Filtros de síntesis de red - Network synthesis filters
Los filtros de síntesis de red son filtros de procesamiento de señales diseñados por el método de síntesis de red . El método ha producido varias clases importantes de filtro, incluido el filtro Butterworth , el filtro Chebyshev y el filtro elíptico . Originalmente se pensó para ser aplicado al diseño de filtros analógicos lineales pasivos pero sus resultados también se pueden aplicar a implementaciones en filtros activos y filtros digitales . La esencia del método es obtener los valores de los componentes del filtro a partir de una función racional dada que representa la función de transferencia deseada .
Descripción del método
El método puede verse como el problema inverso del análisis de redes . El análisis de red comienza con una red y, aplicando los diversos teoremas de circuitos eléctricos, predice la respuesta de la red. La síntesis de red, por otro lado, comienza con una respuesta deseada y sus métodos producen una red que genera, o se aproxima a, esa respuesta.
Originalmente, la síntesis de red estaba destinada a producir filtros del tipo que antes se describía como filtros de ondas, pero que ahora se denominan simplemente filtros. Es decir, filtros cuya finalidad es hacer pasar ondas de determinadas frecuencias mientras rechazan ondas de otras frecuencias. La síntesis de red comienza con una especificación de la función de transferencia del filtro, H (s), en función de la frecuencia compleja , s. Esto se utiliza para generar una expresión para la impedancia de entrada del filtro (la impedancia del punto de activación) que luego, mediante un proceso de expansión continua de fracción o fracción parcial, da como resultado los valores requeridos de los componentes del filtro. En una implementación digital de un filtro, H (s) se pueden implementar directamente.
Las ventajas del método se comprenden mejor comparándolo con la metodología de diseño de filtros que se utilizó antes, el método de imagen . El método de imagen considera las características de una sección de filtro individual en una cadena infinita ( topología de escalera ) de secciones idénticas. Los filtros producidos por este método adolecen de inexactitudes debido a que la impedancia de terminación teórica, la impedancia de la imagen , no es generalmente igual a la impedancia de terminación real. Con los filtros de síntesis de red, las terminaciones se incluyen en el diseño desde el principio. El método de la imagen también requiere cierta experiencia por parte del diseñador. El diseñador primero debe decidir cuántas secciones y de qué tipo se deben usar, y luego, después del cálculo, obtendrá la función de transferencia del filtro. Puede que esto no sea lo que se requiere y puede haber varias iteraciones. El método de síntesis de red, por otro lado, comienza con la función requerida y genera como salida las secciones necesarias para construir el filtro correspondiente.
En general, las secciones de un filtro de síntesis de red son de topología idéntica (generalmente el tipo de escalera más simple) pero se utilizan valores de componentes diferentes en cada sección. Por el contrario, la estructura de un filtro de imagen tiene valores idénticos en cada sección, como consecuencia del enfoque de la cadena infinita, pero puede variar la topología de una sección a otra para lograr varias características deseables. Ambos métodos utilizan filtros prototipo de paso bajo seguidos de transformaciones de frecuencia y escalado de impedancia para llegar al filtro final deseado.
Clases de filtros importantes
Filtros electrónicos analógicos lineales |
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Filtros simples
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La clase de un filtro se refiere a la clase de polinomios de los que se deriva matemáticamente el filtro. El orden del filtro es el número de elementos de filtro presentes en la implementación de escalera del filtro. En términos generales, cuanto mayor sea el orden del filtro, más pronunciada será la transición de corte entre la banda de paso y la banda de parada. Los filtros a menudo reciben el nombre del matemático o las matemáticas en las que se basan más que del descubridor o inventor del filtro.
Filtro de Butterworth
Los filtros Butterworth se describen como máximamente planos, lo que significa que la respuesta en el dominio de la frecuencia es la curva más suave posible de cualquier clase de filtro del orden equivalente.
La clase de filtro Butterworth fue descrita por primera vez en un artículo de 1930 por el ingeniero británico Stephen Butterworth, de quien lleva su nombre. La respuesta del filtro se describe mediante polinomios de Butterworth , también debido a Butterworth.
Filtro Chebyshev
Un filtro Chebyshev tiene una transición de corte más rápida que un Butterworth, pero a expensas de que haya ondas en la respuesta de frecuencia de la banda de paso. Existe un compromiso entre la atenuación máxima permitida en la banda de paso y la inclinación de la respuesta de corte. Esto a veces también se denomina Chebyshev de tipo I, siendo el tipo 2 un filtro sin ondulación en la banda de paso, pero con ondulaciones en la banda de parada. El filtro lleva el nombre de Pafnuty Chebyshev, cuyos polinomios de Chebyshev se utilizan en la derivación de la función de transferencia.
Filtro Cauer
Los filtros Cauer tienen la misma ondulación máxima en la banda de paso y la banda de parada. El filtro Cauer tiene una transición más rápida de la banda de paso a la banda de supresión que cualquier otra clase de filtro de síntesis de red. El término filtro Cauer se puede usar indistintamente con filtro elíptico, pero el caso general de los filtros elípticos puede tener ondulaciones desiguales en la banda de paso y la banda de parada. Un filtro elíptico en el límite de ondulación cero en la banda de paso es idéntico a un filtro Chebyshev Tipo 2. Un filtro elíptico en el límite de ondulación cero en la banda de supresión es idéntico a un filtro Chebyshev Tipo 1. Un filtro elíptico en el límite de ondulación cero en ambas bandas de paso es idéntico a un filtro Butterworth. El filtro lleva el nombre de Wilhelm Cauer y la función de transferencia se basa en funciones racionales elípticas . Los filtros de tipo Cauer utilizan fracciones continuas generalizadas .
Filtro de Bessel
El filtro de Bessel tiene un retardo de tiempo máximo plano ( retardo de grupo ) sobre su banda de paso. Esto le da al filtro una respuesta de fase lineal y da como resultado que pase formas de onda con una distorsión mínima. El filtro Bessel tiene una distorsión mínima en el dominio del tiempo debido a la respuesta de fase con la frecuencia a diferencia del filtro Butterworth que tiene una distorsión mínima en el dominio de la frecuencia debido a la respuesta de atenuación con la frecuencia. El filtro de Bessel lleva el nombre de Friedrich Bessel y la función de transferencia se basa en polinomios de Bessel .
Impedancia del punto de conducción
La impedancia del punto de activación es una representación matemática de la impedancia de entrada de un filtro en el dominio de la frecuencia utilizando una de varias notaciones, como la transformada de Laplace (dominio s) o la transformada de Fourier ( dominio jω ). Tratándola como una red de un puerto , la expresión se expande utilizando expansiones de fracciones continuas o parciales . La expansión resultante se transforma en una red (generalmente una red en escalera) de elementos eléctricos. Tomar una salida del final de esta red, así realizada, la transformará en un filtro de red de dos puertos con la función de transferencia deseada.
No todas las funciones matemáticas posibles para la impedancia del punto de activación se pueden realizar utilizando componentes eléctricos reales. Wilhelm Cauer (siguiendo a RM Foster ) hizo gran parte del trabajo inicial sobre qué funciones matemáticas podían realizarse y en qué topologías de filtro . La ubicua topología en escalera del diseño de filtros lleva el nombre de Cauer.
Hay una serie de formas canónicas de impedancia de punto de conducción que se pueden utilizar para expresar todas las impedancias realizables (excepto las más simples). Los más conocidos son;
- La primera forma de impedancia de punto de conducción de Cauer consiste en una escalera de condensadores de derivación e inductores en serie y es más útil para filtros de paso bajo .
- La segunda forma de impedancia de punto de conducción de Cauer consiste en una escalera de condensadores en serie e inductores de derivación y es más útil para filtros de paso alto .
- La primera forma de impedancia de punto de activación de Foster consiste en resonadores LC conectados en paralelo (circuitos LC en serie) y es más útil para filtros de paso de banda .
- La segunda forma de impedancia de punto de activación de Foster consiste en antirresonadores LC conectados en serie (circuitos LC paralelos) y es más útil para filtros de parada de banda .
Otto Brune en 1931 y Richard Duffin con Raoul Bott en 1949 realizaron más trabajos teóricos sobre filtros realizables en términos de una función racional dada como función de transferencia. El trabajo fue resumido en 2010 por John H. Hubbard . Cuando una función de transferencia se especifica como una función real positiva (el conjunto de números reales positivos es invariante bajo la función de transferencia), entonces se puede diseñar una red de componentes pasivos (resistencias, inductores y capacitores) con esa función de transferencia.
Filtros prototipo
Los filtros prototipo se utilizan para hacer que el proceso de diseño de filtros requiera menos mano de obra. El prototipo generalmente está diseñado para ser un filtro de paso bajo de impedancia nominal unitaria y frecuencia de corte unitaria , aunque son posibles otros esquemas. Los cálculos de diseño completos de las funciones matemáticas y polinomios relevantes se llevan a cabo solo una vez. El filtro real requerido se obtiene mediante un proceso de escalado y transformación del prototipo.
Los valores de los elementos prototipo se publican en tablas, una de las primeras se debe a Sidney Darlington . Tanto la potencia informática moderna como la práctica de implementar directamente las funciones de transferencia de filtros en el dominio digital han hecho que esta práctica sea en gran medida obsoleta.
Se requiere un prototipo diferente para cada orden de filtro en cada clase. Para aquellas clases en las que hay ondulación de atenuación, se requiere un prototipo diferente para cada valor de ondulación. El mismo prototipo se puede utilizar para producir filtros que tienen una forma de banda diferente a la del prototipo. Por ejemplo paso bajo , paso alto , de paso de banda y de banda eliminada todos los filtros pueden ser producidos a partir del mismo prototipo.
Ver también
Notas
Referencias
- Matthaei, Young, Jones, filtros de microondas, redes de coincidencia de impedancia y estructuras de acoplamiento , McGraw-Hill 1964.
- E. Cauer, W. Mathis y R. Pauli, "Life and Work of Wilhelm Cauer (1900-1945)", Actas del XIV Simposio Internacional de Teoría Matemática de Redes y Sistemas (MTNS2000) , Perpignan, junio de 2000. Consultado en línea el 19 de septiembre de 2008.