Gráfico de Laves - Laves graph

El gráfico de Laves

En geometría y cristalografía , el gráfico de Laves es un gráfico simétrico cúbico infinito . Se puede incrustar en un espacio tridimensional , con coordenadas enteras, para formar una estructura con simetría quiral en la que las tres aristas de cada vértice forman ángulos de 120 ° entre sí. También se puede definir de forma más abstracta como un gráfico de cobertura del gráfico completo en cuatro vértices.

HSM Coxeter  ( 1955 ) nombró este gráfico en honor a Fritz Laves , quien escribió por primera vez sobre él como una estructura cristalina en 1932. También se le ha llamado cristal K ₄ , (10,3) -una red , gemelo de diamante , triamante y el srs net .

Construcciones

De la cuadrícula de enteros

El poliedro de sesgo regular en el que se puede inscribir el gráfico de Laves

Como describe Coxeter (1955) , los vértices del gráfico de Laves se pueden definir seleccionando uno de cada ocho puntos en el retículo de enteros tridimensionales y formando su gráfico vecino más cercano . Específicamente, uno elige los puntos

${\ Displaystyle (0,0,0), \ quad (1,2,3), \ quad (2,3,1), \ quad (3,1,2),}$

${\ Displaystyle (2,2,2), \ quad (3,0,1), \ quad (0,1,3), \ quad (1,3,0),}$

y todos los demás puntos que se pueden formar sumando múltiplos de cuatro a estas coordenadas. Los bordes de las Laves Gráfico de pares de conexión de los puntos cuya distancia euclidiana entre sí es la raíz cuadrada de dos , (estos pares difieren por una unidad en dos coordenadas, y son los mismos en la tercera coordenada). Los otros pares de vértices no adyacentes están más separados, a una distancia de al menos uno del otro. Los bordes del gráfico geométrico resultante son diagonales de un subconjunto de las caras del poliedro sesgado regular con seis caras cuadradas por vértice, por lo que el gráfico de Laves está incrustado en este poliedro sesgado. ${\ Displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ Displaystyle {\ sqrt {6}}}$

Es posible intercalar dos copias de la estructura, llenando un cuarto de los puntos de la celosía de enteros, preservando el hecho de que los vértices adyacentes son exactamente los pares de puntos que están separados por unidades, y todos los demás pares de puntos están más lejos. aparte. Las dos copias son imágenes especulares una de la otra. ${\ Displaystyle {\ sqrt {2}}}$

Como gráfico de cobertura

Como gráfico abstracto, el gráfico de Laves se puede construir como el gráfico de cobertura abeliano máximo del gráfico completo . Al ser un gráfico de cobertura de significa que hay un subgrupo matemático de simetrías del gráfico de Laves de modo que, cuando los vértices que son simétricos entre sí en este subgrupo se agrupan en las órbitas del subgrupo, hay cuatro órbitas, y cada par de Las órbitas están conectadas por los bordes del gráfico entre sí. Es decir, el gráfico cuyos vértices son órbitas y cuyos bordes son pares de órbitas adyacentes es exactamente . Ser un gráfico de cobertura abeliano significa que este subgrupo de simetrías es un grupo abeliano (en este caso, el grupo formado por la suma de vectores enteros tridimensionales ), y ser un gráfico de cobertura abeliano máximo significa que no hay otro gráfico de cobertura de participación. un grupo abeliano de dimensiones superiores. Esta construcción justifica uno de los nombres alternativos del gráfico de Laves, el cristal. ${\ Displaystyle K_ {4}}$${\ Displaystyle K_ {4}}$${\ Displaystyle K_ {4}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {3}}$${\ Displaystyle K_ {4}}$${\ Displaystyle K_ {4}}$

Una forma de construir un gráfico de cobertura abeliano máximo a partir de un gráfico más pequeño (en este caso ) es elegir un árbol de expansión de , sea ​​el número de aristas que no están en el árbol de expansión (en este caso, tres aristas que no son de árbol) y elegir una distinta vector unitario en cada uno de estos bordes no arbóreas. Luego, fija el conjunto de vértices del gráfico de cobertura para que sean los pares ordenados donde es un vértice de y es un vector en . Para cada uno de esos pares, y cada borde adyacente a in , haga un borde desde hasta donde es cero si pertenece al árbol de expansión y es, de lo contrario, el vector base asociado con , y donde el signo más o menos se elige de acuerdo con la dirección del borde se atraviesa. El gráfico resultante es independiente de la elección del árbol de expansión, y la misma construcción también se puede interpretar de manera más abstracta utilizando la teoría de la homología . ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle K_ {4}}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {d}}$${\ Displaystyle (v, w)}$${\ Displaystyle v}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle w}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {d}}$${\ displaystyle uv}$${\ Displaystyle v}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle (v, w)}$${\ Displaystyle (u, w \ pm \ epsilon)}$${\ Displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle uv}$${\ displaystyle uv}$

Usando la misma construcción, el mosaico hexagonal del plano es el gráfico de cobertura abeliano máximo del gráfico de dipolo de tres bordes , y el diamante cúbico es el gráfico de cobertura abeliana máximo del dipolo de cuatro bordes. El entramado de enteros -dimensional (con aristas de longitud unitaria) es el gráfico de cobertura abeliano máximo de un gráfico con un vértice y auto-bucles . ${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle d}$

Propiedades

La gráfica de Laves es una gráfica cúbica (hay exactamente tres aristas en cada vértice) y una gráfica simétrica (cada par incidente de un vértice y una arista se puede transformar en cualquier otro par mediante una simetría del gráfico). La circunferencia de esta estructura es 10 (los ciclos más cortos del gráfico tienen 10 vértices) y 15 de estos ciclos pasan por cada vértice.

Las celdas del diagrama de Voronoi de esta estructura son heptadecaedros con 17 caras cada una. Son plesioedros , poliedros que enlosan el espacio de forma isoédrica . Experimentar con las estructuras formadas por estos poliedros llevó a Alan Schoen a descubrir la superficie mínima del giroide .

Uno de los cuatro subgrafos inducidos cúbicos del gráfico de distancia unitaria en el entramado de enteros tridimensionales que tiene una circunferencia de 10 es isomorfo al gráfico de Laves.

Ejemplos físicos

Cristales moleculares

Los cálculos sugieren que el gráfico de Laves puede servir como patrón para un alótropo de carbono metaestable o quizás inestable . Al igual que el grafito , cada átomo de la estructura está unido a otros tres, pero en el grafito los átomos adyacentes tienen los mismos planos de enlace, mientras que en esta estructura los planos de enlace de los átomos adyacentes se retuercen entre sí alrededor de la línea formada por el Bond, con un ángulo de torsión de aproximadamente 70,5 °.

El gráfico de Laves también puede dar una estructura cristalina para el boro ; los cálculos predicen que esto debería ser estable. Otros productos químicos que pueden formar esta estructura incluyen SrSi ₂ y nitrógeno elemental .

Otro

La estructura del gráfico de Laves y de las superficies de los giroscopios derivadas de él también se ha observado experimentalmente en sistemas de agua y jabón y en las redes de quitina de escamas de alas de mariposa .

Referencias

enlaces externos

• Baez, John (14 de octubre de 2016), "Laves Graph" , Visual Insight , American Mathematical Society CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )