpha} = {\ begin {cases} 0,1 & {\ text {fermiones,}} \\ 0,1,2,3, ... & {\ text {bosones.}} \ end {casos}}}$

Los estados de número de ocupación también se conocen como estados de Fock. Todos los estados de Fock forman una base completa del espacio de Hilbert de muchos cuerpos, o espacio de Fock . Cualquier estado cuántico genérico de muchos cuerpos se puede expresar como una combinación lineal de estados de Fock. ${\ Displaystyle | [n _ {\ alpha}] \ rangle}$

Tenga en cuenta que además de proporcionar un lenguaje más eficiente, el espacio Fock permite un número variable de partículas. Como espacio de Hilbert , es isomorfo a la suma de los espacios tensoriales bosónicos o fermiónicos de n partículas descritos en la sección anterior, incluido un espacio unidimensional de partículas cero ℂ.

El estado de Fock con todos los números de ocupación iguales a cero se denomina estado de vacío , denotado . El estado de Fock con un solo número de ocupación distinto de cero es un estado de Fock monomodo, denotado . En términos de la primera función de onda cuantificada, el estado de vacío es el producto del tensor unitario y se puede denotar . El estado de una sola partícula se reduce a su función de onda . Otros estados monomodo de muchos cuerpos (bosones) son solo el producto tensorial de la función de onda de ese modo, como y . Para estados Fock multimodo (lo que significa que está involucrado más de un estado de una sola partícula ), la función de onda correspondiente en la primera cuantificación requerirá una simetrización adecuada de acuerdo con las estadísticas de partículas, por ejemplo, para un estado de bosón y para un estado de fermión (el símbolo entre y se omite por simplicidad). En general, se encuentra que la normalización es donde N es el número total de partículas. Para el fermión, esta expresión se reduce a como solo puede ser cero o uno. Entonces, la primera función de onda cuantificada correspondiente al estado de Fock dice ${\ Displaystyle | 0 \ rangle \ equiv | \ cdots, 0 _ {\ alpha}, \ cdots \ rangle}$${\ Displaystyle | n _ {\ alpha} \ rangle \ equiv | \ cdots, 0, n _ {\ alpha}, 0, \ cdots \ rangle}$${\ Displaystyle | 0 \ rangle = 1}$${\ Displaystyle | 1 _ {\ alpha} \ rangle = \ psi _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle | 2 _ {\ alpha} \ rangle = \ psi _ {\ alpha} \ otimes \ psi _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle | n _ {\ alpha} \ rangle = \ psi _ {\ alpha} ^ {\ otimes n}}$${\ Displaystyle | \ alpha \ rangle}$${\ Displaystyle | 1_ {1}, 1_ {2} \ rangle = (\ psi _ {1} \ psi _ {2} + \ psi _ {2} \ psi _ {1}) / {\ sqrt {2} }}$${\ Displaystyle | 1_ {1}, 1_ {2} \ rangle = (\ psi _ {1} \ psi _ {2} - \ psi _ {2} \ psi _ {1}) / {\ sqrt {2} }}$${\ Displaystyle \ otimes}$${\ Displaystyle \ psi _ {1}}$${\ Displaystyle \ psi _ {2}}$${\ Displaystyle {\ sqrt {\ tfrac {\ prod _ {\ alpha} n _ {\ alpha}!} {N!}}}}$${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {\ sqrt {N!}}}}$${\ Displaystyle n _ {\ alpha}}$

${\ Displaystyle | [n _ {\ alpha}] \ rangle _ {\ rm {B}} = \ left ({\ frac {\ prod _ {\ alpha} n _ {\ alpha}!} {N!}} \ right ) ^ {1/2} {\ mathcal {S}} \ fanatismos \ límites _ {\ alpha} \ psi _ {\ alpha} ^ {\ otimes n _ {\ alpha}}}$

para bosones y

${\ Displaystyle | [n _ {\ alpha}] \ rangle _ {\ rm {F}} = {\ frac {1} {\ sqrt {N!}}} {\ mathcal {A}} \ fanatismos \ límites _ { \ alpha} \ psi _ {\ alpha} ^ {\ otimes n _ {\ alpha}}}$

para fermiones. Tenga en cuenta que solo para fermiones, por lo que el producto tensorial anterior es efectivamente solo un producto sobre todos los estados ocupados de una sola partícula. ${\ Displaystyle n _ {\ alpha} = 0,1}$

Operadores de creación y aniquilación

Los operadores de creación y aniquilación se introducen para agregar o eliminar una partícula del sistema de muchos cuerpos. Estos operadores se encuentran en el núcleo del segundo formalismo de cuantificación, cerrando la brecha entre el primer y el segundo estado cuantificado. Al aplicar el operador de creación (aniquilación) a una función de onda de muchos cuerpos cuantificada por primera vez, se insertará (eliminará) un estado de una sola partícula de la función de onda de forma simétrica según las estadísticas de las partículas. Por otro lado, todos los estados de Fock cuantificados en segundo lugar se pueden construir aplicando los operadores de creación al estado de vacío repetidamente.

Los operadores de creación y aniquilación (para bosones) se construyen originalmente en el contexto del oscilador armónico cuántico como los operadores de subida y bajada, que luego se generalizan a los operadores de campo en la teoría cuántica de campos. Son fundamentales para la teoría cuántica de muchos cuerpos, en el sentido de que cada operador de muchos cuerpos (incluido el hamiltoniano del sistema de muchos cuerpos y todos los observables físicos) puede expresarse en términos de ellos.

Operación de inserción y eliminación

La creación y aniquilación de una partícula se implementa mediante la inserción y eliminación del estado de una sola partícula de la primera función de onda cuantificada de manera simétrica o antisimétrica. Sea un estado de una sola partícula, sea 1 la identidad del tensor (es el generador del espacio de partículas cero ℂ y satisface en el álgebra tensorial sobre el espacio fundamental de Hilbert), y sea ​​un estado genérico del producto tensorial. Los operadores de inserción y eliminación son operadores lineales definidos por las siguientes ecuaciones recursivas ${\ Displaystyle \ psi _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle \ psi _ {\ alpha} \ equiv 1 \ otimes \ psi _ {\ alpha} \ equiv \ psi _ {\ alpha} \ otimes 1}$${\ Displaystyle \ Psi = \ psi _ {\ alpha _ {1}} \ otimes \ psi _ {\ alpha _ {2}} \ otimes \ cdots}$${\ Displaystyle \ otimes _ {\ pm}}$${\ Displaystyle \ oslash _ {\ pm}}$

${\ Displaystyle \ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {\ pm} 1 = \ psi _ {\ alpha}, \ quad \ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {\ pm} (\ psi _ {\ beta } \ otimes \ Psi) = \ psi _ {\ alpha} \ otimes \ psi _ {\ beta} \ otimes \ Psi \ pm \ psi _ {\ beta} \ otimes (\ psi _ {\ alpha} \ otimes _ { \ pm} \ Psi);}$

${\ Displaystyle \ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {\ pm} 1 = 0, \ quad \ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {\ pm} (\ psi _ {\ beta} \ otimes \ Psi) = \ delta _ {\ alpha \ beta} \ Psi \ pm \ psi _ {\ beta} \ otimes (\ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {\ pm} \ Psi).}$

Aquí está el símbolo delta de Kronecker , que da 1 si y 0 en caso contrario. El subíndice de los operadores de inserción o eliminación indica si se implementa la simetrización (para bosones) o antisimetrización (para fermiones). ${\ Displaystyle \ delta _ {\ alpha \ beta}}$${\ Displaystyle \ alpha = \ beta}$${\ Displaystyle \ pm}$

Operadores de creación y aniquilación de bosones

El operador de creación de bosones (resp. Aniquilación) generalmente se denota como (resp. ). El operador de creación agrega un bosón al estado de una sola partícula y el operador de aniquilación elimina un bosón del estado de una sola partícula . Los operadores de creación y aniquilación son hermitianos conjugados entre sí, pero ninguno de ellos es operador hermitiano ( ). ${\ Displaystyle b _ {\ alpha} ^ {\ dagger}}$${\ Displaystyle b _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle b _ {\ alpha} ^ {\ dagger}}$${\ Displaystyle | \ alpha \ rangle}$${\ Displaystyle b _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle | \ alpha \ rangle}$${\ Displaystyle b _ {\ alpha} \ neq b _ {\ alpha} ^ {\ dagger}}$

Definición

El operador de creación de bosones (aniquilación) es un operador lineal, cuya acción sobre una función de onda cuantificada por primera vez de partículas N se define como ${\ Displaystyle \ Psi}$

${\ Displaystyle b _ {\ alpha} ^ {\ dagger} \ Psi = {\ frac {1} {\ sqrt {N + 1}}} \ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {+} \ Psi,}$

${\ Displaystyle b _ {\ alpha} \ Psi = {\ frac {1} {\ sqrt {N}}} \ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {+} \ Psi,}$

donde inserta el estado de una sola partícula en posibles posiciones de inserción simétricamente, y elimina el estado de una sola partícula de las posibles posiciones de eliminación simétricamente. ${\ Displaystyle \ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {+}}$${\ Displaystyle \ psi _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle N + 1}$${\ Displaystyle \ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {+}}$${\ Displaystyle \ psi _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle N}$

Acción en los estados de Fock

Comenzando desde el estado de vacío monomodo , aplicando el operador de creación repetidamente, uno encuentra ${\ Displaystyle | 0 _ {\ alpha} \ rangle = 1}$${\ Displaystyle b _ {\ alpha} ^ {\ dagger}}$

${\ Displaystyle b _ {\ alpha} ^ {\ dagger} | 0 _ {\ alpha} \ rangle = \ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {+} 1 = \ psi _ {\ alpha} = | 1 _ {\ alpha } \ rangle,}$

${\ Displaystyle b _ {\ alpha} ^ {\ dagger} | n _ {\ alpha} \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {n _ {\ alpha} +1}}} \ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {+} \ psi _ {\ alpha} ^ {\ otimes n _ {\ alpha}} = {\ sqrt {n _ {\ alpha} +1}} \ psi _ {\ alpha} ^ {\ otimes (n_ { \ alpha} +1)} = {\ sqrt {n _ {\ alpha} +1}} | n _ {\ alpha} +1 \ rangle.}$

El operador de creación eleva el número de ocupación del bosón en 1. Por lo tanto, el operador de creación del bosón puede construir todos los estados del número de ocupación a partir del estado de vacío.

${\ Displaystyle | n _ {\ alpha} \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {n _ {\ alpha}!}}} (b _ {\ alpha} ^ {\ dagger}) ^ {n _ {\ alpha} } | 0 _ {\ alpha} \ rangle.}$

Por otro lado, el operador de aniquilación reduce el número de ocupación del bosón en 1 ${\ Displaystyle b _ {\ alpha}}$

${\ Displaystyle b _ {\ alpha} | n _ {\ alpha} \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {n _ {\ alpha}}}} \ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {+} \ psi _ {\ alpha} ^ {\ otimes n _ {\ alpha}} = {\ sqrt {n _ {\ alpha}}} \ psi _ {\ alpha} ^ {\ otimes (n _ {\ alpha} -1)} = { \ sqrt {n _ {\ alpha}}} | n _ {\ alpha} -1 \ rangle.}$

También apagará el estado de vacío ya que no ha quedado ningún bosón en el estado de vacío para ser aniquilado. Usando las fórmulas anteriores, se puede demostrar que ${\ Displaystyle b _ {\ alpha} | 0 _ {\ alpha} \ rangle = 0}$

${\ Displaystyle b _ {\ alpha} ^ {\ dagger} b _ {\ alpha} | n _ {\ alpha} \ rangle = n _ {\ alpha} | n _ {\ alpha} \ rangle,}$

lo que significa que define el operador del número de bosón. ${\ Displaystyle {\ hat {n}} _ {\ alpha} = b _ {\ alpha} ^ {\ dagger} b _ {\ alpha}}$

El resultado anterior se puede generalizar a cualquier estado de bosones de Fock.

${\ Displaystyle b _ {\ alpha} ^ {\ dagger} | \ cdots, n _ {\ beta}, n _ {\ alpha}, n _ {\ gamma}, \ cdots \ rangle = {\ sqrt {n _ {\ alpha} + 1}} | \ cdots, n _ {\ beta}, n _ {\ alpha} + 1, n _ {\ gamma}, \ cdots \ rangle.}$

${\ Displaystyle b _ {\ alpha} | \ cdots, n _ {\ beta}, n _ {\ alpha}, n _ {\ gamma}, \ cdots \ rangle = {\ sqrt {n _ {\ alpha}}} | \ cdots, n _ {\ beta}, n _ {\ alpha} -1, n _ {\ gamma}, \ cdots \ rangle.}$

Estas dos ecuaciones pueden considerarse como las propiedades definitorias de los operadores de creación y aniquilación de bosones en el formalismo de segunda cuantificación. Los operadores de creación y aniquilación (cuando actúan sobre la primera función de onda cuantificada) se encargan automáticamente de la complicada simetrización de la función de onda subyacente de la primera cuantificación, de modo que la complejidad no se revela en el segundo nivel cuantificado, y el Las fórmulas de segunda cuantificación son simples y ordenadas.

Identidades del operador

Las siguientes identidades de operador se derivan de la acción de los operadores de creación y aniquilación de bosones en el estado de Fock,

${\ Displaystyle [b _ {\ alpha} ^ {\ dagger}, b _ {\ beta} ^ {\ dagger}] = [b _ {\ alpha}, b _ {\ beta}] = 0, \ quad [b _ {\ alpha }, b _ {\ beta} ^ {\ dagger}] = \ delta _ {\ alpha \ beta}.}$

Estas relaciones de conmutación pueden considerarse como la definición algebraica de los operadores de creación y aniquilación de bosones. El hecho de que la función de onda de muchos cuerpos del bosón sea simétrica bajo el intercambio de partículas también se manifiesta por la conmutación de los operadores del bosón.

Los operadores de subida y bajada del oscilador armónico cuántico también satisfacen el mismo conjunto de relaciones de conmutación, lo que implica que los bosones pueden interpretarse como cuantos de energía (fonones) de un oscilador. Los operadores de posición y momento de un oscilador armónico (o una colección de modos oscilantes armónicos) vienen dados por combinaciones hermitianas de operadores de creación y aniquilación de fonones,

${\ Displaystyle x _ {\ alpha} = (b _ {\ alpha} + b _ {\ alpha} ^ {\ dagger}) / {\ sqrt {2}}, \ quad p _ {\ alpha} = (b _ {\ alpha} -b _ {\ alpha} ^ {\ dagger}) / ({\ sqrt {2}} \ mathrm {i}),}$

que reproducen la relación de conmutación canónica entre los operadores de posición y momento (con $ \ hbar = 1 $)

${\ Displaystyle [x _ {\ alpha}, p _ {\ beta}] = \ mathrm {i} \ delta _ {\ alpha \ beta}, \ quad [x _ {\ alpha}, x _ {\ beta}] = [p_ {\ alpha}, p _ {\ beta}] = 0.}$

Esta idea se generaliza en la teoría cuántica del campo , que considera cada modo del campo de materia como un oscilador sujeto a fluctuaciones cuánticas, y los bosones se tratan como las excitaciones (o cuantos de energía) del campo.

Operadores de creación y aniquilación de fermiones

El operador de creación (aniquilación) del fermión generalmente se denota como ( ). El operador de creación agrega un fermión al estado de una sola partícula y el operador de aniquilación elimina un fermión del estado de una sola partícula . ${\ Displaystyle c _ {\ alpha} ^ {\ dagger}}$${\ Displaystyle c _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle c _ {\ alpha} ^ {\ dagger}}$${\ Displaystyle | \ alpha \ rangle}$${\ Displaystyle c _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle | \ alpha \ rangle}$

Definición

El operador de creación (aniquilación) de fermiones es un operador lineal, cuya acción sobre una función de onda cuantificada por primera vez de partículas N se define como ${\ Displaystyle \ Psi}$

${\ Displaystyle c _ {\ alpha} ^ {\ dagger} \ Psi = {\ frac {1} {\ sqrt {N + 1}}} \ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {-} \ Psi,}$

${\ Displaystyle c _ {\ alpha} \ Psi = {\ frac {1} {\ sqrt {N}}} \ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {-} \ Psi,}$

donde inserta el estado de una sola partícula en posibles posiciones de inserción de forma antisimétrica, y elimina el estado de una sola partícula de las posibles posiciones de eliminación de forma antisimétrica. ${\ Displaystyle \ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {-}}$${\ Displaystyle \ psi _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle N + 1}$${\ Displaystyle \ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {-}}$${\ Displaystyle \ psi _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle N}$

Acción en los estados de Fock

Comenzando desde el estado de vacío monomodo , aplicando el operador de creación de fermiones , ${\ Displaystyle | 0 _ {\ alpha} \ rangle = 1}$${\ Displaystyle c _ {\ alpha} ^ {\ dagger}}$

${\ Displaystyle c _ {\ alpha} ^ {\ dagger} | 0 _ {\ alpha} \ rangle = \ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {-} 1 = \ psi _ {\ alpha} = | 1 _ {\ alpha } \ rangle,}$

${\ Displaystyle c _ {\ alpha} ^ {\ dagger} | 1 _ {\ alpha} \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {-} \ psi _ {\ alpha} = 0.}$

Si el estado de una sola partícula está vacío, el operador de creación llenará el estado con un fermión. Sin embargo, si el estado ya está ocupado por un fermión, la aplicación adicional del operador de creación apagará el estado, demostrando el principio de exclusión de Pauli de que dos fermiones idénticos no pueden ocupar el mismo estado simultáneamente. Sin embargo, el fermión puede ser removido del estado ocupado por el operador de aniquilación del fermión , ${\ Displaystyle | \ alpha \ rangle}$${\ Displaystyle c _ {\ alpha}}$

${\ Displaystyle c _ {\ alpha} | 1 _ {\ alpha} \ rangle = \ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {-} \ psi _ {\ alpha} = 1 = | 0 _ {\ alpha} \ rangle,}$

${\ Displaystyle c _ {\ alpha} | 0 _ {\ alpha} \ rangle = 0.}$

El estado de vacío se apaga mediante la acción del operador de aniquilación.

Al igual que en el caso del bosón, el estado de Fock del fermión se puede construir a partir del estado de vacío utilizando el operador de creación de fermiones.

${\ Displaystyle | n _ {\ alpha} \ rangle = (c _ {\ alpha} ^ {\ dagger}) ^ {n _ {\ alpha}} | 0 _ {\ alpha} \ rangle.}$

Es fácil comprobar (por enumeración) que

${\ Displaystyle c _ {\ alpha} ^ {\ dagger} c _ {\ alpha} | n _ {\ alpha} \ rangle = n _ {\ alpha} | n _ {\ alpha} \ rangle,}$

lo que significa que define el operador del número de fermiones. ${\ Displaystyle {\ hat {n}} _ {\ alpha} = c _ {\ alpha} ^ {\ dagger} c _ {\ alpha}}$

El resultado anterior se puede generalizar a cualquier estado de fermiones de Fock.

${\ Displaystyle c _ {\ alpha} ^ {\ dagger} | \ cdots, n _ {\ beta}, n _ {\ alpha}, n _ {\ gamma}, \ cdots \ rangle = (- 1) ^ {\ sum _ { \ beta <\ alpha} n _ {\ beta}} {\ sqrt {1-n _ {\ alpha}}} | \ cdots, n _ {\ beta}, 1-n _ {\ alpha}, n _ {\ gamma}, \ cdots \ rangle.}$

${\ Displaystyle c _ {\ alpha} | \ cdots, n _ {\ beta}, n _ {\ alpha}, n _ {\ gamma}, \ cdots \ rangle = (- 1) ^ {\ sum _ {\ beta <\ alpha } n _ {\ beta}} {\ sqrt {n _ {\ alpha}}} | \ cdots, n _ {\ beta}, 1-n _ {\ alpha}, n _ {\ gamma}, \ cdots \ rangle.}$

Recuerde que el número de ocupación solo puede tomar 0 o 1 para fermiones. Estas dos ecuaciones pueden considerarse como las propiedades definitorias de los operadores de creación y aniquilación de fermiones en el segundo formalismo de cuantificación. Tenga en cuenta que la estructura del signo del fermión , también conocida como cuerda de Jordan-Wigner , requiere que exista un orden predefinido de los estados de una sola partícula (la estructura de espín ) e implica un recuento de los números de ocupación del fermión de todos los estados anteriores; por lo tanto, los operadores de creación y aniquilación de fermiones se consideran no locales en cierto sentido. Esta observación lleva a la idea de que los fermiones son partículas emergentes en el sistema de qubit locales entrelazados de largo alcance . ${\ Displaystyle n _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle (-1) ^ {\ sum _ {\ beta <\ alpha} n _ {\ beta}}}$

Identidades del operador

Las siguientes identidades de operador se derivan de la acción de los operadores de creación y aniquilación de fermiones en el estado de Fock,

${\ Displaystyle \ {c _ {\ alpha} ^ {\ dagger}, c _ {\ beta} ^ {\ dagger} \} = \ {c _ {\ alpha}, c _ {\ beta} \} = 0, \ quad \ {c _ {\ alpha}, c _ {\ beta} ^ {\ dagger} \} = \ delta _ {\ alpha \ beta}.}$

Estas relaciones anti-conmutación pueden considerarse como la definición algebraica de los operadores de creación y aniquilación de fermiones. El hecho de que la función de onda de muchos cuerpos del fermión sea antisimétrica bajo el intercambio de partículas también se manifiesta por la anti-conmutación de los operadores del fermión.

Los operadores de creación y aniquilación son hermitianos conjugados entre sí, pero ninguno de ellos es operador hermitiano ( ). La combinación hermitiana de los operadores de creación y aniquilación de fermiones ${\ Displaystyle c _ {\ alpha} \ neq c _ {\ alpha} ^ {\ dagger}}$

${\ Displaystyle \ chi _ {\ alpha, {\ text {Re}}} = (c _ {\ alpha} + c _ {\ alpha} ^ {\ dagger}) / {\ sqrt {2}}, \ quad \ chi _ {\ alpha, {\ text {Im}}} = (c _ {\ alpha} -c _ {\ alpha} ^ {\ dagger}) / ({\ sqrt {2}} \ mathrm {i}),}$

se denominan operadores de fermiones de Majorana . Pueden verse como el análogo fermiónico de los operadores de posición y momento de un oscilador armónico "fermiónico". Satisfacen la relación de anticonmutación.

${\ Displaystyle \ {\ chi _ {i}, \ chi _ {j} \} = \ delta _ {ij},}$

donde etiqueta a todos los operadores de fermiones de Majorana en pie de igualdad (independientemente de su origen de la combinación Re o Im de operadores de fermiones complejos ). La relación de anticonmutación indica que los operadores de fermiones de Majorana generan un álgebra de Clifford , que se puede representar sistemáticamente como operadores de Pauli en el espacio de Hilbert de muchos cuerpos. ${\ Displaystyle i, j}$${\ Displaystyle c _ {\ alpha}}$

Operadores de campo cuántico

Definiéndose como un operador de aniquilación (creación) general para un estado de una sola partícula que podría ser fermiónico o bosónico , la representación en el espacio real de los operadores define los operadores de campo cuántico y por ${\ Displaystyle a _ {\ nu} ^ {\ dagger}}$${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle (c _ {\ nu} ^ {\ dagger})}$${\ Displaystyle (b _ {\ nu} ^ {\ dagger})}$ ${\ Displaystyle \ Psi (\ mathbf {r})}$${\ Displaystyle \ Psi ^ {\ dagger} (\ mathbf {r})}$

${\ Displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}) = \ sum _ {\ nu} \ psi _ {\ nu} \ left (\ mathbf {r} \ right) a _ {\ nu}}$

${\ Displaystyle \ Psi ^ {\ dagger} (\ mathbf {r}) = \ sum _ {\ nu} \ psi _ {\ nu} ^ {*} \ left (\ mathbf {r} \ right) a _ {\ nu} ^ {\ daga}}$

Estos son segundos operadores de cuantificación, con coeficientes y que son funciones de onda ordinarias de primera cuantificación . Así, por ejemplo, los valores esperados serán funciones de onda ordinarias de primera cuantificación. En términos generales, es la suma de todas las formas posibles de agregar una partícula al sistema en la posición r a través de cualquiera de los estados básicos , no necesariamente ondas planas, como se muestra a continuación. ${\ Displaystyle \ psi _ {\ nu} \ left (\ mathbf {r} \ right)}$${\ Displaystyle \ psi _ {\ nu} ^ {*} \ left (\ mathbf {r} \ right)}$ ${\ Displaystyle \ Psi ^ {\ dagger} (\ mathbf {r})}$${\ Displaystyle \ psi _ {\ nu} \ left (\ mathbf {r} \ right)}$

Dado que y son segundos operadores de cuantificación definidos en cada punto del espacio, se denominan operadores de campo cuántico . Obedecen las siguientes relaciones fundamentales de conmutador y anticonmutador, ${\ Displaystyle \ Psi (\ mathbf {r})}$${\ Displaystyle \ Psi ^ {\ dagger} (\ mathbf {r})}$

${\ Displaystyle \ left [\ Psi (\ mathbf {r} _ {1}), \ Psi ^ {\ dagger} (\ mathbf {r} _ {2}) \ right] = \ delta (\ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2})}$ campos de bosones,

${\ Displaystyle \ {\ Psi (\ mathbf {r} _ {1}), \ Psi ^ {\ dagger} (\ mathbf {r} _ {2}) \} = \ delta (\ mathbf {r} _ { 1} - \ mathbf {r} _ {2})}$ campos de fermiones.

Para sistemas homogéneos, a menudo es deseable transformar entre el espacio real y las representaciones de momento, por lo tanto, los operadores de campos cuánticos en base de Fourier dan como resultado:

${\ Displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}) = {1 \ over {\ sqrt {V}}} \ sum _ {\ mathbf {k}} e ^ {i \ mathbf {k \ cdot r}} a_ { \ mathbf {k}}}$

${\ Displaystyle \ Psi ^ {\ dagger} (\ mathbf {r}) = {1 \ over {\ sqrt {V}}} \ sum _ {\ mathbf {k}} e ^ {- i \ mathbf {k \ cdot r}} a _ {\ mathbf {k}} ^ {\ dagger}}$

Comentar la nomenclatura

El término "segunda cuantificación", introducido por Jordan, es un nombre inapropiado que ha persistido por razones históricas. En el origen de la teoría cuántica de campos, se pensó inapropiadamente que la ecuación de Dirac describía una función de onda relativista (de ahí la obsoleta interpretación del "mar de Dirac"), en lugar de un campo de espinor clásico que, cuando se cuantifica (como el campo escalar), produce una campo cuántico fermiónico (frente a un campo cuántico bosónico).

Uno no está cuantificando "de nuevo", como podría sugerir el término "segundo"; El campo que se cuantifica no es una función de onda de Schrödinger que se produjo como resultado de la cuantificación de una partícula, sino que es un campo clásico (como el campo electromagnético o el campo de espinor de Dirac ), esencialmente un conjunto de osciladores acoplados, que no fue previamente cuantificado. Uno simplemente está cuantificando cada oscilador en este ensamblaje, pasando de un tratamiento semiclásico del sistema a uno completamente mecánico-cuántico.

Ver también

• Cuantización canónica
• Primera cuantificación
• Cuantización geométrica
• Cuantización (física)
• Schrödinger funcional

Referencias

Otras lecturas

• Segunda cuantificación Carlo Maria Becchi, Scholarpedia , 5 (6): 7902. doi: 10.4249 / scholarpedia.7902

enlaces externos

• Estados de muchos electrones en E. Pavarini, E. Koch y U. Schollwöck: fenómenos emergentes en materia correlacionada, Jülich 2013, ISBN  978-3-89336-884-6