Teorema de Riesz-Fischer - Riesz–Fischer theorem

En matemáticas , el teorema de Riesz-Fischer en análisis real es cualquiera de una serie de resultados estrechamente relacionados con respecto a las propiedades del espacio L ² de funciones cuadradas integrables . El teorema fue probado de forma independiente en 1907 por Frigyes Riesz y Ernst Sigismund Fischer .

Para muchos autores, el teorema de Riesz-Fischer se refiere al hecho de que los espacios Lp de la teoría de integración de Lebesgue están completos . ${\ Displaystyle L ^ {p}}$

Formas modernas del teorema

La forma más común del teorema establece que una función medible en es cuadrado integrable si y solo si la correspondiente serie de Fourier converge en el espacio Lp Esto significa que si la N- ésima suma parcial de la serie de Fourier correspondiente a una función cuadrada integrable f es dado por ${\ Displaystyle [- \ pi, \ pi]}$ ${\ Displaystyle L ^ {2}.}$

{\ Displaystyle S_ {N} f (x) = \ sum _ {n = -N} ^ {N} F_ {n} \, \ mathrm {e} ^ {inx},}

donde el n- ésimo coeficiente de Fourier , está dado por

{\ Displaystyle F_ {n},}

{\ Displaystyle F_ {n} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) \, \ mathrm {e} ^ {- inx} \ , \ mathrm {d} x,}

luego

{\ Displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} \ left \ Vert S_ {N} ff \ right \ | _ {2} = 0,}

donde es la - norma .

{\ Displaystyle \ | \, \ cdot \, \ | _ {2}}

{\ Displaystyle L ^ {2}}

Por el contrario, si es una

secuencia de dos lados de números complejos (es decir, sus índices van desde el infinito negativo al infinito positivo) tal que

{\ Displaystyle \ {a_ {n} \} \,}

{\ Displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ left | a_ {n} \ right \ vert ^ {2} <\ infty,}

entonces existe una función f tal que f es integrable al cuadrado y los valores son los coeficientes de Fourier de f .

{\ Displaystyle a_ {n}}

Esta forma del teorema de Riesz-Fischer es una forma más fuerte de la desigualdad de

Bessel y puede usarse para probar la identidad de Parseval para las series de Fourier .

Otros resultados se denominan a menudo teorema de Riesz-Fischer ( Dunford & Schwartz 1958 , §IV.16). Entre ellos se encuentra el teorema de que, si A es un conjunto ortonormal en un espacio de Hilbert H , entonces ${\ Displaystyle x \ in H,}$

{\ Displaystyle \ langle x, y \ rangle = 0}

para todos, pero contablemente muchos y

{\ Displaystyle y \ in A,}

{\ Displaystyle \ sum _ {y \ in A} | \ langle x, y \ rangle | ^ {2} \ leq \ | x \ | ^ {2}.}

Además, si A es una base ortonormal para H y x un vector arbitrario, la serie

{\ Displaystyle \ sum _ {y \ in A} \ langle x, y \ rangle \, y}

converge conmutativamente (o incondicionalmente ) a x . Esto equivale a decir que para todo existe un conjunto finito en A tal que

{\ Displaystyle \ varepsilon> 0,}

{\ Displaystyle B_ {0}}

{\ Displaystyle \ | x- \ sum _ {y \ in B} \ langle x, y \ rangle y \ | <\ varepsilon}

para cada conjunto finito B que contenga B ₀ . Además, las siguientes condiciones en el conjunto A son equivalentes:

el conjunto A es una base ortonormal de H
para cada vector ${\ Displaystyle x \ in H,}$

{\ Displaystyle \ | x \ | ^ {2} = \ sum _ {y \ in A} | \ langle x, y \ rangle | ^ {2}.}

Otro resultado, que a veces también lleva el nombre de Riesz y Fischer, es el teorema de que (o de manera más general ) está

completo .

{\ Displaystyle L ^ {2}}

{\ Displaystyle L ^ {p}, 0 <p \ leq \ infty}

Ejemplo

El teorema de Riesz-Fischer también se aplica en un contexto más general. Sea R un espacio de producto interno que consta de funciones (por ejemplo, funciones medibles en la línea, funciones analíticas en el disco unitario; en la literatura antigua, a veces llamado espacio euclidiano), y sea un sistema ortonormal en

R (p. Ej., Base de Fourier, Polinomios de Hermite o Laguerre , etc. - ver polinomios ortogonales ), no necesariamente completo (en un espacio de producto interno, un conjunto ortonormal está completo si ningún vector distinto de cero es ortogonal a todos los vectores del conjunto). El teorema afirma que si el espacio normado R es completa (por lo tanto R es un espacio de Hilbert ), entonces cualquier secuencia que tiene finito norma define una función f en el espacio R .

{\ Displaystyle \ {\ varphi _ {n} \}}

{\ Displaystyle \ {c_ {n} \}}

{\ Displaystyle \ ell ^ {2}}

La función f está definida por límite en

R -norm.

{\ Displaystyle f = \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {k = 0} ^ {n} c_ {k} \ varphi _ {k},}

Combinado con la desigualdad de Bessel , también sabemos lo contrario: si f es una función en R , entonces los coeficientes de Fourier tienen una

norma finita .

{\ Displaystyle (f, \ varphi _ {n})}

{\ Displaystyle \ ell ^ {2}}

Historia: la nota de Riesz y la nota de Fischer (1907)

En su Nota, Riesz (1907 , p. 616) establece el siguiente resultado (traducido aquí al lenguaje moderno en un momento: la notación no se usó en 1907). ${\ Displaystyle L ^ {2} ([a, b])}$

Sea un sistema ortonormal y una secuencia de reales. La convergencia de la serie es condición necesaria y suficiente para la existencia de una función f tal que

{\ Displaystyle \ left \ {\ varphi _ {n} \ right \}}

{\ Displaystyle L ^ {2} ([a, b])}

{\ Displaystyle \ left \ {a_ {n} \ right \}}

${\ Displaystyle \ sum a_ {n} ^ {2}}$

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \ varphi _ {n} (x) \, \ mathrm {d} x = a_ {n} \ quad {\ text {para cada}} n .}

Hoy, este resultado de Riesz es un caso especial de hechos básicos sobre series de vectores ortogonales en espacios de Hilbert.

La nota de Riesz apareció en marzo. En mayo, Fischer (1907 , p. 1023) afirma explícitamente en un teorema (casi con palabras modernas) de que una sucesión de Cauchy en converge en -norma a alguna función en esta nota, secuencias de Cauchy se denominan "

secuencias que convergen en la media " y se denota por Además, la convergencia a un límite en –norm se denomina " convergencia en la media hacia una función ". Aquí está la declaración, traducida del francés:

{\ Displaystyle L ^ {2} ([a, b])}

{\ Displaystyle L ^ {2}}

{\ Displaystyle f \ in L ^ {2} ([a, b]).}

{\ Displaystyle L ^ {2} ([a, b])}

{\ Displaystyle \ Omega.}

{\ Displaystyle L ^ {2}}

Teorema. Si una secuencia de funciones pertenecientes a converge en la media, existe en una función f hacia la cual la secuencia converge en la media. ${\ Displaystyle \ Omega}$ ${\ Displaystyle \ Omega}$

Fischer continúa demostrando el resultado anterior de Riesz, como consecuencia de la ortogonalidad del sistema y de la completitud de ${\ Displaystyle L ^ {2}.}$

La prueba de integridad de Fischer es algo indirecta. Utiliza el hecho de que las integrales indefinidas de las funciones g _n en la secuencia de Cauchy dada, a saber

{\ Displaystyle G_ {n} (x) = \ int _ {a} ^ {x} g_ {n} (t) \, \ mathrm {d} t,}

convergen uniformemente en alguna función G , continua con variación acotada. La existencia del límite para la secuencia de Cauchy se obtiene aplicando a G los teoremas de diferenciación de la teoría de Lebesgue. Riesz usa un razonamiento similar en su Nota, pero no hace mención explícita a la integridad de aunque su resultado puede interpretarse de esta manera. Dice que al integrar término por término una serie trigonométrica con coeficientes cuadráticos sumables dados, obtiene una serie que converge uniformemente a una función continua F con variación acotada. La derivada f de F , definida casi en todas partes, es sumable al cuadrado y tiene para los coeficientes de Fourier los coeficientes dados.

{\ Displaystyle [a, b]}

{\ Displaystyle g \ en L ^ {2}}

{\ Displaystyle L ^ {2},}

Integridad de L ^p , 0 < p ≤ ∞

Para algunos autores, notablemente Royden, el teorema de Riesz-Fischer es el resultado que es

completo : que cada secuencia de funciones de Cauchy en converge a una función en bajo la métrica inducida por la norma p . La siguiente demostración se basa en los teoremas de convergencia para la integral de Lebesgue ; El resultado también se puede obtener mostrando que cada secuencia de Cauchy tiene una subsecuencia de Cauchy que converge rápidamente, que cada secuencia de Cauchy con una subsecuencia convergente converge y que cada secuencia de Cauchy rápidamente en converge en

{\ Displaystyle L ^ {p}}

{\ Displaystyle L ^ {p}}

{\ Displaystyle L ^ {p},}

{\ Displaystyle p \ in [1, \ infty]}

{\ Displaystyle L ^ {p}}

{\ Displaystyle L ^ {p}.}

Cuando la

desigualdad de Minkowski implica que el espacio Lp es un espacio normado. Para probar que está completo, es decir, que es un espacio de Banach , es suficiente (ver, por ejemplo, espacio de Banach # Definición ) para probar que toda serie de funciones en tal que

{\ Displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty,}

{\ Displaystyle L ^ {p}}

{\ Displaystyle L ^ {p}}

{\ Displaystyle L ^ {p}}

{\ Displaystyle \ sum u_ {n}}

{\ Displaystyle L ^ {p} (\ mu)}

{\ Displaystyle \ sum \ | u_ {n} \ | _ {p} <\ infty}

converge en la norma-a alguna función Para la desigualdad de Minkowski y el teorema de convergencia monótona implican que

{\ Displaystyle L ^ {p}}

{\ Displaystyle f \ in L ^ {p} (\ mu).}

{\ Displaystyle p <\ infty,}

{\ Displaystyle \ int \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} | u_ {n} | \ right) ^ {p} \, \ mathrm {d} \ mu \ leq \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ | u_ {n} \ | _ {p} \ right) ^ {p} <\ infty, \ \ {\ text {por lo tanto}} \ \ f = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} u_ {n}}

se define - casi en todas partes y el teorema de convergencia dominado se utiliza para demostrar que las sumas parciales de la serie convergen af en la -norm,

{\ Displaystyle \ mu}

{\ Displaystyle f \ in L ^ {p} (\ mu).}

{\ Displaystyle L ^ {p}}

{\ Displaystyle \ int \ left | f- \ sum _ {k = 0} ^ {n} u_ {k} \ right | ^ {p} \, \ mathrm {d} \ mu \ leq \ int \ left (\ sum _ {\ ell> n} | u _ {\ ell} | \ right) ^ {p} \, \ mathrm {d} \ mu \ rightarrow 0 {\ text {as}} n \ rightarrow \ infty.}

El caso requiere algunas modificaciones, porque la

p -norm ya no es subaditiva. Uno comienza con la suposición más fuerte de que

{\ Displaystyle 0 <p <1}

{\ Displaystyle \ sum \ | u_ {n} \ | _ {p} ^ {p} <\ infty}

y usa repetidamente que

{\ Displaystyle \ left | \ sum _ {k = 0} ^ {n} u_ {k} \ right | ^ {p} \ leq \ sum _ {k = 0} ^ {n} | u_ {k} | ^ {p} {\ text {cuando}} p <1}

El caso se reduce a una simple pregunta sobre la convergencia uniforme fuera de un conjunto insignificante.

{\ Displaystyle p = \ infty}

{\ Displaystyle \ mu}

Ver también

Espacio de Banach: espacio vectorial normalizado que está completo

Referencias

Beals, Richard (2004), Análisis: Introducción , Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 0-521-60047-2.
Dunford, N .; Schwartz, JT (1958), Operadores lineales, Parte I , Wiley-Interscience.
Fischer, Ernst (1907), "Sur la convergence en moyenne", Comptes rendus de l'Académie des sciences , 144 : 1022–1024.
Riesz, Frigyes (1907), "Sur les systèmes orthogonaux de fonctions", Comptes rendus de l'Académie des sciences , 144 : 615–619.

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