Circuito RLC - RLC circuit

Una red RLC en serie (en orden): una resistencia, un inductor y un condensador

Un circuito RLC es un circuito eléctrico que consta de una resistencia (R), un inductor (L) y un condensador (C), conectados en serie o en paralelo. El nombre del circuito se deriva de las letras que se utilizan para denotar los componentes constituyentes de este circuito, donde la secuencia de los componentes puede variar de RLC.

El circuito forma un oscilador armónico para la corriente y resuena de manera similar a un circuito LC . La introducción de la resistencia aumenta la caída de estas oscilaciones, lo que también se conoce como amortiguación . La resistencia también reduce la frecuencia de resonancia máxima. En condiciones normales, es inevitable cierta resistencia incluso si una resistencia no se incluye específicamente como componente; un circuito LC puro ideal existe solo en el dominio de la superconductividad , un efecto físico demostrado hasta este punto solo a temperaturas muy por debajo y / o presiones muy por encima de las que se encuentran naturalmente en cualquier lugar de la superficie de la Tierra.

Los circuitos RLC tienen muchas aplicaciones como circuitos osciladores . Los receptores de radio y los televisores los utilizan para sintonizar y seleccionar un rango de frecuencia estrecho de las ondas de radio ambientales. En esta función, el circuito a menudo se denomina circuito sintonizado. Un circuito RLC se puede utilizar como filtro de paso de banda , filtro de parada de banda , filtro de paso bajo o filtro de paso alto . La aplicación de sintonización, por ejemplo, es un ejemplo de filtrado de paso de banda. El filtro RLC se describe como un circuito de segundo orden , lo que significa que cualquier voltaje o corriente en el circuito se puede describir mediante una ecuación diferencial de segundo orden en el análisis de circuitos.

Los tres elementos del circuito, R, L y C, se pueden combinar en varias topologías diferentes . Los tres elementos en serie o los tres elementos en paralelo son los más simples en concepto y los más sencillos de analizar. Sin embargo, existen otras disposiciones, algunas con importancia práctica en circuitos reales. Un problema que se encuentra a menudo es la necesidad de tener en cuenta la resistencia del inductor. Los inductores se construyen típicamente a partir de bobinas de alambre, cuya resistencia no suele ser deseable, pero a menudo tiene un efecto significativo en el circuito.

Conceptos básicos

Resonancia

Una propiedad importante de este circuito es su capacidad para resonar a una frecuencia específica, la frecuencia de resonancia , f ₀ . Las frecuencias se miden en unidades de hercios . En este artículo, se usa la frecuencia angular , ω ₀ , porque es más conveniente matemáticamente. Esto se mide en radianes por segundo. Están relacionados entre sí por una simple proporción,

${\ Displaystyle \ omega _ {0} = 2 \ pi f_ {0} \ ,.}$

La resonancia se produce porque la energía para esta situación se almacena de dos formas diferentes: en un campo eléctrico cuando se carga el condensador y en un campo magnético cuando la corriente fluye a través del inductor. La energía se puede transferir de uno a otro dentro del circuito y esto puede ser oscilatorio. Una analogía mecánica es un peso suspendido en un resorte que oscilará hacia arriba y hacia abajo cuando se suelte. Esta no es una metáfora pasajera; un peso en un resorte se describe exactamente con la misma ecuación diferencial de segundo orden que un circuito RLC y para todas las propiedades de un sistema se encontrará una propiedad análoga del otro. La propiedad mecánica que responde a la resistencia en el circuito es la fricción en el sistema resorte-peso. La fricción detendrá lentamente cualquier oscilación si no hay una fuerza externa que la impulse. Asimismo, la resistencia en un circuito RLC "amortiguará" la oscilación, disminuyéndola con el tiempo si no hay una fuente de alimentación de CA en el circuito.

La frecuencia de resonancia se define como la frecuencia a la que la impedancia del circuito es mínima. De manera equivalente, se puede definir como la frecuencia a la que la impedancia es puramente real (es decir, puramente resistiva). Esto ocurre porque las impedancias del inductor y el capacitor en resonancia son iguales pero de signo opuesto y se cancelan. Los circuitos donde L y C están en paralelo en lugar de en serie, en realidad tienen una impedancia máxima en lugar de una impedancia mínima. Por esta razón, a menudo se describen como antiresonadores , sin embargo, todavía es habitual nombrar la frecuencia a la que esto ocurre como frecuencia de resonancia.

Frecuencia natural

La frecuencia de resonancia se define en términos de la impedancia presentada a una fuente de excitación. Todavía es posible que el circuito continúe oscilando (durante un tiempo) después de que se haya quitado la fuente de activación o se someta a un paso en el voltaje (incluido un paso hacia abajo a cero). Esto es similar a la forma en que un diapasón seguirá sonando después de haber sido golpeado, y el efecto a menudo se denomina repique. Este efecto es la frecuencia de resonancia natural pico del circuito y, en general, no es exactamente igual que la frecuencia de resonancia impulsada, aunque las dos generalmente estarán bastante cerca una de la otra. Diferentes autores utilizan varios términos para distinguir los dos, pero la frecuencia de resonancia no calificada generalmente significa la frecuencia de resonancia impulsada. La frecuencia activada puede denominarse frecuencia de resonancia no amortiguada o frecuencia natural no amortiguada y la frecuencia pico puede denominarse frecuencia de resonancia amortiguada o frecuencia natural amortiguada. La razón de esta terminología es que la frecuencia de resonancia impulsada en un circuito resonante en serie o en paralelo tiene el valor

${\ Displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {L \, C ~}}} \, ~.}$

Esta es exactamente la misma que la frecuencia de resonancia de un circuito LC, es decir, uno sin resistencia presente. La frecuencia de resonancia para un circuito RLC es la misma que la de un circuito en el que no hay amortiguación, por lo tanto, frecuencia de resonancia no amortiguada. La frecuencia de resonancia máxima, por otro lado, depende del valor de la resistencia y se describe como la frecuencia de resonancia amortiguada. Un circuito muy amortiguado dejará de resonar en absoluto cuando no esté activado. Un circuito con un valor de resistencia que hace que esté justo en el borde del timbre se llama críticamente amortiguado . Cualquiera de los lados de críticamente amortiguado se describe como subamortiguado (suena el timbre) y sobreamortiguado (el timbre está suprimido).

Los circuitos con topologías más complejas que las series simples o paralelas (algunos ejemplos se describen más adelante en el artículo) tienen una frecuencia de resonancia impulsada que se desvía de , y para aquellos, la frecuencia de resonancia no amortiguada, la frecuencia de resonancia amortiguada y la frecuencia de resonancia impulsada pueden ser todas diferentes. ${\ Displaystyle \ omega _ {0} = 1 / {\ sqrt {L \, C ~}}}$

Mojadura

La amortiguación es causada por la resistencia en el circuito. Determina si el circuito resonará de forma natural (es decir, sin una fuente de activación). Los circuitos que resonarán de esta manera se describen como subamortigados y los que no lo harán están sobreamortiguados. La atenuación de la amortiguación (símbolo α ) se mide en nepers por segundo. Sin embargo, el factor de amortiguamiento sin unidades (símbolo ζ , zeta) es a menudo una medida más útil, que se relaciona con α por

${\ Displaystyle \ zeta = {\ frac {\ alpha} {\ omega _ {0}}} \ ,.}$

El caso especial de ζ = 1 se llama amortiguamiento crítico y representa el caso de un circuito que está justo en el borde de la oscilación. Es la amortiguación mínima que se puede aplicar sin provocar oscilación.

Banda ancha

El efecto de resonancia se puede usar para filtrar, el cambio rápido en la impedancia cerca de la resonancia se puede usar para pasar o bloquear señales cercanas a la frecuencia de resonancia. Se pueden construir filtros de paso de banda y de parada de banda y algunos circuitos de filtro se muestran más adelante en el artículo. Un parámetro clave en el diseño de filtros es el ancho de banda . El ancho de banda se mide entre las frecuencias de corte , definidas con mayor frecuencia como las frecuencias a las que la potencia que pasa a través del circuito ha caído a la mitad del valor que pasa en la resonancia. Hay dos de estas frecuencias de media potencia, una por encima y otra por debajo de la frecuencia de resonancia.

${\ Displaystyle \ Delta \ omega = \ omega _ {2} - \ omega _ {1} \ ,,}$

donde Δ ω es el ancho de banda, ω ₁ es la frecuencia de potencia media inferior y ω ₂ es la frecuencia de potencia media superior. El ancho de banda está relacionado con la atenuación por

${\ Displaystyle \ Delta \ omega = 2 \ alpha \ ,,}$

donde las unidades son radianes por segundo y nepers por segundo respectivamente. Otras unidades pueden requerir un factor de conversión. Una medida más general del ancho de banda es el ancho de banda fraccional, que expresa el ancho de banda como una fracción de la frecuencia de resonancia y viene dado por

${\ Displaystyle B _ {\ mathrm {f}} = {\ frac {\ Delta \ omega} {\ omega _ {0}}} \ ,.}$

El ancho de banda fraccional también se expresa a menudo como un porcentaje. La amortiguación de los circuitos de filtro se ajusta para dar como resultado el ancho de banda requerido. Un filtro de banda estrecha, como un filtro de muesca , requiere una amortiguación baja. Un filtro de banda ancha requiere una gran amortiguación.

Factor Q

El factor Q es una medida ampliamente utilizada para caracterizar resonadores. Se define como la energía máxima almacenada en el circuito dividida por la energía promedio disipada en él por radianes en resonancia. Por lo tanto, los circuitos de bajo Q están amortiguados y los circuitos con pérdidas y los de alto Q están infraamortiguados. Q está relacionado con el ancho de banda; Los circuitos de bajo Q son de banda ancha y los de alto Q son de banda estrecha. De hecho, sucede que Q es la inversa del ancho de banda fraccional

${\ Displaystyle Q = {\ frac {1} {B _ {\ mathrm {f}}}} = {\ frac {\ omega _ {0}} {\ Delta \ omega}} \ ,.}$

El factor Q es directamente proporcional a la selectividad , ya que el factor Q depende inversamente del ancho de banda.

Para un circuito resonante en serie, el factor Q se puede calcular de la siguiente manera:

${\ Displaystyle Q = {\ frac {1} {\ omega _ {0} RC}} = {\ frac {\ omega _ {0} L} {R}} = {\ frac {1} {R}} { \ sqrt {\ frac {L} {C}}} \ ,.}$

Parámetros escalados

Los parámetros zeta , F _b , y Q están escalados a w ₀ . Esto significa que los circuitos que tienen parámetros similares comparten características similares independientemente de si están operando o no en la misma banda de frecuencia.

El siguiente artículo ofrece el análisis del circuito RLC en serie en detalle. Otras configuraciones no se describen con tanto detalle, pero se dan las diferencias clave con el caso de la serie. La forma general de las ecuaciones diferenciales dadas en la sección del circuito en serie son aplicables a todos los circuitos de segundo orden y pueden usarse para describir el voltaje o la corriente en cualquier elemento de cada circuito.

Circuito en serie

Figura 1: circuito en serie RLC

En este circuito, los tres componentes están todos en serie con la fuente de voltaje . La ecuación diferencial gobernante se puede encontrar sustituyendo en la ley de voltaje de Kirchhoff (KVL) la ecuación constitutiva para cada uno de los tres elementos. Desde el KVL,

${\ Displaystyle V_ {R} + V_ {L} + V_ {C} = V (t) \ ,,}$

donde V _R , V _L y V _C son los voltajes en R, L y C respectivamente y V ( t ) es el voltaje variable en el tiempo de la fuente.

Sustituyendo , y en la ecuación anterior se obtiene: ${\ Displaystyle V_ {R} = RI (t)}$${\ Displaystyle V_ {L} = L {dI (t) \ over dt}}$${\ Displaystyle V_ {C} = V (0) + {\ frac {1} {C}} \ int _ {0} ^ {t} I (\ tau) \, d \ tau}$

${\ Displaystyle RI (t) + L {\ frac {dI (t)} {dt}} + V (0) + {\ frac {1} {C}} \ int _ {0} ^ {t} I ( \ tau) \, d \ tau = V (t) \ ,.}$

Para el caso donde la fuente es un voltaje que no cambia, tomar la derivada del tiempo y dividir por L conduce a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden:

${\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}}} I (t) + {\ frac {R} {L}} {\ frac {d} {dt}} I (t) + {\ frac {1} {LC}} I (t) = 0 \ ,.}$

Esto puede expresarse de manera útil en una forma más aplicable en general:

${\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}}} I (t) +2 \ alpha {\ frac {d} {dt}} I (t) + \ omega _ {0} ^ {2} I (t) = 0 \ ,.}$

α y ω ₀ están en unidades de frecuencia angular . α se denomina frecuencia neper , o atenuación , y es una medida de la rapidez con la que se extinguirá la respuesta transitoria del circuito después de que se haya eliminado el estímulo. Neper aparece en el nombre porque las unidades también pueden considerarse nepers por segundo, siendo neper una unidad de atenuación. ω ₀ es la frecuencia de resonancia angular.

Para el caso del circuito RLC en serie estos dos parámetros vienen dados por:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ alpha & = {\ frac {R} {2L}} \\\ omega _ {0} & = {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}} \ ,. \ end {alineado}}}$

Un parámetro útil es el factor de amortiguación , ζ , que se define como la relación de estos dos; aunque, a veces, α se denomina factor de amortiguación y ζ no se utiliza.

${\ Displaystyle \ zeta = {\ frac {\ alpha} {\ omega _ {0}}} \ ,.}$

En el caso del circuito RLC en serie, el factor de amortiguación viene dado por

${\ Displaystyle \ zeta = {\ frac {R} {2}} {\ sqrt {\ frac {C} {L}}} \ ,.}$

El valor del factor de amortiguación determina el tipo de transitorio que exhibirá el circuito.

Respuesta transitoria

Gráfica que muestra las respuestas subamortiguadas y sobreamortiguadas de un circuito RLC en serie a un paso de entrada de voltaje de 1 V. La gráfica de amortiguación crítica es la curva roja en negrita. Las gráficas están normalizadas para L = 1 , C = 1 y ω ₀ = 1 .

La ecuación diferencial tiene la ecuación característica ,

${\ Displaystyle s ^ {2} +2 \ alpha s + \ omega _ {0} ^ {2} = 0 \ ,.}$

Las raíces de la ecuación en el dominio s son,

${\ displaystyle {\ begin {alineado} s_ {1} & = - \ alpha + {\ sqrt {\ alpha ^ {2} - \ omega _ {0} ^ {2}}} = - \ omega _ {0} \ left (\ zeta - {\ sqrt {\ zeta ^ {2} -1}} \ right) \\ s_ {2} & = - \ alpha - {\ sqrt {\ alpha ^ {2} - \ omega _ { 0} ^ {2}}} = - \ omega _ {0} \ left (\ zeta + {\ sqrt {\ zeta ^ {2} -1}} \ right) \,. \ End {alineado}}}$

La solución general de la ecuación diferencial es un exponencial en la raíz o una superposición lineal de ambos,

${\ Displaystyle I (t) = A_ {1} e ^ {s_ {1} t} + A_ {2} e ^ {s_ {2} t} \ ,.}$

Los coeficientes A ₁ y A ₂ están determinados por las condiciones de contorno del problema específico que se analiza. Es decir, se establecen por los valores de las corrientes y voltajes en el circuito al inicio del transitorio y el valor presunto al que se asentarán después de un tiempo infinito. La ecuación diferencial del circuito se resuelve de tres formas diferentes según el valor de ζ . Estos están sobreamortiguados ( ζ > 1 ), infraamortiguados ( ζ <1 ) y críticamente amortiguados ( ζ = 1 ).

Respuesta sobreamortiguada

La respuesta sobreamortiguada ( ζ > 1 ) es

${\ Displaystyle I (t) = A_ {1} e ^ {- \ omega _ {0} \ left (\ zeta + {\ sqrt {\ zeta ^ {2} -1}} \ right) t} + A_ { 2} e ^ {- \ omega _ {0} \ left (\ zeta - {\ sqrt {\ zeta ^ {2} -1}} \ right) t} \ ,.}$

La respuesta sobreamortiguada es una disminución de la corriente transitoria sin oscilación.

Respuesta subamortiguada

La respuesta subamortiguada ( ζ <1 ) es

${\ Displaystyle I (t) = B_ {1} e ^ {- \ alpha t} \ cos (\ omega _ {\ mathrm {d}} t) + B_ {2} e ^ {- \ alpha t} \ sin (\ omega _ {\ mathrm {d}} t) \ ,.}$

Al aplicar identidades trigonométricas estándar, las dos funciones trigonométricas se pueden expresar como una sola sinusoide con cambio de fase,

${\ Displaystyle I (t) = B_ {3} e ^ {- \ alpha t} \ sin (\ omega _ {\ mathrm {d}} t + \ varphi) \ ,.}$

La respuesta subamortiguada es una oscilación decreciente a la frecuencia ω _d . La oscilación decae a una velocidad determinada por la atenuación α . El exponencial en α describe la envolvente de la oscilación. B ₁ y B ₂ (o B ₃ y el desplazamiento de fase φ en la segunda forma) son constantes arbitrarias determinadas por condiciones de contorno. La frecuencia ω _d viene dada por

${\ Displaystyle \ omega _ {\ mathrm {d}} = {\ sqrt {\ omega _ {0} ^ {2} - \ alpha ^ {2}}} = \ omega _ {0} {\ sqrt {1- \ zeta ^ {2}}} \ ,.}$

Esto se llama frecuencia de resonancia amortiguada o frecuencia natural amortiguada. Es la frecuencia a la que el circuito oscilará naturalmente si no es impulsado por una fuente externa. La frecuencia de resonancia, ω ₀ , que es la frecuencia a la que el circuito resonará cuando sea impulsado por una oscilación externa, a menudo se puede denominar frecuencia de resonancia no amortiguada para distinguirla.

Respuesta críticamente amortiguada

La respuesta críticamente amortiguada ( ζ = 1 ) es

${\ Displaystyle I (t) = D_ {1} te ^ {- \ alpha t} + D_ {2} e ^ {- \ alpha t} \ ,.}$

La respuesta críticamente amortiguada representa la respuesta del circuito que decae en el tiempo más rápido posible sin entrar en oscilación. Esta consideración es importante en los sistemas de control donde se requiere alcanzar el estado deseado lo más rápido posible sin sobrepasar. D ₁ y D ₂ son constantes arbitrarias determinadas por condiciones de contorno.

Dominio de Laplace

La serie RLC se puede analizar para determinar el comportamiento de estado de CA tanto transitorio como estable utilizando la transformada de Laplace . Si la fuente de voltaje anterior produce una forma de onda con V ( s ) transformada de Laplace (donde s es la frecuencia compleja s = σ + jω ), el KVL se puede aplicar en el dominio de Laplace:

${\ Displaystyle V (s) = I (s) \ left (R + Ls + {\ frac {1} {Cs}} \ right) \ ,,}$

donde I ( s ) es la corriente transformada de Laplace a través de todos los componentes. Resolviendo para I ( s ) :

${\ Displaystyle I (s) = {\ frac {1} {R + Ls + {\ frac {1} {Cs}}}} V (s) \ ,.}$

Y reorganizando, tenemos

${\ Displaystyle I (s) = {\ frac {s} {L \ left (s ^ {2} + {\ frac {R} {L}} s + {\ frac {1} {LC}} \ right)} } V (s) \ ,.}$

Entrada de Laplace

Resolviendo para la admitancia de Laplace Y ( s ) :

${\ Displaystyle Y (s) = {\ frac {I (s)} {V (s)}} = {\ frac {s} {L \ left (s ^ {2} + {\ frac {R} {L }} s + {\ frac {1} {LC}} \ right)}} \ ,.}$

Simplificando usando los parámetros α y ω ₀ definidos en la sección anterior, tenemos

${\ Displaystyle Y (s) = {\ frac {I (s)} {V (s)}} = {\ frac {s} {L \ left (s ^ {2} +2 \ alpha s + \ omega _ { 0} ^ {2} \ right)}} \ ,.}$

Polos y ceros

Los ceros de Y ( s ) son aquellos valores de s donde Y ( s ) = 0 :

${\ Displaystyle s = 0 \ quad {\ mbox {y}} \ quad | s | \ rightarrow \ infty \ ,.}$

Los polos de Y ( s ) son aquellos valores de s donde Y ( s ) → ∞ . Por la fórmula cuadrática , encontramos

${\ Displaystyle s = - \ alpha \ pm {\ sqrt {\ alpha ^ {2} - \ omega _ {0} ^ {2}}} \ ,.}$

Los polos de Y ( s ) son idénticos a las raíces s ₁ y s ₂ del polinomio característico de la ecuación diferencial en la sección anterior.

Solución general

Para un V ( t ) arbitrario , la solución obtenida por la transformada inversa de I ( s ) es:

• En el caso subamortiguado, ω ₀ > α :

  ${\ Displaystyle I (t) = {\ frac {1} {L}} \ int _ {0} ^ {t} V (t- \ tau) e ^ {- \ alpha \ tau} \ left (\ cos \ omega _ {\ mathrm {d}} \ tau - {\ frac {\ alpha} {\ omega _ {\ mathrm {d}}}} \ sin \ omega _ {\ mathrm {d}} \ tau \ right) \ , d \ tau \ ,,}$

• En el caso críticamente amortiguado, ω ₀ = α :

  ${\ Displaystyle I (t) = {\ frac {1} {L}} \ int _ {0} ^ {t} V (t- \ tau) e ^ {- \ alpha \ tau} (1- \ alpha \ tau) \, d \ tau \ ,,}$

• En el caso sobreamortiguado, ω ₀ < α :

  ${\ Displaystyle I (t) = {\ frac {1} {L}} \ int _ {0} ^ {t} V (t- \ tau) e ^ {- \ alpha \ tau} \ left (\ cosh \ omega _ {\ mathrm {r}} \ tau - {\ alpha \ over \ omega _ {\ mathrm {r}}} \ sinh \ omega _ {\ mathrm {r}} \ tau \ right) \, d \ tau \ ,,}$

donde ω _r = √ α ² - ω ₀ ² , y cosh y sinh son las funciones hiperbólicas habituales .

Estado estable sinusoidal

Gráfico de magnitud de Bode para los voltajes a través de los elementos de un circuito en serie RLC. Frecuencia natural ω ₀ = 1 rad / s , relación de amortiguamiento ζ = 0,4 .

El estado estable sinusoidal se representa dejando s = jω , donde j es la unidad imaginaria . Tomando la magnitud de la ecuación anterior con esta sustitución:

${\ Displaystyle {\ big |} Y (j \ omega) {\ big |} = {\ frac {1} {\ sqrt {R ^ {2} + \ left (\ omega L - {\ frac {1} { \ omega C}} \ right) ^ {2}}}} \ ,.}$

y la corriente en función de ω se puede encontrar a partir de

${\ Displaystyle {\ big |} I (j \ omega) {\ big |} = {\ big |} Y (j \ omega) {\ big |} \ cdot {\ big |} V (j \ omega) { \ big |} \ ,.}$

Hay un valor máximo de | I ( jω ) | . El valor de ω en este pico es, en este caso particular, igual a la frecuencia de resonancia natural no amortiguada:

${\ Displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}} \ ,.}$

A partir de la respuesta de frecuencia de la corriente, también se puede determinar la respuesta de frecuencia de los voltajes a través de los diversos elementos del circuito.

Circuito paralelo

Figura 2. Circuito paralelo RLC
V - la fuente de voltaje que alimenta el circuito
I - la corriente admitida a través del circuito
R - la resistencia equivalente de la fuente combinada, la carga y los componentes
L - la inductancia del inductor componente
C - la capacitancia del componente del condensador

Las propiedades del circuito RLC paralelo se pueden obtener a partir de la relación de dualidad de los circuitos eléctricos y considerando que el RLC paralelo es la impedancia dual de un RLC en serie. Teniendo esto en cuenta, queda claro que las ecuaciones diferenciales que describen este circuito son idénticas a la forma general de las que describen un RLC en serie.

Para el circuito en paralelo, la atenuación α viene dada por

${\ Displaystyle \ alpha = {\ frac {1} {\, 2 \, R \, C \,}}}$

y el factor de amortiguación es consecuentemente

${\ Displaystyle \ zeta = {\ frac {1} {\, 2 \, R \,}} {\ sqrt {{\ frac {L} {C}} ~}} \, ~.}$

Asimismo, los otros parámetros escalados, el ancho de banda fraccional y Q también son recíprocos entre sí. Esto significa que un circuito de banda ancha y bajo Q en una topología se convertirá en un circuito de banda estrecha y alto Q en la otra topología cuando se construya a partir de componentes con valores idénticos. El ancho de banda fraccional y Q del circuito paralelo están dados por

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} B _ {\ mathrm {f}} & = {\ frac {1} {\, R \,}} {\ sqrt {{\ frac {L} {C}} ~}} \\ Q & = R {\ sqrt {{\ frac {C} {L}} ~}} \, ~. \ End {alineado}}}$

Observe que las fórmulas aquí son recíprocas de las fórmulas para el circuito en serie, dadas arriba.

Dominio de la frecuencia

Figura 3. Análisis de estado estable sinusoidal. Normalizado a R = 1 Ω , C = 1 F , L = 1 H , y V = 1 V .

La admitancia compleja de este circuito se obtiene sumando las admitancias de los componentes:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {1} {\, Z \,}} & = {\ frac {1} {\, Z_ {L} \,}} + {\ frac {1} { \, Z_ {C} \,}} + {\ frac {1} {\, Z_ {R} \,}} \\ & = {\ frac {1} {\, j \, \ omega \, L \ ,}} + j \, \ omega \, C + {\ frac {1} {\, R \,}} \,. \ end {alineado}}}$

El cambio de una disposición en serie a una disposición en paralelo da como resultado que el circuito tenga un pico de impedancia en la resonancia en lugar de un mínimo, por lo que el circuito es un anti-resonador.

El gráfico opuesto muestra que hay un mínimo en la respuesta de frecuencia de la corriente en la frecuencia de resonancia cuando el circuito es impulsado por un voltaje constante. Por otro lado, si es impulsado por una corriente constante, habría un máximo en el voltaje que seguiría la misma curva que la corriente en el circuito en serie. ${\ Displaystyle ~ \ omega _ {0} = 1 / {\ sqrt {\, L \, C ~}} ~}$

Otras configuraciones

Figura 4. Circuito paralelo RLC con resistencia en serie con el inductor

Una resistencia en serie con el inductor en un circuito LC paralelo, como se muestra en la Figura 4, es una topología que se encuentra comúnmente cuando es necesario tener en cuenta la resistencia del devanado de la bobina. Los circuitos LC en paralelo se utilizan con frecuencia para el filtrado de paso de banda y la Q se rige en gran medida por esta resistencia. La frecuencia de resonancia de este circuito es

${\ Displaystyle \ omega _ {0} = {\ sqrt {{\ frac {1} {LC}} - \ left ({\ frac {R} {L}} \ right) ^ {2}}} \ ,. }$

Esta es la frecuencia de resonancia del circuito definida como la frecuencia a la que la admitancia tiene una parte imaginaria cero. La frecuencia que aparece en la forma generalizada de la ecuación característica (que es la misma para este circuito que anteriormente)

${\ Displaystyle s ^ {2} +2 \ alpha s + {\ omega '_ {0}} ^ {2} = 0}$

no es la misma frecuencia. En este caso, es la frecuencia resonante natural no amortiguada:

${\ Displaystyle \ omega '_ {0} = {\ sqrt {\ frac {1} {LC}}} \ ,.}$

La frecuencia ω _m a la que la magnitud de impedancia es máxima viene dada por

${\ Displaystyle \ omega _ {\ mathrm {m}} = \ omega '_ {0} {\ sqrt {- {\ frac {1} {Q_ {L} ^ {2}}} + {\ sqrt {1+ {\ frac {2} {Q_ {L} ^ {2}}}}}}} \ ,,}$

donde Q _L = ω ′ ₀ L/Res el factor de calidad de la bobina. Esto puede aproximarse bien

${\ Displaystyle \ omega _ {\ mathrm {m}} \ approx \ omega '_ {0} {\ sqrt {1 - {\ frac {1} {2Q_ {L} ^ {4}}}}} \ ,. }$

Además, la magnitud de impedancia máxima exacta viene dada por

${\ Displaystyle | Z | _ {\ mathrm {max}} = RQ_ {L} ^ {2} {\ sqrt {\ frac {1} {2Q_ {L} {\ sqrt {Q_ {L} ^ {2} + 2}} - 2Q_ {L} ^ {2} -1}}} \ ,.}$

Para valores de Q _L mayores que la unidad, esto puede aproximarse bien por

${\ Displaystyle | Z | _ {\ mathrm {max}} \ approx {RQ_ {L} ^ {2}} \ ,.}$

Figura 5. Circuito en serie RLC con resistencia en paralelo con el condensador

Del mismo modo, se puede utilizar una resistencia en paralelo con el condensador en un circuito LC en serie para representar un condensador con un dieléctrico con pérdidas. Esta configuración se muestra en la Figura 5. La frecuencia de resonancia (frecuencia a la que la impedancia tiene una parte imaginaria cero) en este caso viene dada por

${\ Displaystyle \ omega _ {0} = {\ sqrt {{\ frac {1} {LC}} - {\ frac {1} {(RC) ^ {2}}}}} \ ,,}$

mientras que la frecuencia ω _m a la que la magnitud de impedancia es mínima viene dada por

${\ Displaystyle \ omega _ {\ mathrm {m}} = \ omega '_ {0} {\ sqrt {- {\ frac {1} {Q_ {C} ^ {2}}} + {\ sqrt {1+ {\ frac {2} {Q_ {C} ^ {2}}}}}}} \ ,,}$

donde Q _C = ω ′ ₀ RC .

Historia

La primera evidencia de que un condensador podría producir oscilaciones eléctricas fue descubierta en 1826 por el científico francés Felix Savary . Descubrió que cuando se descargaba un frasco de Leyden a través de un alambre enrollado alrededor de una aguja de hierro, a veces la aguja quedaba magnetizada en una dirección y otras veces en la dirección opuesta. Dedujo correctamente que esto fue causado por una corriente de descarga oscilante amortiguada en el cable, que invirtió la magnetización de la aguja hacia adelante y hacia atrás hasta que fue demasiado pequeña para tener un efecto, dejando la aguja magnetizada en una dirección aleatoria.

El físico estadounidense Joseph Henry repitió el experimento de Savary en 1842 y llegó a la misma conclusión, aparentemente de forma independiente. El científico británico William Thomson (Lord Kelvin) en 1853 demostró matemáticamente que la descarga de una jarra de Leyden a través de una inductancia debería ser oscilatoria y derivó su frecuencia resonante.

El investigador de radio británico Oliver Lodge , al descargar una gran batería de frascos de Leyden a través de un cable largo, creó un circuito sintonizado con su frecuencia de resonancia en el rango de audio, que produjo un tono musical de la chispa cuando se descargó. En 1857, el físico alemán Berend Wilhelm Feddersen fotografió la chispa producida por un circuito de jarra de Leyden resonante en un espejo giratorio, proporcionando evidencia visible de las oscilaciones. En 1868, el físico escocés James Clerk Maxwell calculó el efecto de aplicar una corriente alterna a un circuito con inductancia y capacitancia, mostrando que la respuesta es máxima en la frecuencia resonante.

El primer ejemplo de una curva de resonancia eléctrica fue publicado en 1887 por el físico alemán Heinrich Hertz en su artículo pionero sobre el descubrimiento de ondas de radio, que muestra la longitud de la chispa que se puede obtener de sus detectores de resonador LC de chispa en función de la frecuencia.

Una de las primeras demostraciones de resonancia entre circuitos sintonizados fue el experimento de "jarras sintónicas" de Lodge alrededor de 1889. Colocó dos circuitos resonantes uno al lado del otro, cada uno de los cuales consistía en una jarra de Leyden conectada a una bobina ajustable de una vuelta con un espacio de chispa. Cuando se aplicó un alto voltaje de una bobina de inducción a un circuito sintonizado, creando chispas y, por lo tanto, corrientes oscilantes, las chispas se excitaron en el otro circuito sintonizado solo cuando los inductores se ajustaron a resonancia. Lodge y algunos científicos ingleses prefirieron el término " sintonía " para este efecto, pero el término " resonancia " finalmente se mantuvo.

El primer uso práctico de los circuitos RLC fue en la década de 1890 en transmisores de radio de chispa para permitir que el receptor se sintonizara con el transmisor. La primera patente para un sistema de radio que permitía la sintonización fue presentada por Lodge en 1897, aunque los primeros sistemas prácticos fueron inventados en 1900 por el pionero de la radio anglo-italiano Guglielmo Marconi .

Aplicaciones

Circuitos sintonizados variables

Un uso muy frecuente de estos circuitos es en los circuitos de sintonización de radios analógicas. La sintonización ajustable se logra comúnmente con un capacitor variable de placa paralela que permite cambiar el valor de C y sintonizar estaciones en diferentes frecuencias. Para la etapa de FI en el radio donde la afinación está preestablecido en la fábrica, la solución más habitual es un núcleo ajustable en el inductor para ajustar L . En este diseño, el núcleo (hecho de un material de alta permeabilidad que tiene el efecto de aumentar la inductancia) está roscado de modo que se pueda atornillar más adentro o más afuera del devanado del inductor según sea necesario.

Filtros

Figura 6. Circuito RLC como filtro de paso bajo	Figura 7. Circuito RLC como filtro de paso alto
Figura 8. Circuito RLC como filtro de paso de banda en serie en serie con la línea	Figura 9. Circuito RLC como filtro de paso de banda paralelo en derivación a través de la línea
Figura 10. Circuito RLC como filtro de parada de banda en serie en derivación a través de la línea	Figura 11. Circuito RLC como filtro de parada de banda paralelo en serie con la línea

En la aplicación de filtrado, la resistencia se convierte en la carga en la que está trabajando el filtro. El valor del factor de amortiguación se elige en función del ancho de banda deseado del filtro. Para un ancho de banda más amplio, se requiere un valor mayor del factor de amortiguación (y viceversa). Los tres componentes dan al diseñador tres grados de libertad. Se requieren dos de estos para establecer el ancho de banda y la frecuencia de resonancia. El diseñador todavía se queda con uno que se puede utilizar para escalar R , L y C a valores prácticos convenientes. Alternativamente, R puede estar predeterminado por la circuitería externa que utilizará el último grado de libertad.

Filtro de paso bajo

Se puede utilizar un circuito RLC como filtro de paso bajo. La configuración del circuito se muestra en la Figura 6. La frecuencia de esquina, es decir, la frecuencia del punto de 3 dB, viene dada por

${\ Displaystyle \ omega _ {\ mathrm {c}} = {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}} \ ,.}$

Este también es el ancho de banda del filtro. El factor de amortiguación viene dado por

${\ Displaystyle \ zeta = {\ frac {1} {2R_ {L}}} {\ sqrt {\ frac {L} {C}}} \ ,.}$

Filtro de paso alto

En la Figura 7 se muestra un filtro de paso alto. La frecuencia de esquina es la misma que la del filtro de paso bajo:

${\ Displaystyle \ omega _ {\ mathrm {c}} = {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}} \ ,.}$

El filtro tiene una banda de parada de este ancho.

Filtro de paso de banda

Se puede formar un filtro de paso de banda con un circuito RLC colocando un circuito LC en serie en serie con la resistencia de carga o bien colocando un circuito LC en paralelo en paralelo con la resistencia de carga. Estas disposiciones se muestran en las Figuras 8 y 9 respectivamente. La frecuencia central está dada por

${\ Displaystyle \ omega _ {\ mathrm {c}} = {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}} \ ,,}$

y el ancho de banda para el circuito en serie es

${\ Displaystyle \ Delta \ omega = {\ frac {R_ {L}} {L}} \ ,.}$

La versión en derivación del circuito está diseñada para ser impulsada por una fuente de alta impedancia, es decir, una fuente de corriente constante. En esas condiciones, el ancho de banda es

${\ Displaystyle \ Delta \ omega = {\ frac {1} {CR_ {L}}} \ ,.}$

Filtro de parada de banda

La Figura 10 muestra un filtro de parada de banda formado por un circuito LC en serie en derivación a través de la carga. La figura 11 es un filtro de parada de banda formado por un circuito LC paralelo en serie con la carga. El primer caso requiere una fuente de alta impedancia para que la corriente se desvíe hacia el resonador cuando se vuelve de baja impedancia en la resonancia. El segundo caso requiere una fuente de baja impedancia para que el voltaje caiga a través del antiresonador cuando se vuelva alta impedancia en resonancia.

Osciladores

Para aplicaciones en circuitos de oscilador, generalmente es deseable hacer que la atenuación (o de manera equivalente, el factor de amortiguación) sea lo más pequeña posible. En la práctica, este objetivo requiere hacer que la resistencia R del circuito sea lo más pequeña físicamente posible para un circuito en serie o, alternativamente, aumentar R tanto como sea posible para un circuito en paralelo. En cualquier caso, el circuito RLC se convierte en una buena aproximación a un circuito LC ideal . Sin embargo, para circuitos de atenuación muy baja ( factor Q alto), problemas como las pérdidas dieléctricas de bobinas y condensadores pueden volverse importantes.

En un circuito oscilador

${\ Displaystyle \ alpha \ ll \ omega _ {0} \ ,,}$

o equivalente

${\ Displaystyle \ zeta \ ll 1 \ ,.}$

Como resultado,

${\ Displaystyle \ omega _ {\ mathrm {d}} \ approx \ omega _ {0} \ ,.}$

Multiplicador de voltaje

En un circuito RLC en serie en resonancia, la corriente está limitada solo por la resistencia del circuito

${\ Displaystyle I = {\ frac {V} {R}} \ ,.}$

Si R es pequeño, y consiste solo en la resistencia del devanado del inductor, por ejemplo, esta corriente será grande. Caerá un voltaje a través del inductor de

${\ Displaystyle V_ {L} = {\ frac {V} {R}} \ omega _ {0} L \ ,.}$

También se verá un voltaje de igual magnitud a través del capacitor pero en antifase del inductor. Si R se puede hacer lo suficientemente pequeño, estos voltajes pueden ser varias veces el voltaje de entrada. La relación de voltaje es, de hecho, la Q del circuito,

${\ Displaystyle {\ frac {V_ {L}} {V}} = Q \ ,.}$

Se observa un efecto similar con las corrientes en el circuito paralelo. Aunque el circuito parece tener una alta impedancia para la fuente externa, hay una gran corriente circulando en el bucle interno del inductor y condensador en paralelo.

Circuito de descarga de pulsos

Se puede utilizar un circuito RLC en serie sobreamortiguado como circuito de descarga de pulsos. A menudo es útil conocer los valores de los componentes que podrían usarse para producir una forma de onda. Esto se describe mediante el formulario

${\ Displaystyle I (t) = I_ {0} \ left (\, e ^ {- \ alpha \, t} -e ^ {- \ beta \, t} \ right) \ ,.}$

Dicho circuito podría consistir en un condensador de almacenamiento de energía, una carga en forma de resistencia, alguna inductancia del circuito y un interruptor, todo en serie. Las condiciones iniciales son que el capacitor está en voltaje, V ₀ , y no hay corriente fluyendo en el inductor. Si se conoce la inductancia L , entonces los parámetros restantes vienen dados por lo siguiente: capacitancia:

${\ Displaystyle C = {\ frac {1} {~ L \, \ alpha \, \ beta \, ~}} \ ,,}$

resistencia (total de circuito y carga):

${\ Displaystyle R = L \, (\, \ alpha + \ beta \,) \ ,,}$

Voltaje terminal inicial del condensador:

${\ Displaystyle V_ {0} = - I_ {0} L \, \ alpha \, \ beta \, \ left ({\ frac {1} {\ beta}} - {\ frac {1} {\ alpha}} \Derecha)\,.}$

Reordenamiento para el caso donde se conoce R - capacitancia:

${\ Displaystyle C = {\ frac {~ \ alpha + \ beta ~} {R \, \ alpha \, \ beta}} \ ,,}$

inductancia (total de circuito y carga):

${\ Displaystyle L = {\ frac {R} {\, \ alpha + \ beta ~}} \ ,,}$

Voltaje terminal inicial del condensador:

${\ Displaystyle V_ {0} = {\ frac {\, - I_ {0} R \, \ alpha \, \ beta ~} {\ alpha + \ beta}} \ left ({\ frac {1} {\ beta }} - {\ frac {1} {\ alpha}} \ right) \ ,.}$

Ver también

• Circuito RC
• Circuito RL
• Circuito lineal

Referencias

Bibliografía

• Agarwal, Anant; Lang, Jeffrey H. (2005). Fundamentos de circuitos electrónicos analógicos y digitales . Morgan Kaufmann. ISBN 1-55860-735-8.
• Humar, JL (2002). Dinámica de estructuras . Taylor y Francis. ISBN 90-5809-245-3.
• Irwin, J. David (2006). Análisis de circuitos de ingeniería básica . Wiley. ISBN 7-302-13021-3.
• Kaiser, Kenneth L. (2004). Manual de compatibilidad electromagnética . Prensa CRC. ISBN 0-8493-2087-9.
• Nilsson, James William; Riedel, Susan A. (2008). Circuitos eléctricos . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-198925-2.