Integración Lebesgue – Stieltjes - Lebesgue–Stieltjes integration

En el análisis de la teoría de medidas y ramas relacionadas de las matemáticas , la integración de Lebesgue-Stieltjes generaliza la integración de Riemann-Stieltjes y Lebesgue , preservando las muchas ventajas de la primera en un marco teórico de medidas más general. La integral de Lebesgue-Stieltjes es la integral de Lebesgue ordinaria con respecto a una medida conocida como medida de Lebesgue-Stieltjes, que puede estar asociada a cualquier función de variación acotada en la línea real. La medida de Lebesgue-Stieltjes es una medida de Borel regular y, a la inversa, todas las medidas de Borel regulares en la línea real son de este tipo.

Lebesgue-Stieltjes integrales , llamado así por Henri Lebesgue León y Thomas Joannes Stieltjes , también se conocen como las integrales de Lebesgue-radón o sólo las integrales de radón , después de Johann Radon , a la que gran parte de la teoría es debido. Encuentran una aplicación común en los procesos estocásticos y de probabilidad , y en ciertas ramas del análisis, incluida la teoría del potencial .

Definición

La integral Lebesgue-Stieltjes

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dg (x)}

se define cuando es Borel - medible y acotado y tiene variación acotada en $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ y continua a la derecha, o cuando $f$ es no negativa y $g$ es monótona y continua a la derecha . Para empezar, suponga que $f$ no es negativo y $g$ es monótono, no decreciente y continuo a la derecha. Definir $w$ $(($ $s$ $,$ $t$ $]) =$ $g$ $($ $t$ $) -$ $g$ $($ $s$ $)$ y $w$ $({$ $un$ $}) = 0$ (Alternativamente, las obras de construcción para $g$ dejaron-continua, $w$ $([$ $s$ $,$ $t$ $)) =$ $g$ $($ $t$ $) -$ $g$ $($ $s$ $)$ y $w$ $({$ $b$ $}) = 0$ ). ${\ Displaystyle f: \ left [a, b \ right] \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle g: \ left [a, b \ right] \ rightarrow \ mathbb {R}}$

Por el teorema de extensión de Carathéodory , hay una medida única Borel $μ g$ en $[un, b]$ , que está de acuerdo con $w$ en cada intervalo $I$ . La medida $μ g$ surge de una medida exterior (de hecho, una medida exterior métrica ) dada por

{\ Displaystyle \ mu _ {g} (E) = \ inf \ left \ {\ sum _ {i} \ mu _ {g} (I_ {i}) \: \ E \ subconjunto \ bigcup _ {i} I_ {i} \ right \}}

el mínimo se apoderó de todas las cubiertas de $E$ por innumerables intervalos semiabiertos. Esta medida a veces se denomina medida de Lebesgue-Stieltjes asociada con $g$ .

La integral Lebesgue-Stieltjes

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dg (x)}

se define como la integral de Lebesgue de $f$ con respecto a la medida $μ$ $g$ de la forma habitual. Si $g$ no aumenta, entonces defina

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dg (x): = - \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, d (-g) (x) ,}

la última integral está definida por la construcción anterior.

Si $g$ es de variación acotada y $f$ es acotada, entonces es posible escribir

{\ Displaystyle dg (x) = dg_ {1} (x) -dg_ {2} (x)}

donde $g 1 (x) = V x a g$ es la variación total de $g$ en el intervalo $[a, x]$ y $g 2 (x) = g 1 (x) - g (x)$ . Tanto $g 1$ como $g 2$ son monótonos no decrecientes. Ahora la integral de Lebesgue-Stieltjes con respecto a $g$ está definida por

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dg (x) = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dg_ {1} (x) - \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dg_ {2} (x),}

donde las dos últimas integrales están bien definidas por la construcción anterior.

Daniell integral

Un enfoque alternativo ( Hewitt & Stromberg 1965 ) es definir la integral de Lebesgue-Stieltjes como la integral de Daniell que extiende la integral de Riemann-Stieltjes habitual. Sea $g$ una función continua por la derecha no decreciente en $[a, b]$ , y defina $I (f)$ como la integral de Riemann-Stieltjes

{\ Displaystyle I (f) = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dg (x)}

para todas las funciones continuas $f$ . El funcional $I$ define una medida de radón en $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ . Esta función se puede extender a la clase de todas las funciones no negativas configurando

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ overline {I}} (h) & = \ sup \ left \ {I (f) \: \ f \ in C [a, b], 0 \ leq f \ leq h \ right \} \\ {\ overline {\ overline {I}}} (h) & = \ inf \ left \ {I (f) \: \ f \ in C [a, b], h \ leq f \ right \}. \ end {alineado}}}

Para las funciones medibles de Borel, uno tiene

{\ Displaystyle {\ overline {I}} (h) = {\ overline {\ overline {I}}} (h),}

y cada lado de la identidad define la integral de Lebesgue-Stieltjes de $h$ . La medida exterior $μ g$ se define mediante

{\ Displaystyle \ mu _ {g} (A) = {\ overline {\ overline {I}}} (\ chi _ {A})}

donde $χ A$ es la función indicadora de $A$ .

Los integradores de variación acotada se manejan como se indicó anteriormente, descomponiéndolos en variaciones positivas y negativas.

Ejemplo

Suponga que $γ$ $: [$ $a$ $,$ $b$ $] \to$ $R$ $2$ es una curva rectificable en el plano y $ρ$ $:$ $R$ $2$ $\to [0, \infty)$ es Borel medible. Entonces podemos definir la longitud de $γ$ con respecto a la métrica euclidiana ponderada por ρ como

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \ rho (\ gamma (t)) \, d \ ell (t),}

donde es la longitud de la restricción de $γ$ a $[$ $a$ $,$ $t$ $]$ . A esto a veces se le llama la longitud $ρ$ de $γ$ . Esta noción es bastante útil para varias aplicaciones: por ejemplo, en un terreno embarrado, la velocidad a la que una persona puede moverse puede depender de la profundidad del barro. Si $ρ$ $($ $z$ $)$ denota la inversa de la velocidad al caminar en o cerca de $z$ , entonces la longitud $ρ$ de $γ$ es el tiempo que tomaría atravesar $γ$ . El concepto de longitud extrema utiliza esta noción de la longitud $ρ$ de las curvas y es útil en el estudio de los mapeos conformes . ${\ Displaystyle \ ell (t)}$

Integración por partes

Una función $f$ se dice que es "regular" en un punto $un$ si los límites derecha y mano izquierda $f$ $($ $un$ $+)$ y $f$ $($ $a$ $-)$ existe, y la función toma en $un$ valor medio

{\ Displaystyle f (a) = {\ frac {f (a -) + f (a +)} {2}}.}

Dadas dos funciones $U$ y $V$ de variación finita, si en cada punto al menos uno de $U$ o $V$ es continuo o $U$ y $V$ son ambos regulares, entonces una fórmula de integración por partes para la integral de Lebesgue-Stieltjes se cumple:

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} U \, dV + \ int _ {a} ^ {b} V \, dU = U (b +) V (b +) - U (a-) V (a- ), \ qquad - \ infty <a <b <\ infty.}

Aquí, las medidas de Lebesgue-Stieltjes relevantes se asocian con las versiones continuas a la derecha de las funciones $U$ y $V$ ; es decir $,$ $ay de$ manera similar El intervalo acotado $($ $a$ $,$ $b$ $)$ puede ser reemplazado por un intervalo ilimitado $(-\infty,$ $b$ $)$ , $($ $a$ $, \infty)$ o $(-\infty, \infty)$ siempre que $U$ y $V$ sean de variación finita en este intervalo ilimitado. También se pueden utilizar funciones con valores complejos. ${\ Displaystyle {\ tilde {U}} (x) = \ lim _ {t \ to x +} U (t)}$ ${\ Displaystyle {\ tilde {V}} (x).}$

Un resultado alternativo, de importancia significativa en la teoría del cálculo estocástico es el siguiente. Dadas dos funciones $U$ y $V$ de variación finita, que son ambas continuas a la derecha y tienen límites a la izquierda (son funciones càdlàg ) entonces

{\ Displaystyle U (t) V (t) = U (0) V (0) + \ int _ {(0, t]} U (s -) \, dV (s) + \ int _ {(0, t]} V (s -) \, dU (s) + \ sum _ {u \ in (0, t]} \ Delta U_ {u} \ Delta V_ {u},}

donde $Δ U t = U (t) - U (t -)$ . Este resultado puede verse como un precursor del lema de Itô y es útil en la teoría general de la integración estocástica. El término final es $Δ U (t) Δ V (t) = d [U, V],$ que surge de la covariación cuadrática de $U$ y $V$ . (El resultado anterior puede verse entonces como un resultado perteneciente a la integral de Stratonovich ).

Conceptos relacionados

Integración de Lebesgue

Cuando $g (x) = x$ para todo $x$ real , entonces $μ g$ es la medida de Lebesgue , y la integral de Lebesgue-Stieltjes de $f$ con respecto a $g$ es equivalente a la integral de Lebesgue de $f$ .

Integración de Riemann-Stieltjes y teoría de la probabilidad

Donde $f$ es una función real continua de una variable real $yv$ es una función real no decreciente, la integral de Lebesgue-Stieltjes es equivalente a la integral de Riemann-Stieltjes , en cuyo caso a menudo escribimos

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dv (x)}

para la integral de Lebesgue-Stieltjes, dejando implícita la medida $μ v$ . Esto es particularmente común en la teoría de la probabilidad cuando $v$ es la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria de valor real $X$ , en cuyo caso

{\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \, dv (x) = \ mathrm {E} [f (X)].}

(Consulte el artículo sobre la integración de Riemann-Stieltjes para obtener más detalles sobre cómo tratar estos casos).

Notas

Referencias

Halmos, Paul R. (1974), Measure Theory , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90088-9
Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Análisis real y abstracto , Springer-Verlag .
Saks, Stanislaw (1937) Teoría del Integral.
Shilov, GE y Gurevich, BL, 1978. Integral, medida y derivada: un enfoque unificado , Richard A. Silverman, trad. Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-63519-8 .

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