Notación de flecha hacia arriba de Knuth - Knuth's up-arrow notation

En matemáticas , la notación de flecha hacia arriba de Knuth es un método de notación para enteros muy grandes , introducido por Donald Knuth en 1976.

En su artículo de 1947, RL Goodstein introdujo la secuencia específica de operaciones que ahora se denominan hiperoperaciones . Goodstein también sugirió los nombres griegos tetration , pentation , etc., para las operaciones extendidas más allá de la exponenciación . La secuencia comienza con una operación unaria (la función sucesora con n = 0), y continúa con las operaciones binarias de suma ( n = 1), multiplicación ( n = 2), exponenciación ( n = 3), tetración ( n = 4 ), pentación ( n = 5), etc.

Se han utilizado varias notaciones para representar hiperoperaciones. Una de esas anotaciones es . Otra notación es una notación infija que es conveniente para ASCII . La notación se conoce como 'notación de corchetes'. ${\ Displaystyle H_ {n} (a, b)}$${\ Displaystyle a [n] b}$${\ Displaystyle a [n] b}$

La notación de flecha hacia arriba de Knuth es una notación alternativa. Se obtiene reemplazando en la notación de corchetes por flechas. ${\ Displaystyle \ uparrow}$${\ Displaystyle [n]}$${\ Displaystyle n-2}$

Por ejemplo:

• la flecha simple representa exponenciación (multiplicación iterada)${\ Displaystyle \ uparrow}$

${\ Displaystyle 2 \ uparrow 4 = H_ {3} (2,4) = 2 [3] 4 = 2 \ times (2 \ times (2 \ times 2)) = 2 ^ {4} = 16}$

• la flecha doble representa la tetración (exponenciación iterada)${\ Displaystyle \ uparrow \ uparrow}$

${\ displaystyle 2 \ uparrow \ uparrow 4 = H_ {4} (2,4) = 2 [4] 4 = 2 \ uparrow (2 \ uparrow (2 \ uparrow 2)) = 2 ^ {2 ^ {2 ^ { 2}}} = 2 ^ {16} = 65536}$

• la flecha triple representa la pentación (tetración iterada)${\ Displaystyle \ uparrow \ uparrow \ uparrow}$

${\ displaystyle {\ begin {alineado} 2 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 4 = H_ {5} (2,4) = 2 [5] 4 & = 2 \ uparrow \ uparrow (2 \ uparrow \ uparrow (2 \ uparrow \ uparrow 2)) \\ & = 2 \ uparrow \ uparrow (2 \ uparrow \ uparrow (2 \ uparrow 2)) \\ & = 2 \ uparrow \ uparrow (2 \ uparrow \ uparrow 4) \\ & = \ underbrace { 2 \ uparrow (2 \ uparrow (2 \ uparrow \ dots))} \\ & 2 \ uparrow \ uparrow 4 {\ mbox {copias de}} 2 \\\ end {alineado}}}$

La definición general de la notación de flecha hacia arriba es la siguiente (para ): ${\ Displaystyle a \ geq 0, n \ geq 1, b \ geq 0}$

${\ Displaystyle a \ uparrow ^ {n} b = H_ {n + 2} (a, b) = a [n + 2] b}$

Aquí, representa n flechas, por ejemplo ${\ Displaystyle \ uparrow ^ {n}}$

${\ Displaystyle 2 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow 3 = 2 \ uparrow ^ {4} 3}$.

Introducción

Las hiperoperaciones naturalmente extienden las operaciones aritméticas de suma y multiplicación de la siguiente manera.

La suma por un número natural se define como incremento iterado:

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} H_ {1} (a, b) = a [1] b = a + b = & a + \ underbrace {1 + 1 + \ dots +1} \\ & b {\ mbox {copias de}} 1 \ end {matriz}}}$

La multiplicación por un número natural se define como suma iterada :

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} H_ {2} (a, b) = a [2] b = a \ times b = & \ underbrace {a + a + \ dots + a} \\ & b {\ mbox {copias de}} a \ end {matriz}}}$

Por ejemplo,

${\ displaystyle {\ begin {matrix} 3 \ times 4 & = & \ underbrace {3 + 3 + 3 + 3} & = & 12 \\ && 4 {\ mbox {copias de}} 3 \ end {matrix}}}$

La exponenciación de una potencia natural se define como multiplicación iterada, que Knuth denota con una sola flecha hacia arriba: ${\ Displaystyle b}$

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} a \ uparrow b = H_ {3} (a, b) = a [3] b = a ^ {b} = & \ underbrace {a \ times a \ times \ dots \ times a} \\ & b {\ mbox {copias de}} a \ end {matriz}}}$

Por ejemplo,

${\ displaystyle {\ begin {matrix} 4 \ uparrow 3 = 4 ^ {3} = & \ underbrace {4 \ times 4 \ times 4} & = & 64 \\ & 3 {\ mbox {copias de}} 4 \ end { matriz}}}$

La tetración se define como exponenciación iterada, que Knuth denota con una "flecha doble":

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} a \ uparrow \ uparrow b = H_ {4} (a, b) = a [4] b = & \ underbrace {a ^ {a ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {a}}}}}}} & = & \ underbrace {a \ uparrow (a \ uparrow (\ dots \ uparrow a))} \\ & b {\ mbox {copias de }} a && b {\ mbox {copias de}} a \ end {matriz}}}$

Por ejemplo,

${\ displaystyle {\ begin {matrix} 4 \ uparrow \ uparrow 3 = & \ underbrace {4 ^ {4 ^ {4}}} & = & \ underbrace {4 \ uparrow (4 \ uparrow 4)} & = & 4 ^ {256} & \ approx & 1.34078079 \ times 10 ^ {154} & \\ & 3 {\ mbox {copias de}} 4 && 3 {\ mbox {copias de}} 4 \ end {matriz}}}$

Las expresiones se evalúan de derecha a izquierda, ya que los operadores se definen como asociativos por la derecha .

Según esta definición,

${\ Displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow 2 = 3 ^ {3} = 27}$

${\ Displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow 3 = 3 ^ {3 ^ {3}} = 3 ^ {27} = 7,625,597,484,987}$

${\ displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow 4 = 3 ^ {3 ^ {3 ^ {3}}} = 3 ^ {3 ^ {27}} = 3 ^ {7625597484987} \ aproximadamente 1,2580143 \ times 10 ^ {3638334640024}}$

${\ displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow 5 = 3 ^ {3 ^ {3 ^ {3 ^ {3}}}} = 3 ^ {3 ^ {3 ^ {27}}} = 3 ^ {3 ^ {7625597484987} } \ approx 3 ^ {1.2580143 \ times 10 ^ {3638334640024}}}$

etc.

Esto ya conduce a algunos números bastante grandes, pero la secuencia del hiperoperador no se detiene aquí.

La pentación , definida como tetración iterada, está representada por la "flecha triple":

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} a \ uparrow \ uparrow \ uparrow b = H_ {5} (a, b) = a [5] b = & \ underbrace {a _ {} \ uparrow \ uparrow (a \ uparrow \ uparrow (\ dots \ uparrow \ uparrow a))} \\ & b {\ mbox {copias de}} a \ end {matriz}}}$

La hexación , definida como pentación iterada, está representada por la "flecha cuádruple":

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} a \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b = H_ {6} (a, b) = a [6] b = & \ underbrace {a _ {} \ uparrow \ uparrow \ uparrow ( a \ uparrow \ uparrow \ uparrow (\ dots \ uparrow \ uparrow \ uparrow a))} \\ & b {\ mbox {copias de}} a \ end {matriz}}}$

etcétera. La regla general es que un operador de flecha se expande en una serie asociativa a la derecha de operadores de flecha ( ). Simbólicamente, ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n-1}$

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} a \ \ underbrace {\ uparrow _ {} \ uparrow \! \! \ dots \! \! \ uparrow} _ {n} \ b = \ underbrace {a \ \ underbrace {\ uparrow \! \! \ dots \! \! \ uparrow} _ {n-1} \ (a \ \ underbrace {\ uparrow _ {} \! \! \ dots \! \! \ uparrow} _ {n-1 } \ (\ dots \ \ underbrace {\ uparrow _ {} \! \! \ dots \! \! \ uparrow} _ {n-1} \ a))} _ {b {\ text {copias de}} a } \ end {matriz}}}$

Ejemplos:

${\ displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 2 = 3 \ uparrow \ uparrow 3 = 3 ^ {3 ^ {3}} = 3 ^ {27} = 7,625,597,484,987}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} 3 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 3 = 3 \ uparrow \ uparrow (3 \ uparrow \ uparrow 3) = 3 \ uparrow \ uparrow (3 \ uparrow 3 \ uparrow 3) = & \ underbrace {3 _ {} \ uparrow 3 \ uparrow \ dots \ uparrow 3} \\ & 3 \ uparrow 3 \ uparrow 3 {\ mbox {copias de}} 3 \ end {matrix}} {\ begin {matrix} = & \ underbrace { 3 _ {} \ uparrow 3 \ uparrow \ dots \ uparrow 3} \\ & {\ mbox {7,625,597,484,987 copias de 3}} \ end {matrix}} {\ begin {matrix} = & \ underbrace {3 ^ {3 ^ { 3 ^ {3 ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {3}}}}}}}}} \\ & {\ mbox {7,625,597,484,987 copias de 3}} \ end {matrix} }}$

Notación

En expresiones como , la notación para exponenciación es generalmente escribir el exponente como un superíndice al número base . Pero muchos entornos, como los lenguajes de programación y el correo electrónico de texto sin formato , no admiten la composición tipográfica en superíndice . La gente ha adoptado la notación lineal para tales entornos; la flecha hacia arriba sugiere "elevarse al poder de". Si el conjunto de caracteres no contiene una flecha hacia arriba, se usa el signo de intercalación (^) en su lugar. ${\ Displaystyle a ^ {b}}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle a \ uparrow b}$

La notación de superíndice no se presta bien a la generalización, lo que explica por qué Knuth eligió trabajar desde la notación en línea . ${\ Displaystyle a ^ {b}}$${\ Displaystyle a \ uparrow b}$

${\ Displaystyle a \ uparrow ^ {n} b}$es una notación alternativa más corta para nuparrows. Así . ${\ Displaystyle a \ uparrow ^ {4} b = a \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$

Las flechas de Knuth se han vuelto bastante populares, tal vez porque es un logotipo más fuerte que, por ejemplo . ${\ Displaystyle \ uparrow ^ {n}}$${\ Displaystyle [n]}$

Escribir notación de flecha hacia arriba en términos de potencias

Intentar escribir usando la notación de superíndice familiar da una torre de energía. ${\ Displaystyle a \ uparrow \ uparrow b}$

Por ejemplo: ${\ Displaystyle a \ uparrow \ uparrow 4 = a \ uparrow (a \ uparrow (a \ uparrow a)) = a ^ {a ^ {a ^ {a}}}}$

Si b es una variable (o es demasiado grande), la torre de energía podría escribirse con puntos y una nota que indique la altura de la torre.

${\ Displaystyle a \ uparrow \ uparrow b = \ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {b}}$

Continuando con esta notación, podría escribirse con una pila de tales torres de energía, cada una describiendo el tamaño de la que está encima. ${\ Displaystyle a \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$

${\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow \ uparrow 4 = a \ uparrow \ uparrow (a \ uparrow \ uparrow (a \ uparrow \ uparrow a)) = \ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. { a}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ { . {a}}}}}} _ {a}}}}$

Nuevamente, si b es una variable o es demasiado grande, la pila podría escribirse usando puntos y una nota que indique su altura.

${\ Displaystyle a \ uparrow \ uparrow \ uparrow b = \ left. \ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ { . ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {\ vdots} _ {a}}} \ right \} b}$

Además, podría escribirse usando varias columnas de tales pilas de torres de energía, cada columna describiendo el número de torres de energía en la pila a su izquierda: ${\ Displaystyle a \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$

${\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow 4 = a \ uparrow \ uparrow \ uparrow (a \ uparrow \ uparrow \ uparrow (a \ uparrow \ uparrow \ uparrow a)) = \ left. \ left. \ left. \ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {\ vdots} _ {a}}} \ right \} \ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ { a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {\ vdots} _ {a}}} \ right \} \ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {\ vdots} _ {a}}} \ right \} a}$

Y de manera más general:

${\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b = \ underbrace {\ left. \ left. \ left. \ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {\ vdots} _ {a}}} \ right \} \ underbrace {a ^ { a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {\ vdots} _ {a}}} \ right \} \ cdots \ right \} a} _ {b}}$

Esto podría llevarse a cabo indefinidamente para representar como exponenciación iterada de exponenciación iterada para cualquier a , n y b (aunque claramente se vuelve bastante engorroso). ${\ Displaystyle a \ uparrow ^ {n} b}$

Usando tetration

La notación de tetración nos permite hacer estos diagramas un poco más simples sin dejar de emplear una representación geométrica (podríamos llamar a estas torres de tetración ). ${\ Displaystyle ^ {b} a}$

${\ Displaystyle a \ uparrow \ uparrow b = {} ^ {b} a}$

${\ Displaystyle a \ uparrow \ uparrow \ uparrow b = \ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {a}.}.}.} a} a} _ {b}}$

${\ Displaystyle a \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b = \ left. \ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {a}.}.}.} a} a} _ {\ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {a}.}.}.} a} a} _ {\ underbrace {\ vdots} _ {a}}} \ right \} b}$

Finalmente, como ejemplo, el cuarto número de Ackermann podría representarse como: ${\ Displaystyle 4 \ uparrow ^ {4} 4}$

${\ Displaystyle \ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {4}.}.}.} 4} 4} _ {\ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {4}.}.}. } 4} 4} _ {\ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {4}}.}.}.} 4} 4} _ {4}}} = \ underbrace {^ {^ {^ {^ { ^ {4}.}.}.} 4} 4} _ {\ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {4}.}.}.} 4} 4} _ {^ {^ {^ {4 } 4} 4} 4}}}$

Generalizaciones

Algunos números son tan grandes que varias flechas de la notación de flecha hacia arriba de Knuth se vuelven demasiado engorrosas; entonces un operador de n- flecha es útil (y también para descripciones con un número variable de flechas), o equivalentemente, hiper operadores . ${\ Displaystyle \ uparrow ^ {n}}$

Algunos números son tan grandes que ni siquiera esa notación es suficiente. El Conway encadenado flecha notación se puede usar entonces: una cadena de tres elementos es equivalente con las otras notaciones, pero una cadena de cuatro o más es aún más potente.

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} a \ uparrow ^ {n} b & = & a [n + 2] b & = & a \ to b \ to n \\ {\ mbox {(Knuth)}} && {\ mbox {( hiperoperación)}} && {\ mbox {(Conway)}} \ end {matriz}}}$

${\ Displaystyle 6 \ uparrow \ uparrow 4}$= , Dado que = = , Por lo tanto, el resultado sale con${\ Displaystyle \ underbrace {6 ^ {6 ^ {. ^ {. ^ {. ^ {6}}}}}} _ {4}}$${\ Displaystyle 6 \ uparrow \ uparrow 4}$${\ Displaystyle 6 ^ {6 ^ {6 ^ {6}}}}$${\ displaystyle 6 ^ {6 ^ {46,656}}}$${\ Displaystyle \ underbrace {6 ^ {6 ^ {. ^ {. ^ {. ^ {6}}}}}} _ {4}}$

${\ Displaystyle 10 \ uparrow (3 \ times 10 \ uparrow (3 \ times 10 \ uparrow 15) +3)}$= o (Petillón) ${\ Displaystyle \ underbrace {100000 ... 000} _ {\ underbrace {300000 ... 003} _ {\ underbrace {300000 ... 003} _ {15}}}}$${\ Displaystyle 10 ^ {3 \ times 10 ^ {3 \ times 10 ^ {15}} + 3}}$

Nota: Phi = = =${\ displaystyle \ leftarrow 1 [1]}$${\ Displaystyle \ leftarrow 1}$${\ Displaystyle \ phi}$

Definición

Sin referencia a la hiperoperación, los operadores de flecha hacia arriba pueden definirse formalmente por

${\ Displaystyle a \ uparrow ^ {n} b = {\ begin {cases} a ^ {b}, & {\ text {if}} n = 1; \\ 1, & {\ text {if}} n> 1 {\ text {y}} b = 0; \\ a \ uparrow ^ {n-1} (a \ uparrow ^ {n} (b-1)), & {\ text {de lo contrario}} \ end {cases }}}$

para todos los enteros con . ${\ Displaystyle a, b, n}$${\ Displaystyle a \ geq 0, n \ geq 1, b \ geq 0}$

Esta definición usa exponenciación como caso base y tetración como exponenciación repetida. Esto es equivalente a la secuencia de hiperoperación excepto que omite las tres operaciones más básicas de sucesión , suma y multiplicación . ${\ Displaystyle (a \ uparrow ^ {1} b = a \ uparrow b = a ^ {b})}$ ${\ Displaystyle (a \ uparrow ^ {2} b = a \ uparrow \ uparrow b)}$

Alternativamente, se puede elegir la multiplicación como caso base e iterar desde allí. Entonces la exponenciación se convierte en multiplicación repetida. La definición formal sería ${\ Displaystyle (a \ uparrow ^ {0} b = a \ times b)}$

${\ Displaystyle a \ uparrow ^ {n} b = {\ begin {cases} a \ times b, & {\ text {if}} n = 0; \\ 1, & {\ text {if}} n> 0 {\ text {y}} b = 0; \\ a \ uparrow ^ {n-1} (a \ uparrow ^ {n} (b-1)), & {\ text {de lo contrario}} \ end {cases} }}$

para todos los enteros con . ${\ Displaystyle a, b, n}$${\ Displaystyle a \ geq 0, n \ geq 0, b \ geq 0}$

Sin embargo, tenga en cuenta que Knuth no definió la "flecha nula" ( ). Se podría extender la notación a índices negativos (n ≥ -2) de tal manera que coincida con toda la secuencia de hiperoperación, excepto por el rezago en la indexación: ${\ Displaystyle \ uparrow ^ {0}}$

${\ Displaystyle H_ {n} (a, b) = a [n] b = a \ uparrow ^ {n-2} b {\ text {for}} n \ geq 0.}$

La operación de flecha hacia arriba es una operación asociativa a la derecha , es decir, se entiende que es , en lugar de . Si la ambigüedad no es un problema, a veces se eliminan los paréntesis. ${\ Displaystyle a \ uparrow b \ uparrow c}$${\ Displaystyle a \ uparrow (b \ uparrow c)}$${\ Displaystyle (a \ uparrow b) \ uparrow c}$

Tablas de valores

Computación 0 ↑ ⁿ  b

La computación da como resultado ${\ Displaystyle 0 \ uparrow ^ {n} b = H_ {n + 2} (0, b) = 0 [n + 2] b}$

0, cuando n = 0 

1, cuando n = 1 y b = 0  

0, cuando n = 1 yb > 0  

1, cuando n > 1 yb es par (incluido 0)

0, cuando n > 1 y b es impar

Computación 2 ↑ ⁿ  b

La computación se puede reformular en términos de una tabla infinita. Colocamos los números en la fila superior y llenamos la columna de la izquierda con los valores 2. Para determinar un número en la tabla, tome el número inmediatamente a la izquierda, luego busque el número requerido en la fila anterior, en la posición dada por el número que acaba de tomar. ${\ Displaystyle 2 \ uparrow ^ {n} b}$${\ Displaystyle 2 ^ {b}}$

Valores de = = = 2 → b → n${\ Displaystyle 2 \ uparrow ^ {n} b}$${\ Displaystyle H_ {n + 2} (2, b)}$${\ Displaystyle 2 [n + 2] b}$

B ⁿ	1	2	3	4	5	6	fórmula
1	2	4	8	dieciséis	32	64	${\ Displaystyle 2 ^ {b}}$
2	2	4	dieciséis	65536	${\ Displaystyle 2 ^ {65 \, 536} \ aproximadamente 2.0 \ times 10 ^ {19 \, 728}}$	${\ Displaystyle 2 ^ {2 ^ {65 \, 536}} \ approx 10 ^ {6.0 \ times 10 ^ {19 \, 727}}}$	${\ Displaystyle 2 \ uparrow \ uparrow b}$
3	2	4	65536	${\ Displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {2 _ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {2}}}}}}} \\ 65536 {\ mbox {copias de}} 2 \ end {matriz}}}$	${\ Displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {2 _ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {2}}}}}}} \\\ underbrace {2 _ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {2}}}}}}} \\ 65536 {\ mbox {copias de}} 2 \ final {matriz}}}$	${\ Displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {2 _ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {2}}}}}}} \\\ refuerzo {2 _ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {2}}}}}}} \\\ refuerzo {2 _ {} ^ {2 ^ { {} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {2}}}}}}} \\ 65536 {\ mbox {copias de}} 2 \ end {matriz}}}$	${\ Displaystyle 2 \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$
4	2	4	${\ Displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {2 _ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {2}}}}}}} \\ 65536 {\ mbox {copias de}} 2 \ end {matriz}}}$				${\ Displaystyle 2 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$

La tabla es la misma que la de la función de Ackermann , excepto por un cambio en y , y una suma de 3 a todos los valores. ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle b}$

Computación 3 ↑ ⁿ  b

Colocamos los números en la fila superior y llenamos la columna de la izquierda con los valores 3. Para determinar un número en la tabla, tome el número inmediatamente a la izquierda, luego busque el número requerido en la fila anterior, en la posición dada por el número que acaba de tomar. ${\ Displaystyle 3 ^ {b}}$

Valores de = = = 3 → b → n${\ Displaystyle 3 \ uparrow ^ {n} b}$${\ Displaystyle H_ {n + 2} (3, b)}$${\ Displaystyle 3 [n + 2] b}$

B ⁿ	1	2	3	4	5	fórmula
1	3	9	27	81	243	${\ Displaystyle 3 ^ {b}}$
2	3	27	7,625,597,484,987	${\ displaystyle 3 ^ {7 {,} 625 {,} 597 {,} 484 {,} 987}}$	${\ Displaystyle 3 ^ {3 ^ {7 {,} 625 {,} 597 {,} 484 {,} 987}}}$	${\ Displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow b}$
3	3	7,625,597,484,987	${\ Displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {3 _ {} ^ {3 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {3}}}}}}} \\ 7 {,} 625 {,} 597 {,} 484 {,} 987 {\ mbox {copias de}} 3 \ end {matrix}}}$			${\ Displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$
4	3	${\ Displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {3 _ {} ^ {3 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {3}}}}}}} \\ 7 {,} 625 {,} 597 {,} 484 {,} 987 {\ mbox {copias de}} 3 \ end {matrix}}}$				${\ Displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$

Computación 4 ↑ ⁿ  b

Colocamos los números en la fila superior y llenamos la columna de la izquierda con los valores 4. Para determinar un número en la tabla, tome el número inmediatamente a la izquierda, luego busque el número requerido en la fila anterior, en la posición dada por el número que acaba de tomar. ${\ Displaystyle 4 ^ {b}}$

Valores de = = = 4 → b → n${\ Displaystyle 4 \ uparrow ^ {n} b}$${\ Displaystyle H_ {n + 2} (4, b)}$${\ Displaystyle 4 [n + 2] b}$

B ⁿ	1	2	3	4	5	fórmula
1	4	dieciséis	64	256	1024	${\ Displaystyle 4 ^ {b}}$
2	4	256	${\ displaystyle 1.3407807930 \ times 10 ^ {154}}$	${\ Displaystyle 4 ^ {1.3407807930 \ times 10 ^ {154}}}$	${\ Displaystyle 4 ^ {4 ^ {1.3407807930 \ times 10 ^ {154}}}}$	${\ Displaystyle 4 \ uparrow \ uparrow b}$
3	4	${\ Displaystyle 4 ^ {1.3407807930 \ times 10 ^ {154}}}$	${\ Displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {4 _ {} ^ {4 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {4}}}}}}} \\ 4 ^ {1.3407807930 \ times 10 ^ {154}} {\ mbox {copias de}} 4 \ end {matriz}}}$			${\ Displaystyle 4 \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$
4	4	${\ Displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {4 _ {} ^ {4 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {4}}}}}}} \\\ brazalete {4 _ {} ^ {4 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {4}}}}}}} \\ 4 ^ {1.3407807930 \ times 10 ^ {154} } {\ mbox {copias de}} 4 \ end {matriz}}}$				${\ Displaystyle 4 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$

Computación 10 ↑ ⁿ  b

Colocamos los números en la fila superior y llenamos la columna de la izquierda con los valores 10. Para determinar un número en la tabla, tome el número inmediatamente a la izquierda, luego busque el número requerido en la fila anterior, en la posición dada por el número que acaba de tomar. ${\ Displaystyle 10 ^ {b}}$

Valores de = = = 10 → b → n${\ Displaystyle 10 \ uparrow ^ {n} b}$${\ Displaystyle H_ {n + 2} (10, b)}$${\ Displaystyle 10 [n + 2] b}$

B ⁿ	1	2	3	4	5	fórmula
1	10	100	1.000	10,000	100.000	${\ Displaystyle 10 ^ {b}}$
2	10	10,000,000,000	${\ displaystyle 10 ^ {10,000,000,000}}$	${\ displaystyle 10 ^ {10 ^ {10,000,000,000}}}$	${\ displaystyle 10 ^ {10 ^ {10 ^ {10,000,000,000}}}}$	${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow b}$
3	10	${\ Displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {10 _ {} ^ {10 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {10}}}}}}} \\ 10 {\ mbox {copias de}} 10 \ end {matriz}}}$	${\ Displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {10 _ {} ^ {10 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {10}}}}}}} \\\ underbrace {10 _ {} ^ {10 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {10}}}}}}} \\ 10 {\ mbox {copias de}} 10 \ final {matriz}}}$	${\ Displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {10 _ {} ^ {10 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {10}}}}}}} \\\ brazalete {10 _ {} ^ {10 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {10}}}}}}} \\\ brazalete {10 _ {} ^ {10 ^ { {} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {10}}}}}}} \\ 10 {\ mbox {copias de}} 10 \ end {matriz}}}$		${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$
4	10	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {10}.}.}.} 10} 10} \\ 10 {\ mbox {copias de}} 10 \ end {matriz }}}$	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {10}.}.}.} 10} 10} \\\ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {10} " }.}.}.} 10} 10} \\ 10 {\ mbox {copias de}} 10 \ end {matriz}}}$			${\ Displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$

Para 2 ≤ b ≤ 9, el orden numérico de los números es el orden lexicográfico con n como el número más significativo, por lo que para los números de estas 8 columnas, el orden numérico es simplemente línea por línea. Lo mismo se aplica a los números en las 97 columnas con 3 ≤ b ≤ 99, y si partimos de n = 1 incluso para 3 ≤ b ≤ 9,999,999,999. ${\ Displaystyle 10 \ uparrow ^ {n} b}$

Ver también

• Recursividad primitiva
• Hiperoperación
• Castor ocupado
• Notación de barra de cutler
• Tetración
• Pentacion
• Función de Ackermann
• Número de Graham
• Notación Steinhaus-Moser

Notas

Referencias

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Notación de flecha hacia arriba de Knuth" . MathWorld .
• Robert Munafo, Números grandes: hiperoperadores superiores