Lista de demostraciones probabilísticas de teoremas no probabilísticos - List of probabilistic proofs of non-probabilistic theorems
La teoría de la probabilidad utiliza habitualmente resultados de otros campos de las matemáticas (principalmente, análisis). Los casos opuestos, recopilados a continuación, son relativamente raros; sin embargo, la teoría de la probabilidad se usa sistemáticamente en combinatoria a través del método probabilístico . Se utilizan especialmente para pruebas no constructivas .
Análisis
- Existen números normales . Además, existen números normales computables . Estos teoremas de existencia no probabilística se derivan de resultados probabilísticos: (a) un número elegido al azar (uniformemente en (0,1)) es normal casi con seguridad (lo que se sigue fácilmente de la ley fuerte de los grandes números ); (b) algunas desigualdades probabilísticas detrás de la ley fuerte. La existencia de un número normal se deriva de (a) inmediatamente. La prueba de la existencia de números normales computables, basada en (b), implica argumentos adicionales. Todas las pruebas conocidas utilizan argumentos probabilísticos.
- El teorema de Dvoretzky, que establece que los cuerpos convexos de alta dimensión tienen cortes en forma de bola, está probado probabilísticamente. No se conoce ninguna construcción determinista, incluso para muchos cuerpos específicos.
- El diámetro del compactum de Banach-Mazur se calculó mediante una construcción probabilística. No se conoce ninguna construcción determinista.
- La prueba original a la que no se puede extender la desigualdad de Hausdorff-Young es probabilística. La demostración del teorema de Leeuw-Kahane-Katznelson (que es una afirmación más sólida) es parcialmente probabilística.
- La primera construcción de un set de Salem fue probabilística. Sólo en 1981 Kaufman dio una construcción determinista.
- Cada función continua en un intervalo compacto puede aproximarse uniformemente mediante polinomios, que es el teorema de aproximación de Weierstrass . Una prueba probabilística usa la ley débil de los grandes números . Las pruebas no probabilísticas estaban disponibles antes.
- La existencia de una función continua no diferenciable en ninguna parte se deriva fácilmente de las propiedades del proceso de Wiener . Una prueba no probabilística estaba disponible anteriormente.
- La fórmula de Stirling fue descubierta por primera vez por Abraham de Moivre en su " La Doctrina de las Oportunidades " (con una constante identificada más tarde por Stirling) para ser utilizada en la teoría de la probabilidad. En el siglo XX se encontraron varias pruebas probabilísticas de la fórmula de Stirling (y resultados relacionados).
- Las únicas funciones armónicas acotadas definidas en todo el plano son funciones constantes por el teorema de Liouville . Es bien conocida una prueba probabilística a través del movimiento browniano bidimensional . Las pruebas no probabilísticas estaban disponibles antes.
- Los valores límite no tangenciales de una función analítica o armónica existen en casi todos los puntos límite de delimitación no tangencial. Este resultado ( teorema de Privalov ), y varios resultados de este tipo, se deducen de la convergencia martingala . Las pruebas no probabilísticas estaban disponibles antes.
- El principio de frontera de Harnack se demuestra usando el movimiento browniano (ver también). Las pruebas no probabilísticas estaban disponibles antes.
- Basilea suma de Euler , puede demostrarse considerando el tiempo de salida prevista del movimiento browniano plana desde una tira infinita. Varias otras identidades menos conocidas se pueden deducir de manera similar.
- El teorema de Picard se puede demostrar usando las propiedades de bobinado del movimiento browniano planar.
- El hecho de que cada función de Lipschitz en la línea real sea diferenciable en casi todas partes puede demostrarse utilizando la convergencia martingala .
- La fórmula de inversión multidimensional de Fourier se puede establecer mediante la ley débil de los grandes números y algunos resultados elementales de un análisis complejo.
Combinatoria
- Varios teoremas que establecen la existencia de gráficos (y otras estructuras discretas) con las propiedades deseadas se prueban mediante el método probabilístico . Hay pruebas no probabilísticas disponibles para algunos de ellos.
- La identidad de máximos-mínimos admite una prueba probabilística.
- La desigualdad del número de cruces, que es un límite inferior en el número de cruces para cualquier dibujo de un gráfico en función del número de vértices, aristas que tiene el gráfico.
Álgebra
- El teorema fundamental del álgebra se puede demostrar usando el movimiento browniano bidimensional. Las pruebas no probabilísticas estaban disponibles antes.
- El teorema del índice para complejos elípticos se demuestra utilizando métodos probabilísticos (en lugar de métodos de ecuación de calor). Antes se disponía de una prueba no probabilística.
Topología y geometría
- Un límite suave es evidentemente de dos lados, pero un límite no uniforme (especialmente, fractal) puede ser bastante complicado. Se conjeturaba que tenía dos caras en el sentido de que la proyección natural del límite de Martin hacia el límite topológico es como máximo de 2 a 1 en casi todas partes. Esta conjetura se prueba usando movimiento browniano , tiempo local , integración estocástica , acoplamiento , hipercontractividad, etc. (ver también). Una prueba no probabilística se encuentra 18 años después.
- La desigualdad del toro de Loewner relaciona el área de una superficie compacta (topológicamente, un toro) con su sístole . Se puede demostrar más fácilmente utilizando la noción probabilística de varianza . Antes se disponía de una prueba no probabilística.
- El teorema de semiespacio débil para superficies mínimas establece que cualquier superficie mínima completa de curvatura limitada que no sea un plano no está contenida en ningún semiespacio. Este teorema se demuestra mediante un acoplamiento entre movimientos brownianos en superficies mínimas. Antes se disponía de una prueba no probabilística.
Teoría de los números
- El teorema del número normal (1909), debido a Émile Borel , podría ser uno de los primeros ejemplos del método probabilístico , proporcionando la primera prueba de existencia de números normales, con la ayuda de la primera versión de la ley fuerte de los grandes números ( ver también el primer elemento de la sección Análisis ).
- Las identidades de Rogers-Ramanujan se prueban utilizando cadenas de Markov . Antes se disponía de una prueba no probabilística.
Teoría cuántica
- La dinámica no conmutativa (también llamada dinámica cuántica) se formula en términos de álgebras de Von Neumann y productos tensoriales continuos de los espacios de Hilbert . Varios resultados (por ejemplo, un continuo de modelos mutuamente no isomorfos) se obtienen por medios probabilísticos ( conjuntos compactos aleatorios y movimiento browniano ). Una parte de esta teoría (los llamados sistemas de tipo III) está traducida al lenguaje analítico y se está desarrollando analíticamente; la otra parte (los llamados sistemas de tipo II) existe todavía en el lenguaje probabilístico solamente.
- Los estados cuánticos tripartitos pueden conducir a grandes violaciones arbitrarias de las desigualdades de Bell (en marcado contraste con el caso bipartito). La prueba usa matrices unitarias aleatorias. No hay otra prueba disponible.
Teoría de la información
- La prueba de Shannon 's codificación de canal teorema utiliza azar de codificación para mostrar la existencia de un código que alcanza la capacidad del canal .