Problema de escape estrecho - Narrow escape problem

El problema del escape estrecho es un problema omnipresente en biología , biofísica y biología celular .

La formulación matemática es la siguiente: una partícula browniana ( ión , molécula o proteína ) está confinada a un dominio limitado (un compartimento o una celda) por un límite reflectante, excepto por una pequeña ventana a través de la cual puede escapar. El problema de escape estrecho es el de calcular el tiempo medio de escape. Este tiempo diverge a medida que la ventana se contrae, lo que convierte el cálculo en un problema de perturbación singular .

Cuando el escape es aún más estricto debido a las severas restricciones geométricas en el lugar de escape, el problema del escape estrecho se convierte en el problema del estrecho estrecho .

El problema del escape estrecho fue propuesto en el contexto de la biología y la biofísica por D. Holcman y Z. Schuss, y más tarde con A. Singer, y condujo a la teoría del escape estrecho en matemáticas aplicadas y biología computacional .

Formulación

El movimiento de una partícula se describe mediante el límite de Smoluchowski de la ecuación de Langevin :

${\ Displaystyle dX_ {t} = {\ sqrt {2D}} \, dB_ {t} + {\ frac {1} {\ gamma}} F (x) dt}$

donde es el coeficiente de difusión de la partícula, es el coeficiente de fricción por unidad de masa, la fuerza por unidad de masa y es un movimiento browniano . ${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle F (x)}$${\ Displaystyle B_ {t}}$

Tiempo medio del primer paso y ecuación de Fokker-Planck

Una pregunta común es estimar el tiempo medio de permanencia de una partícula que se difunde en un dominio limitado antes de escapar a través de una pequeña ventana absorbente en su límite . El tiempo se estima asintóticamente en el límite${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ parcial \ Omega _ {a}}$${\ Displaystyle \ parcial \ Omega}$${\ Displaystyle \ varepsilon = {\ frac {| \ parcial \ Omega _ {a} |} {| \ parcial \ Omega |}} \ ll 1}$

La función de densidad de probabilidad (pdf) es la probabilidad de encontrar la partícula en la posición en el momento . ${\ Displaystyle p _ {\ varepsilon} (x, t)}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle t}$

El pdf satisface la ecuación de Fokker-Planck :

${\ Displaystyle {\ frac {\ Particular} {\ Partical t}} p _ {\ varepsilon} (x, t) = D \ Delta p _ {\ varepsilon} (x, t) - {\ frac {1} {\ gamma }} \ nabla (p _ {\ varepsilon} (x, t) F (x))}$

con condición inicial

${\ Displaystyle p _ {\ varepsilon} (x, 0) = \ rho _ {0} (x) \,}$

y condiciones de frontera mixtas de Dirichlet-Neumann ( ) ${\ Displaystyle t> 0}$

${\ Displaystyle p _ {\ varepsilon} (x, t) = 0 {\ text {para}} x \ in \ parcial \ Omega _ {a}}$

${\ Displaystyle D {\ frac {\ parcial} {\ parcial n}} p _ {\ varepsilon} (x, t) - {\ frac {p _ {\ varepsilon} (x, t)} {\ gamma}} F ( x) \ cdot n (x) = 0 {\ text {para}} x \ en \ parcial \ Omega - \ parcial \ Omega _ {a}}$

La función

${\ Displaystyle u _ {\ varepsilon} (y) = \ int _ {\ Omega} \ int _ {0} ^ {\ infty} p _ {\ varepsilon} (x, ty) \, dt \, dx}$

representa el tiempo medio de permanencia de la partícula, condicionado a la posición inicial . Es la solución del problema del valor en la frontera. ${\ Displaystyle y}$

${\ Displaystyle D \ Delta u _ {\ varepsilon} (y) + {\ frac {1} {\ gamma}} F (y) \ cdot \ nabla u _ {\ varepsilon} (y) = - 1}$

${\ Displaystyle u _ {\ varepsilon} (y) = 0 {\ text {para}} y \ in \ parcial \ Omega _ {a}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ parcial u _ {\ varepsilon} (y)} {\ parcial n}} = 0 {\ text {para}} y \ en \ parcial \ Omega _ {r}}$

La solución depende de la dimensión del dominio. Para una partícula que se difunde en un disco bidimensional

${\ Displaystyle u _ {\ varepsilon} (y) = {\ frac {A} {\ pi D}} \ ln {\ frac {1} {\ varepsilon}} + O (1),}$

donde está la superficie del dominio. La función no depende de la posición inicial , excepto por una pequeña capa límite cerca del límite absorbente debido a la forma asintótica. ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle u _ {\ epsilon} (y)}$${\ Displaystyle y}$

El término de primer orden importa en la dimensión 2: para un disco circular de radio , el tiempo medio de escape de una partícula que comienza en el centro es ${\ Displaystyle R}$

${\ displaystyle E (\ tau | x (0) = 0) = {\ frac {R ^ {2}} {D}} \ left (\ log \ left ({\ frac {1} {\ varepsilon}} \ derecha) + \ log 2 + {\ frac {1} {4}} + O (\ varepsilon) \ right).}$

El tiempo de escape promediado con respecto a una distribución inicial uniforme de la partícula viene dado por

${\ Displaystyle E (\ tau) = {\ frac {R ^ {2}} {D}} \ left (\ log \ left ({\ frac {1} {\ varepsilon}} \ right) + \ log 2+ {\ frac {1} {8}} + O (\ varepsilon) \ right).}$

La geometría de la pequeña abertura puede afectar el tiempo de escape: si la ventana absorbente está ubicada en una esquina del ángulo , entonces: ${\ Displaystyle \ alpha}$

${\ Displaystyle E \ tau = {\ frac {| \ Omega |} {\ alpha D}} \ left [\ log {\ frac {1} {\ varepsilon}} + O (1) \ right].}$

Más sorprendente, cerca de una cúspide en un dominio bidimensional, el tiempo de escape crece algebraicamente, en lugar de logarítmicamente: en el dominio limitado entre dos círculos tangentes, el tiempo de escape es: ${\ Displaystyle E \ tau}$

${\ Displaystyle E \ tau = {\ frac {| \ Omega |} {(d-1) D}} \ left ({\ frac {1} {\ varepsilon}} + O (1) \ right),}$

donde d > 1 es la relación de los radios. Finalmente, cuando el dominio es un anillo, el tiempo de escape a una pequeña abertura ubicada en el círculo interno involucra un segundo parámetro que es la relación entre los radios interno y externo, el tiempo de escape, promediado con respecto a una distribución inicial uniforme, es: ${\ Displaystyle \ beta = {\ frac {R_ {1}} {R_ {2}}} <1,}$

${\ Displaystyle E \ tau = {\ frac {(R_ {2} ^ {2} -R_ {1} ^ {2})} {D}} \ left [\ log {\ frac {1} {\ varepsilon} } + \ log 2 + 2 \ beta ^ {2} \ right] + {\ frac {1} {2}} {\ frac {R_ {2} ^ {2}} {1- \ beta ^ {2}} } \ log {\ frac {1} {\ beta}} - {\ frac {1} {4}} R_ {2} ^ {2} + O (\ varepsilon, \ beta ^ {4}) R_ {2} ^ {2}.}$

Esta ecuación contiene dos términos de la expansión asintótica de y es el ángulo del límite absorbente. El caso cercano a 1 permanece abierto, y para los dominios generales, la expansión asintótica del tiempo de escape sigue siendo un problema abierto. También lo hace el problema de calcular el tiempo de escape cerca de un punto de cúspide en dominios tridimensionales. Para el movimiento browniano en un campo de fuerza ${\ Displaystyle E \ tau}$${\ Displaystyle 2 \ epsilon}$${\ Displaystyle \ beta}$

${\ Displaystyle F (x) \ neq 0 \,}$

la brecha en el espectro no es necesariamente pequeña entre el primer y el segundo valor propio, dependiendo del tamaño relativo del pequeño orificio y las barreras de fuerza que la partícula debe superar para escapar. La corriente de escape no es necesariamente poissoniana .

Resultados analíticos

Un teorema que relaciona el problema de escape del movimiento browniano con un problema de ecuación diferencial parcial (determinista) es el siguiente.

Teorema. Sea un dominio acotado con límite suave y sea ​​un subconjunto cerrado de . Para cada uno , sea ​​la primera vez que una partícula golpea , asumiendo que la partícula comienza desde , está sujeta al movimiento browniano y se refleja desde . Entonces, el tiempo medio del primer paso , y su varianza , son soluciones de los siguientes problemas de valores de frontera:${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ parcial \ Omega}$${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle \ parcial \ Omega}$${\ Displaystyle x \ in \ Omega}$${\ Displaystyle \ tau _ {x}}$${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ parcial \ Omega}$${\ Displaystyle T (x): = \ mathbb {E} [\ tau _ {x}]}$${\ Displaystyle v (x): = \ mathbb {E} [(\ tau _ {x} -T (x)) ^ {2}]}$

${\ Displaystyle - \ Delta T = 2 {\ text {in}} \ Omega, {\ text {}} T = 0 {\ text {on}} \ Gamma, {\ text {}} \ parcial _ {n} T = 0 {\ text {on}} \ parcial \ Omega \ setminus \ Gamma}$

${\ Displaystyle - \ Delta v = 2 \ vert \ nabla T \ vert ^ {2} {\ text {in}} \ Omega, {\ text {}} v = 0 {\ text {on}} \ Gamma, { \ texto {}} \ parcial _ {n} v = 0 {\ texto {en}} \ parcial \ Omega \ setminus \ Gamma}$

Aquí está la derivada en la dirección , la normal exterior a Además, el promedio de la varianza se puede calcular a partir de la fórmula ${\ Displaystyle \ parcial _ {n}: = n \ cdot \ nabla}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ parcial \ Omega.}$

${\ Displaystyle {\ bar {v}}: = {\ frac {1} {\ vert \ Omega \ vert}} \ int _ {\ Omega} v (x) dx = {\ frac {1} {\ vert \ Omega \ vert}} \ int _ {\ Omega} T ^ {2} (x) dx =: T ^ {2}}$

La primera parte del teorema es un resultado clásico, mientras que la varianza promedio fue probada en 2011 por Carey Caginalp y Xinfu Chen.

El tiempo de escape ha sido objeto de varios estudios que utilizan la puerta pequeña como un parámetro asintóticamente pequeño. El siguiente resultado de forma cerrada da una solución exacta que confirma estas fórmulas asintóticas y las extiende a puertas que no son necesariamente pequeñas.

Teorema (fórmula cerrada de Carey Caginalp y Xinfu Chen). En 2-D, con puntos identificados por números complejos , deje

${\ Displaystyle \ Omega: = \ left \ {re ^ {i \ theta} \ vert 0 \ leq r <1, ​​{\ text {}} - \ varepsilon \ leq \ theta \ leq 2 \ pi - \ varepsilon \ right \}, {\ text {}} \ Gamma: = \ left \ {e ^ {i \ theta} \ vert \ vert \ theta \ vert \ leq \ varepsilon \ right \}}$

Entonces el tiempo medio del primer paso , pues , viene dado por${\ Displaystyle T (z)}$${\ Displaystyle z \ in {\ bar {\ Omega}}}$

${\ Displaystyle T (z) = {\ frac {1- \ vert z \ vert ^ {2}} {2}} + 2 \ log {\ left | {\ frac {1-z + {\ sqrt {(1- ze ^ {- i \ varepsilon}) (1-ze ^ {i \ varepsilon})}}} {2 \ sin {\ frac {\ varepsilon} {2}}}} \ right |}}$

Otro conjunto de resultados se refiere a la densidad de probabilidad de la ubicación de la salida.

Teorema (Densidad de probabilidad de Carey Caginalp y Xinfu Chen). La densidad de probabilidad de la ubicación de una partícula en el momento de su salida está dada por

${\ Displaystyle {\ bar {j}} (e ^ {i \ theta}): = - {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} T (e ^ {i \ theta}) = {\ begin {cases} 0, & {\ text {if}} \ varepsilon <\ theta <2 \ pi - \ varepsilon \\ {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ frac {\ cos {\ frac {\ theta} {2}}} {\ sqrt {\ sin ^ {2} {\ frac {\ varepsilon} {2}} - \ sin ^ {2} {\ frac { \ theta} {2}}}}}, & {\ text {if}} \ vert \ theta \ vert <\ varepsilon \ end {cases}}}$

Es decir, para cualquier ( conjunto de Borel ) , la probabilidad de que una partícula, comenzando en el origen o distribuida uniformemente hacia adentro , exhibiendo un movimiento browniano hacia adentro , reflejándose cuando golpea y escapando una vez que golpea , termine escapando es ${\ Displaystyle \ gamma \ subconjunto \ parcial \ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ parcial \ Omega \ setminus \ Gamma}$${\ Displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle \ gamma}$

${\ Displaystyle P (\ gamma) = \ int _ {\ gamma} {\ bar {j}} (y) dS_ {y}}$

donde es el elemento de superficie de at . ${\ Displaystyle dS_ {y}}$${\ Displaystyle \ parcial \ Omega}$${\ Displaystyle y \ en \ parcial \ Omega}$

Simulaciones de escape de movimiento browniano

En la simulación hay un error aleatorio debido al proceso de muestreo estadístico. Este error puede limitarse apelando al teorema del límite central y utilizando una gran cantidad de muestras. También hay un error de discretización debido a la aproximación de tamaño finito del tamaño del paso al aproximar el movimiento browniano. Entonces se pueden obtener resultados empíricos a medida que varían el tamaño del paso y el tamaño de la puerta. Usando el resultado exacto citado anteriormente para el caso particular del círculo, es posible hacer una comparación cuidadosa de la solución exacta con la solución numérica. Esto ilumina la distinción entre pasos finitos y difusión continua. También se obtuvo una distribución de las ubicaciones de salida mediante simulaciones de este problema.

Aplicaciones biologicas

Reacciones químicas estocásticas en microdominios

La velocidad de avance de las reacciones químicas es recíproca del tiempo de escape estrecho, que generaliza la fórmula clásica de Smoluchowski para partículas brownianas ubicadas en un medio infinito. Se puede utilizar una descripción de Markov para estimar la unión y desvinculación de un pequeño número de sitios.

Referencias

enlaces externos

• Matemáticas Aplicadas y Biología Computacional en Ecole Normale Superieure, París
• Publicaciones y conferencias de Carey Caginalp http://www.pitt.edu/~careycag/
• Documento Comptes Rendus http://www.pitt.edu/~careycag/paper1.pdf
• Papel ARMA http://www.pitt.edu/~careycag/paper2.pdf